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勾股定理证明方法


勾股定理证明方法

勾股定理是初等几何中的一个基本定理。所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两 条直角边的平方和等于斜边的平方。 这个定理有十分悠久的历史, 几乎所有文明古国 (希腊、 中国、埃及、巴比伦、印度等)对此定理都有所研究。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定 理,相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前 550 年首先发现的。 中国古代对这一数学定理的发现和应用,远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数 学著作——《周髀算经》的开头,记载着一段周公向商高请教数学知识的对话:周公问:" 我听说您对数学非常精通,我想请教一下:天没有梯子可以上去,地也没法用尺子去一段一 段丈量,那么怎样才能得到关于天地得到数据呢?" 商高回答说:"数的产生来源于对方和 圆这些形体的认识。其中有一条原理:当直角三角形‘矩'得到的一条直角边‘勾'等于 3, 另一条直角边’股'等于 4 的时候,那么它的斜边'弦'就必定是 5。这个原理是大禹在治水的 时候就总结出来的呵。" 如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话,那么周公与商高 的对话则可以确定在公元前 1100 年左右的西周时期,比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中 所说的勾 3 股 4 弦 5,正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是 非常恰当的。 在《九章算术》一书中,勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的《勾股章》 说;“把勾和股分别自乘,然后把它们的积加起来,再进行开方,便可以得到弦。”《九章算 术》系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就,共收集了 246 个数学的应用问题和各个问 题的解法,列为九章,可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。 中国古代的数学家们最早对勾股定理进行证明的,是三国时期吴国的数学家赵爽。 赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,

用形数结合得到方法,给出了勾股定理的详细证明。 在这幅“勾股圆方图”中,以弦为边长得到正方形 ABDE 是由 4 个相等的直角三角形再加 上中间的那个小正方形组成的。 每个直角三角形的面积为 ab/2; 中间的小正方形边长为 b-a,则面积为(b-a)2。 于是便可得如下的式子: 4×(ab/2)+(b-a)2=c2 化简后便可得: a2+b2=c2

刘徽在证明勾股定理时也是用以形证数的方法,刘徽用了“出入相补法”即剪贴证明法, 他把勾股为边的正方形上的某些区域剪下来(出), 移到以弦为边的正方形的空白区域内(入),

结果刚好填满,完全用图解法就解决了问题。

1876 年 4 月 1 日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的证法。 1881 年,伽菲尔德就任美国第二十任总统后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简 捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法

古代数学家们对于勾股定理的发现和证明,在世界数学史上具有独特的贡献和地位。 尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法,更具有科学创新的重大意义。


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