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金堂中学高2014届理科数学周练(14)


金堂中学高 2014 届理科数学周练(14)
一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1.设集合 A ? {x | x2 ? 4 ? 0} , B ? {x | 2x ? 1} ,则 A ? B ? ( (A) {x | x ? 2}
{x | x ? ?2或x ? 2}

) ( D )

(B) {x | x ?

?2}

1 (C) {x | x ? } 2

2.已知复数 z ? (a 2 ? 1) ? (a ? 2)i

(a ? R) ,则“ a ? 1 ”是“ z 为纯虚数”的(



(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件

正(主)视图
[

侧(左)视图

1 3.函数 f ( x) ? ln x ? 的零点的个数是( x ?1

).

A. 0

B .1

C. 2

D. 3 ) 俯视图
e x ? e? x 2

4.下列函数中,既是偶函数,又在区间 (1, 2) 内是增函数的为( (A) y ? cos2 x ? sin 2 x (B) y ? lg | x | (C) y ? 5.函数 y ? sin 2 ( x ?

(D) y ? x3

?

) ? cos2 ( x ? ) 是( 4 4

?

).

A . 周期为 ? 的奇函数 C .周期为 2? 的奇函数

B .周期为 ? 的偶函数 D .周期为 2? 的偶函数

6.右图是一个几何体的三视图,其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为 2 和 4 , 腰长为 4 的等腰梯形,则该几何体的表面积是( ) . (A) 12? 7.已知 F1 , F2 是双曲线 (B) 13?
2 2

(C) 15?

(D) 17?

x y ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的两焦点,以线段 F1 F2 为边作正 △MF1 F2 , a 2 b2 若边 MF1 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是( )

(A) 4 ? 2 3

(B) 3 ? 1

(C)

3 ?1 2

(D) 3 ? 1

?x ? y ? 6 ? 0 ? 8 . 已 知 x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? 3 , 且 z ? 2 x ? 4 y 的 最 小 值 为 6. 若 实 数 ?x ? y ? k ? 0 ?
? 3 ? x ? ? ? ,3? , y ? ?0,9? , 则点 P ? x, y ? 落在上述区域内的概率为( ? 2 ?



A、

1 4

B、

1 3

C、

1 2

D、

2 3


9.数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1 , an ?1 ? 4Sn (n ? N* ) ,则 a6 ? ( (A) 4 ? 54 (B) 4 ? 54 ? 1 (C) 55

(D) 55 ? 1

x 2 x3 x 4 x 2013 ,则下列结论正确的是( ) ? ? ? ??? ? 2 3 4 2013 (A) f ( x) 在 (0,1) 上恰有一个零点 (B) f ( x) 在 (0,1) 上恰有两个零点

10.已知函数 f ( x) ? 1 ? x ?

(C) f ( x) 在 (1, 2) 上恰有一个零点 二、填空题(每题 5 分,共 25 分)

(D) f ( x) 在 (1, 2) 上恰有两个零点

周练 14

试卷第 1 页,总 6 页

11. (理)若 ( x 2 ? ) n 展开式中的所有二项式系数和为 512 ,则该展开式中的常数项 为 .

1 x

(文) 已知函数 f ( x) ? 4 x ?

a ( x ? 0, a ? 0) 在 x ? 3 时取得最小值,则 a ? __________. x

x2 ? 1 的两条渐近线和抛物线 y 2 ? ?8 x 的准线所围成 4 的 三 角 形 ( 含 边 界 与 内 部 ) 若 点 ( x, y) ? D , 则 目 标 函 数 z ? x ? y 的 最 大 值 .

12.设平面区域 D 是由双曲线 y 2 ?

为 . 13.执行下边的程序框图,输出的 T ?


. 输出 T


结束

开始

S ? 0, T ? 0, n ? 0

T ?S

S ? S ?5

n ? n?2

T ?T ?n

???? ??? ? ??? ? ??? ? 5? | 14. ABC 中, 向量 AB 与 BC 的夹角为 , AC |? 2 , | AB | 的取值范围是 则 △
6



15.如图,设 A 是棱长为 a 的正方体的一个顶点,过从顶点 A 出发的三条棱的中点作截 面,对正方体的所有顶点都如此操作,截去 8 个三棱锥,所得的各截面与正方体各面共 同围成一个多面体,则关于此多面体有以下结论: ① 有 12 个顶点; ② 有 24 条棱; ③ 有 12 个面; ④ 表面积为 3a 2 ; 其中正确的结论是 ⑤ 体积为 a3 . (写出所有正确结论的编号) .. .
5 6

A

试卷第 2 页,总 6 页

三、解答题(共 75 分) 16.已知函数 f ( x) ? 3 sin ? x ? cos ? x ? cos2 ? x(? ? 0) 的最小正周期为 (Ⅰ)求 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)设 △ABC 的三边 a, b, c 满足 b2 ? ac ,且边 b 所对的角为 x ,求此时函数 f ( x) 的值 域.

? . 2

17. (本小题满分 12 分) (理)甲、乙等 6 名同学参加某高校的自主招生面试,已知采 用抽签的方式随机确定各考生的面试顺序(序号为 1,2,?,6 ) . (Ⅰ)求甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率; (Ⅱ)记在甲、乙两考生之间参加面试的考生人数为 ? ,求随机变量 ? 的分布列与期望. (文)甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛,其中两人比赛,另一人当裁判,每局比赛结束 时,负的一方在下一局当裁判,设各局中双方获胜的概率均为 相互独立,第 1 局甲当裁判. (I)求第 4 局甲当裁判的概率;(II)求前 4 局中乙恰好当 1 次裁判概率.

1 , 各局比赛的结果都 2

周练 14

试卷第 3 页,总 6 页

18 . 如 图 , 在 四 棱 锥 E ? ABCD 中 , AB ? 平 面 B C E, DC ? 平 面 B C E,
AB ? BC ? CE ? 2CD ? 2 , ?BCE ?
2? . 3

(Ⅰ)求证:平面 ADE ? 平面 ABE ; (Ⅱ)求二面角 A ? EB ? D 的大小.

A

D E
C

B

19.在等差数列 ?a n ?中, a1 ? 3 ,其前 n 项和为 S n ,等比数列 ?bn ? 的各项均为正数,

b1 ? 1 ,公比为 q ,且 b2 ? S2 ? 12, q ?
(Ⅰ)求 a n 与 bn ; (Ⅱ)数列 ?cn ? 满足 c n ?

S2 . b2

1 ,求 ?cn ? 的前 n 项和 Tn . Sn

试卷第 4 页,总 6 页

20. (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? (2a ? 1) x ? a ln x . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求函数 f ( x) 的单调增区间; (Ⅱ)求函数 f ( x) 在区间 [1, e] 上的最小值.

周练 14

试卷第 5 页,总 6 页

x2 y 2 21. (本小题满分 14 分)已知椭圆 C 的方程为: 2 ? ? 1? a ? 0 ? ,其焦点在 x 轴上, a 2
离心率 e ?

2 . 2

(1)求该椭圆的标准方程; (2)设动点 P ? x0 , y0 ? 满足 OP ? OM ? 2ON ,其中 M,N 是椭圆 C 上的点,直线 OM 与 ON 的斜率之积为 ?

??? ?

???? ?

????

1 2 2 ,求证: x0 ? 2 y0 为定值. 2

(3)在(2)的条件下,问:是否存在两个定点 A, B ,使得 PA ? PB 为定值?若存 在,给出证明;若不存在,请说明理由.

试卷第 6 页,总 6 页

金堂中学高 2014 届理科数学周练(14)
参考答案 1.B 【解析】 试题分析: A ? {x | x ? 2 或 x ? ?2 , B ? {x | x ? 0} ,所以 A ? B ? {x | x ? ?2} . 考点:集合运算、解不等式. 2.A 【解析】 试题分析: a ? 1 ? z 为纯虚数, z 为纯虚数 ? a ? ?1,所以“ a ? 1 ”是“ z 为纯虚数”的充 分不必要条件. 考点:复数的概念、充要条件. 3.C 4.B 【解析】 试题分析:函数是偶函数,所以可以排除 C 和 D ;在 (1, 2) 内是增函数,所以可以排除 A ; 很明显, B 中的函数既是偶函数,又在区间 (1, 2) 内是增函数. 考点:函数的奇偶性与单调性. 5.A 6.D 【解析】 试题分析:从三视图可以看出:几何体是一个圆台,上底面是一个直径为 4 的圆,下底面是 一个直径为 2 的圆, 侧棱长为 4. 上底面积 S1 ? 4? , 下底面积 S2 ? ? , 侧面是一个扇环形, 面积为 S3 ?

1 (4? ? 2? ) ? 4 ? 12? ,所以表面积为 S1 ? S2 ? S3 ? 4? ? ? ? 12? ? 17? . 2

考点:空间几何体的三视图、表面积的计算. 7.D 【解析】 试题分析:因线段 MF1 的中点 P 在双曲线上,故 P 点与 F2 的连线垂直于 MF1 , 又因为 ?PF1 F2 ?

?
3

,所以在 Rt ?PF1F2 中, PF1 ? c , PF2 ? 3c

根据双曲线的定义 PF2 ? PF1 ? 2a ,? 3c ? c ? 2a ? e ?

c ? 3 ? 1. a

考点:双曲线的性质. 8. 【答案】C 【解析】 试题分析:画出可行域及直线 2x+4y=0,平移直线 2x+4y=0 知, 当直线经过 x=3 与 x+y+k=0 的交点 A(3,-k-3)时, z ? 2 x ? 4 y 取得最小值。

答案第 1 页,总 9 页

令 2 × 3+4 ( -k-3 ) =6 , 得 , k=-3 , 可 行 域 面 积 为

1 ? 9 ? (3 ? 1.5) ? 20.25 , 实 数 2 1 ? 3 ? x ? ? ? ,3? , y ? ?0,9? , 形成的区域面积为 40.5,故点 P ? x, y ? 落在上述区域内的概率为 ,选 ? 2 ? 2

C。 9.A 【解析】 试题分析: an ?1 ? 4Sn ? Sn ?1 ? Sn ? 4Sn ? Sn ?1 ? 5Sn ,

? {Sn } 是以 1 为首项,5 为公比的等比数列,? Sn ? 5n ?1 ,
? a6 ? S6 ? S5 ? 55 ? 54 ? 4 ? 54 .
考点:递推数列通项公式的求法. 10.C 【解析】 试题分析:当 x ? (1, 2) , f ?( x) ? ?1 ? x ? x 2 ? x3 ? x 4 ? ??? ? x 2012 ? 故函数在区间 (1, 2) 上单调递减,
1 1 1 12013 22 23 24 22013 又 f (1) ? 1 ? 1 ? ? ? ? ??? ? ? 0, f (2) ? 1 ? 2 ? ? ? ? ??? ? ? 0, 2 3 4 2013 2 3 4 2013 故 f ( x) 在 (1, 2) 上恰有一个零点,答案为 C. ?(1 ? x 2013 ) ? 0, 1? x

考点:导数的应用、函数零点. 11. 84 【解析】 试 题 分 析 : 所 有 二 项 式 系 数 和 为 512 , 所 以 n ? 9 , 设 展 开 式 的 通 项 为 Tr ?1 , 则

1 1 3r Tr ?1 ? Cr9 ? x 8? 2r ? (? ) r ? ( 1)r C9?r x1?8 ,对于常数项 18 ? 3r ? 0 ? r ? 6 ,所以常数项 ? x
6 为 T7 ? (?1)6 C9 ? 84 .

考点:二项式定理. 11【答案】36 12. 3 【解析】

?x ? 2 y ? 0 ? 试题分析:约束条件为 ? x ? 2 y ? 0 , 画出可行域, z ? x ? y 的最大值在点(2,1)处取得最 ?x ? 2 ?
大值为 3.. 考点:双曲线和抛物线的基础知识、线性规划. 13. 30 【解析】 试题分析:列表分析如下: n 步数 S T ?S T
答案第 2 页,总 9 页

0 1 2 3 4 5

0 5 10 15 20 25

0 2 4 6 8 10

0 2 6 12 20 30

否 否 否 否 否 是

所以输出的 T ? 30 . 考点:程序框图. 14. (0, 4] 【解析】 试题分析: AC ? AB ? BC ?

????

??? ??? ? ?

??? 2 ??? 2 ? ? ??? ??? ? ? 5? AB ? BC ? 2 AB BC cos , 6

??? 2 ??? 2 ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ? AB ? BC ? 3 AB BC ? 4 , 把 BC 看 做 未 知 数 , 得 到 一 个 一 元 二 次 方 程 : ??? 2 ? ??? ??? ? ? ??? 2 ? BC ? 3 AB BC ? ( AB ? 4) ? 0
, 这 个 方 程 的 判 别 式

??? ? ??? 2 ? ??? 2 ? ??? ? ? ? ( 3 AB )2 ? 4( AB ? 4) ? 16 ? AB ? 0 , 得 到 ?4 ? AB ? 4 , 根 据 实 际 意 义 ,
??? ? 0 ? AB ? 4 .
考点:向量的计算、一元二次方程. 15.①②⑤ 【解析】 试题分析:根据几何体的特点可知,有 12 个顶点,24 条棱,16 个面,所以①、②都对,③ 错; 表面积为 6a 2 ? 8 ? ?

1 a a 1 1 a a a 5 其体积为 a3 ? 8 ? ? ? ? ? ? a3 . 故⑤ ? ? 5a 2 , 故④错; 2 2 2 3 2 2 2 2 6

成立. 考点:几何体的体积和表面积.
1 ? 1 16. (Ⅰ) f ( x) ? sin(4 x ? ) ? ; (Ⅱ) f ( x) 的值域为 [?1, ] . 2 6 2

【解析】 试题分析: (Ⅰ)先化简 f ( x) ,根据周期,即可确定 ? ,即得到 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)根
? 据余弦定理,可以求出 x ? (0, ] ,然后根据三角函数的图像和性质,可以求出 f ( x) 的值域.
3

试题解析: (Ⅰ) f ( x) ? 由题, T ?

3 1 1 ? 1 sin 2? x ? cos 2? x ? ? sin(2? x ? ) ? , 2 2 2 6 2

4分

2? ? ? 及 ? ? 0 ,得: ? ? 2 , 2? 2 6 2

? 1 所以 f ( x) ? sin(4 x ? ) ? .

6分

答案第 3 页,总 9 页

(Ⅱ)由 cos x ? 从而 4 x ?
?
6 ? (?

a 2 ? c 2 ? b2 2ac ? ac 1 ? ? ? ,知: x ? (0, ] , 2ac 2ac 2 3
,

9分 12 分.

? 7?
6

1 ] ,所以函数 f ( x) 的值域为 [?1, ] . 2 6

考点:三角函数、解三角形、基本不等式. 17. (Ⅰ) ; (Ⅱ)分布列是:
4 5

?
P

0

1

2

3

4

1 3
4 . 3

4 15

1 5

2 15

1 15

E? ?

【解析】 试题分析: (Ⅰ)用组合计算基本事件数,由等可能性事件的概率计算公式即可求解; (Ⅱ) 利用组合也可以求出随机变量 ? 的分布列,然后根据期望的定义求出 E? . (Ⅰ)只考虑甲、乙两考生的相对位置,用组合计算基本事件数; 设 A 表示“甲、乙的面试序号至少有一个为奇数” ,则 A 表示“甲、乙的序号均为偶数” , 由等可能性事件的概率计算公式得: P( A) ? 1 ? P( A) ? 1 ? 甲、乙两考生的面试序号至少有一个为奇数的概率是 . (另解 P( A) ?
4 1 1 4 A32 A4 2 A3 A3 A4 4 ? ? ) 6 6 5 A6 A6 4 A32 A4 4 ? 6 5 A6

4 5

6分

(Ⅱ)随机变量 X 的所有可能取值是 0,1,2,3,4, 且
P(? ? 0) ?
P(? ? 4) ?

5 1 ? C62 3
1 1 ? 2 C6 15

,

P(? ? 1) ?

4 4 ? 2 C6 15

,

P(? ? 2) ?

3 1 ? C62 5

,

P(? ? 3) ?

2 2 ? 2 C6 15

,

[另解: P(? ? 0) ?
P(? ? 3) ?

2 5 A2 A5 1 A2 A2 A3 1 A2 A1 A4 4 , P(? ? 2) ? 2 4 3 ? , ? , P(? ? 1) ? 2 4 4 ? 6 6 6 3 15 5 A6 A6 A6

2 3 2 A2 A4 A2 A2 A4 2 1 ? P(? ? 3) ? 2 6 4 ? 6 15 15 A6 A6

10 分

所以随机变量 ? 的分布列是:

?
P

0

1

2

3

4

1 3

4 15
1 3

1 5

2 15

1 15

所以 E? ? 0 ? ? 1?

4 1 2 1 4 , ? 2 ? ? 3? ? 4 ? ? 15 5 15 15 3

答案第 4 页,总 9 页

即甲、乙两考生之间的面试考生个数 X 的期望值是 . 考点:概率知识,分布列和期望的求法.

4 3

12 分.

【答案】(Ⅰ)记 A1 表示事件“第 2 局结果为甲胜”, A2 表示事件“第 3 局甲参加比赛 时,结果为甲负”, A 表示事件 “第 4 局甲当裁判” 则 A=A1 ? A2 . .

P( A)=P(A1 ? A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ?

1 . 4

(Ⅱ)记 B1 表示事件“第 1 局结果为乙胜”, B2 表示事件“第 2 局乙参加比赛时,结果 为乙胜”,

B3 表示事件“第 3 局乙参加比赛时,结果为乙胜”, B 表示事件“前 4 局中恰好当 1 次
裁判”. 则 B ? B1 ? B3 ? B1 ? B2 ? B3 ? B1 ? B2 .

P( B) ? P( B1 ? B3 ? B1 ? B2 ? B3 ? B1 ? B2 ) ? P( B1 ? B3 ) ? P( B1 ? B2 ? B3 ) ? P( B1 ? B2 )
? P( B1 ) ? P( B3 ) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ? P( B3 ) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ?
18.(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ) 45? 【解析】 试题分析:(Ⅰ)根据两个平面垂直的条件,在平面 ADE 内找到一条垂直于平面 ABE 的直 线即可,取 AE 的中点 F ,可证明 FD ? 平面 ABE ;(Ⅱ) 二面角 A ? EB ? D 与二面角

1 1 1 5 ? ? ? . 4 8 4 8

F ? EB ? D 相等,二面角 F ? EB ? D 的平面角为 ?FOD ,求出 ?FOD 即可.(解法 2 采 用的是向量的方法,求出平面 ADE 、 ABE 的法向量,即可证明平面 ADE ? 平面 ABE ; 求出平面 BDE 、 ABE 的法向量,即可求出二面角 A ? EB ? D .)
(Ⅰ)证明:取 BE 的中点 O , AE 的中点 F ,连 OC , OF , DF ,则 2OF / /BA A F

E O

D B C

? AB ? 平面 BCE , CD ? 平面 BCE ,∴ 2CD / /BA ,? OF / /CD
? OFDC 是平行四边形,? OC / / FD .

答案第 5 页,总 9 页

? BC ? CE ,? OC ? BE ,又 AB ? 平面 BCE . ? OC ? 平面 ABE .? FD ? 平面 ABE .
从而平面 ABE ? 平面 ABE . (Ⅱ)二面角 A ? EB ? D 与二面角 F ? EB ? D 相等, 由(Ⅰ)知二面角 F ? EB ? D 的平面角为 ?FOD . 6分

BC ? CE ? 2 , ?BCE ? 120? ,
? OC ? BE 得 BO ? OE ? 3 , OC ? 1 ,
? OFDC 为正方形,? ?FOD ? 45? ,
∴二面角 A ? EB ? D 的大小为 45? . 解法 2:取 BE 的中点 O ,连 OC . 12 分

? BC ? CE ,? OC ? BE ,又 AB ? 平面 BCE .
以 O 为原点建立如图空间直角坐标系 O ? xyz , z A F

E O

D

B

y

C x 则由已知条件有: A 0, 3, 2 , B 0, 3, 0 , C ?1, 0, 0 ? , D ?1, 0,1? , E 0, ? 3, 0 , 设平面 ADE 的法向量为 n ? ? x1 , y1 , z1 ? ,
? ??? ? 则由 n ? EA ? ? x1 , y1 , z1 ? ? 0, 2 3, 2 ? 2 3 y1 ? 2 z1 ? 0.

?

?

?

?

?

?

?

?

?

? ??? ? 及 n ? EA ? ? x1 , y1 , z1 ? ? ?1, 3,1 ? ? x1 ? 3 y1 ? z1 ? 0.

?

?

可取 n ? 0,1, ? 3

?

?

?
??

又 AB ? 平面 BCE ,? AB ? OC , OC ? 平面 ABE , ∴平面 ABE 的法向量可取为 m ? ?1, 0, 0 ? .
答案第 6 页,总 9 页

? ?? ? ?? ? n ? m ? 0,1, ? 3 ? ?1, 0, 0 ? ? 0 , ∴ n ? m ,∴平面 ADE ? 平面 ABE .

?

?

6

分 (Ⅱ)设平面 BDE 的法向量为 p ? ? x2 , y2 , z2 ? , 则由 p ? ED ? ? x2 , y2 , z2 ? ? 1, 3,1 ? x2 ? 3 y2 ? z2 ? 0.
? ??? ? ? 及 p ? EB ? ? x2 , y2 , z2 ? ? 0, 2 3, 0 ? 2 3 y2 ? 0.
? ?

? ??? ? ?

?

?

?

?

可取 p ? ?1, 0, ?1? ∵平面 ABE 的法向量可取为 m ? ?1, 0, 0 ? ,
?? ? ? | m? p | 2 ? ∴锐二面角 A ? EB ? D 的余弦值为 ?? ? ? , 2 | m|?| p |

? ?

??

∴二面角 A ? EB ? D 的大小为 45? . 考点:空间位置关系、二面角、平面向量. 19. 【解答】 (Ⅰ)设 ?a n ?的公差为 d ,

12 分.

?b2 ? S 2 ? 12, ?q ? 6 ? d ? 12, ? ? S2 6 ? d 解得 q ? ?4 (舍)或 q ? 3 , d ? 3 . 因为 ? 所以 ? q? . q? , ? ? q b2 ? ?
故 an ? 3 ? 3(n ? 1) ? 3n (Ⅱ)? Sn ? , bn ? 3 n ?1 .

n(3 ? 3n) 2 2 1 1 ,? Cn ? ? ( ? ), 2 n(3 ? 3n) 3 n n ? 1

?Tn ?

2? 1 1 1 1 1 ? 2 1 2n ?(1 ? 2 ) ? ( 2 ? 3 ) ? ? ? ( n ? n ? 1) ? ? 3 (1 ? n ? 1) ? 3(n ? 1) 3? ?
? ?2a a ?1

1 ? 20. (Ⅰ) (0 , ) 和 (1, ??) ; (Ⅱ) [ f ( x)]min ? ? a(ln a ? a ? 1) 1 ? a ? e 2 ?e2 ? (2a ? 1)e ? a a?e ?
【解析】 试题分析: (Ⅰ) 利用导数, 列表分析即可确定 f ( x) 的单调增区间; (Ⅱ) f ?( x) ? 0 ? x ? a 或x?

1 ,所以分成 a ? 1 、1 ? a ? e 、 a ? e 三种情况,利用导数,列表分析每一种情况下 2

f ( x) 的最小值即可.
试题解析: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? x2 ? 3x ? a ln x ,定义域为 (0, ??) .
答案第 7 页,总 9 页

f ?( x) ? 2 x ? 3 ?

1 2 x 2 ? 3x ? 1 (2 x ? 1)( x ? 1) . ? ? x x x

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 或 x ? 列表如下

1 . 2
(1, ??)
+ ↗

3分

x
f ?( x)
f ( x)

1 (0 , ) 2
+ ↗

1 ( , 1) 2
- ↘

所以函数 f ( x) 的单调增区间为 (0 , ) 和 (1, ??) . (Ⅱ) f ?( x) ? 2 x ? (2a ? 1) ?
a 2 x 2 ? (2a ? 1) x ? a (2 x ? 1)( x ? a) . ? ? x x x

1 2

6分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? a 或 x ? 当 a ? 1 时,不论 a ? 所以 [ f ( x)]min 当 1 ? a ? e 时,

1 . 2

^ 7分

1 1 还是 ? a ? 1 ,在区间 [1, e] 上, f ( x) 均为增函数。 2 2 8分 ? f (1) ? ?2a ;

x
f ?( x) f ( x)

(1, a)
- ↘

a
0 极小值 a(ln a ? a ? 1)

(a, ??)
+ ↗ 10 分

所以 [ f ( x)]min ? f (a) ? a(ln a ? a ?1) ; 当 a ? e 时, x 1

(1 , e)


e

f ?( x) f ( x)

?2a



e2 ? (2a ? 1)e ? a
2

所以 [ f ( x)]min ? f (e) ? e ? (2a ? 1)e ? a .
?2a a ?1 ? ? ? ? a(ln a ? a ? 1) 1 ? a ? e . ?e2 ? (2a ? 1)e ? a a?e ?

12 分

综上, [ f ( x)]min

13 分.

考点:导数的应用(单调性,极值,最值) 、分类讨论思想. 21.解: (1)由 e ?

2 , b2 ? 2 ,解得 c ? b ? 2 , a ? 2 , 2
答案第 8 页,总 9 页

故椭圆的标准方程为

x2 y2 ? ? 1. 4 2

????????3 分

(2)设 M ? x1 , y1 ? , N ? x2 , y2 ? , 则由 OP ? OM ? 2ON ,得 ? x0 , y0 ? ? ? x1 , y1 ? ? 2 ? x2 , y2 ? , 即 x0 ? x1 ? 2 x2 , y0 ? y1 ? 2 y2 ,

??? ?

???? ?

????

x2 y2 ∵点 M,N 在椭圆 ? ? 1 上,∴ x12 ? 2 y12 ? 4, x2 2 ? 2 y2 2 ? 4 ??6 分 4 2
设 kOM , kON 分别为直线 OM , ON 的斜率,由题意知,

kOM ? kON ?

y1 y2 1 ? ? ,∴ x1 x2 ? 2 y1 y2 =0 , x1 x2 2

????????8 分

2 故 x0 2 ? 2 y0 ? x12 ? 4 x2 2 ? 4 x1 x2 ? 2 y12 ? 4 y2 2 ? 4 y1 y2

?

? ?

?

? ? x12 ? 2 y12 ? ? 4 ? x2 2 ? 2 y2 2 ? ? 4 ? x1 x2 ? 2 y1 y2 ? ? 20 ,
2 2 即 x0 ? 2 y0 ? 20 (定值)

????????10 分

(3)由(2)知点 P 是椭圆 ∵c ?

x2 y 2 ? ? 1 上的点, 20 10

20 ? 10 ? 10 ,

∴该椭圆的左右焦点 A ? 10, 0 、B

?

?

?

10, 0 满足 PA ? PB ? 4 5 为定值,
???????14 分

?

因此存在两个定点 A, B ,使得 PA ? PB 为定值。

【解析】略

答案第 9 页,总 9 页


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