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高中数学2-3-2《抛物线的简单几何性质》课件新人教A版选修


2.3.2《抛物线的简单几何性质》

教学目标
? 知识与技能目标 ? 使学生理解并掌握抛物线的几何性质,并能从抛物线的标准 方程出发,推导这些性质. ? 从抛物线的标准方程出发,推导抛物线的性质,从而培养学 生分析、归纳、推理等能力 ? 过程与方法目标 ? 复习与引入过程 ? 1.抛物线的定义是什么? ? 请一同学回答.应为:“平面内与一个定点F和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.” ? 2.抛物线的标准方程是什么? ? 再请一同学回答.应为:抛物线的标准方程是y2=2px(p>0), y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0)和x2=-2py(p>0). ? 下面我们类比椭圆、双曲线的几何性质,从抛物线的标准方 程y2=2px(p>0)出发来研究它的几何性质.《板书》抛物线 的几何性质

抛物线的简单几何性质(一)

复习
标准方程 图形

y 2 ? 2 px( p ? 0)
K

y

d

F x o﹒

M

焦点和准线

p p 焦点 F ( , 0) 和准线 l : x ? ? 2 2

你认为这个标准方程对应的抛物线 还有什么几何性质呢?

类比探索
结合抛物线y2=2px(p>0)的标准方程和图形,探索 其的几何性质: Y (1)范围 x≥0,y∈R
X

(2)对称性 关于x轴对称,对称轴 又叫抛物线的轴. (3)顶点
抛物线和它的轴的交点.

(4)离心率

始终为常数1 |PF|=x0+p/2

y

P

(5)焦半径
(6)通径

O

F

x

通过焦点且垂直对称轴的直线,与抛物线相 交于两点,连接这两点的线段叫做抛物线的 通径。 通径的长度:2P
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。

思考:通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗?

特点
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;

3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;
4.抛物线的离心率是确定的,为1; 5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
y2=4x
4 3

2

1

y2=2x y2=x 1 y2= x
2
2 4 6 8 10

-2

-1

-2

-3

-4

-5

P越大,开口越开阔

图 形
y
l O F

方程

焦点 准线 范围 顶点 对称轴
x≥0 y∈R x≤0 x轴

e

y2 = 2px p p F ( , 0 ) x?? x (p>0) 2 2
l

y
F O

y2 = -2px p p F ( ? ,0 ) x ? 2 x(p>0) 2
p x2 = 2py p F (0, ) y ? ? 2 2 x (p>0)

y∈R
(0,0) 1 y≥0 x∈R y轴 y≤0

y
O

F

l

y
O F

= -2py F (0,? p ) y ? p 2 x(p>0) 2 x2

l

x∈R

典型例题: 例1.已知抛物线关于x轴对称,顶点在坐标 原点,并且过点M(2, ?2 2 ),求它的标准方程.
当焦点在x(y)轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0)(x2=2my (m≠0)),可避免讨论 解:因为抛物线关于 x轴对称,它的顶点在原 点,并且经过
点M (2,?2 2 ), 所以,可设它的标准方 程为 y 2 ? 2 Px ( P ? 0)

因为点M在抛物线上,所以 (?2 2 )2 ? 2P ? 2,即p ? 2
因此,所求抛物线的标 准方程是y ? 4x
2

变式: 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点

M(2, ?2 2 )的抛物线有几条,求它的标准方程.

例 2 斜率为 1 的直线 l 经过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F, 且与抛物线相交于 A、B 两点,求线段 AB 的长.

解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);

法三 :设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长. 法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.

还有没有其他方法?

例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长.
解法一:由已知得抛物线的焦点 为F(1,0),所以直线AB的方程为 y=x-1
y

A’

A O F B
x

代入方程y 2 ? 4 x, 得( x ? 1)2 ? 4 x, 2 化简得x ? 6 x ? 1 ? 0. ? x1 ? x2 ? 6 ? ? B’ ? x1 ? x2 ? 1
? AB ? 2 ( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 8
2

所以,线段 AB的长是8。

例2.斜率为1的直线L经过抛物线 y2 = 4x 的焦点F, 且与抛物线相交于A,B两点,求线段AB的长. 解法二:由题意可知, p p ? 2, ? 1, 准线l : x ? ?1. 2
y

A’

A O F B
x

设A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), A, B到 准线l的距离分别为 d A , dB .
由抛物线的定义可知 AF ? d A ? x1 ? 1, BF ? d B ? x2 ? 1,

B’

所以 AB ? AF ? BF ? x1 ? x2 ? 2 ? 8

变式: 过抛物线y2=2px的焦点F任作一条直线m, 交这抛物线于A、B两点,求证:以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切.
y

分析:运用 抛物线的定 义和平面几 何知识来证 比较简捷.

C H D E F A

B O

x

证明:如图.
设AB的中点为E,过A、E、B分别向准线l引垂 线AD,EH,BC,垂足为D、H、C,
则|AF|=|AD|,|BF|=|BC| ∴|AB| =|AF|+|BF| =|AD|+|BC| =2|EH| 所以EH是以AB为直径的 圆E的半径,且EH⊥l,因 而圆E和准线l相切.
y

C H D E F A

B O

x

练习: 1.已知抛物线的顶点在原点,对称轴为x轴, 焦点在直线3x-4y-12=0上,那么抛物线通径 16 长是______________. 2.过抛物线 y2 = 8x 的焦点,作倾斜角为45
0

16 的直线,则被抛物线截得的弦长为_________
3.垂直于x轴的直线交抛物线y2=4x于A、B, 且|AB|=4 3 ,求直线AB的方程. X=3

例3.过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点, 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于 点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴.
y

A

F
O D B

x

例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点,通过点A和抛物线顶点的 直线交抛物线的准线于点D,求证:直线DB平行于抛物线的对称轴。

证明:以抛物线的对称 轴为 x轴,它的顶点为原点, 建立直角坐标系。设抛 物线的方程为 y 2 ? 2 px , 2 y0 2p 点A的坐标为 ( , y0 ),则直线OA的方程为y ? x, 2p y0 p 抛物线的准线是 x ? ? 2 2

y

A O F B
x

p 联立可得点 D的纵坐标为 y?? . y0

联立可得点 B的纵坐标为y ? ?

p 因为点F的坐标是( ,0),所以直线AF的 2 p x ? y 方程为 ? 2 2 . y0 p y0 ? 2p 2 2

D

p . y0

所以DB // x轴。

小结:
1.掌握抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、

离心率、通径;
2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、 焦点坐标及解决其它问题;

2.3.2 抛物线的简单几何性质 (二)

图形

标准方程
2

范围

对称性
关于x 轴 对称,无 对称中心
关于x 轴 对称,无 对称中心 关于y 轴 对称,无 对称中心 关于y 轴 对称,无 对称中心

顶点

离心率 e=1

y ? 2 px x ? 0, ( p ? 0) y ? R
y ? ?2 px x ? 0, ( p ? 0) y ? R
2

(0,0)
(0,0) (0,0) (0,0)

e=1

x ? 2 py y ? 0, ( p ? 0) x ? R
2

e=1

x ? ?2 py y ? 0, ( p ? 0) x ? R
2

e=1

例 1 已知抛物线的方程为 y ? 4 x ,直线 l 过定点 P (?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时 ,直线 l 与抛物线 y 2 ? 4 x :⑴只有一个公共点;⑵有两个公共点;⑶ 没有公共点?
2

分析:直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形:一种是直线 平行于抛物线的 对称轴; 另一种是直线与 抛物线相切.

?

判断直线与抛物线位置关系的操作程序
把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行 相交(一个交点)

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 <0

相交

相切

相离

解:由题意,设直线 l的方程为y ?1 ? k ( x ? 2).

? y ? 1 ? k ( x ? 2) 2 由方程组? 可得 ky ? 4 y ? 4(2k ? 1) ? 0 2 y ? 4x ?
(1)当k ? 0时,由方程得 y ? 1.
1 这时,直线 l与抛物线只有一个公共 点( ,1) 4

1 把y ? 1代入 y ? 4 x, 得x ? . 4
2

(2)当k ? 0时,方程的判别式为 ?=?16(2k 2 ? k ?1).

10由?=0,即2k 2 ? k ?1 ? 0
1 解得 k ? ?1, 或k ? . 2 1 即当k ? ?1,或k ? 时,方程组只有一个解 , 2 即直线与抛物线只有一 个公共点。

20由? ? 0,即2k 2 ? k ?1 ? 0

分析:

1 直线与抛物线有两个 解得 ? 1 ? k ? . 2 公共点时△>0 1 即当 ? 1 ? k ? , 且k ? 0时,方程组有两个解, 2 即直线与抛物线有两个 公共点。 分析:

30由? ? 0,即2k 2 ? k ?1 ? 0

1 解得 k ? ?1,或 k ? . 2 1 即当k ? ?1或k ? 时,方程组没有实数解 , 2 即直线与抛物线没有公 共点。

直线与抛物线没有公 共点时△<0

1 综上所述,当 k ? ?1,或k ? ,或k ? 0时, 2 即直线与抛物线只有一 个公共点。
1 当 ? 1 ? k ? , 且k ? 0时, 2 即直线与抛物线有两个 公共点。 1 当k ? ?1或k ? 时, 2 即直线与抛物线没有公 共点。

注:在方程中,二次项系数含有k,所以要对k进行讨论
作图要点:画出直线与抛物线只有一个公共点时的情 形,观察直线绕点P转动的情形

变式一:已知抛物线方程y2=4x,当b为何值时,直线 l:y=x+b与抛物线(1)只有一个公共点(2)两个公共 点(3)没有公共点.当直线与抛物线有公共点时,b的 最大值是多少?

分析:本题与例1类型相似,方法一样,通 过联立方程组求得.

(1)b=1

(2)b<1

(3)b>1,当直线与抛物线有公共点时,b的 最大值当直线与抛物线相切时取得.其值 为1

变式二:已知实数x、y满足方程y2=4x,求函数 的最值 本题转化为过定点(-2,1)的直线与抛物线有公共点时 斜率的最值问题. 1
y ?1 z? x?2

kmax ?

2

k min ? ?1

变式三:点(x,y)在抛物线y2=4x上运动,求函数z=x-y 的最值. 本题转化为直线y=x-z与抛物线有公共点时z的最值 问题.

zmin ? ?1 无最大值

例2、过抛物线焦点作直线交抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0)于 A,B两点,设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 ? ? p 2 .

解:因为直线AB过定点F且不与x轴平

行,设直线AB的方程为
2

? y ? 2 px p O ? 2 ? p ? y ? 2 p ( my ? ) 2 x ? my ? ? ? 2
即:y ? 2 pmy ? p ? 0
2 2

p x ? my ? 2

y A F B x

? y1 y2 ? ? p  (定值)
2

例2、过抛物线焦点作直线交抛物线y 2 ? 2 px( p ? 0)于 A,B两点,设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), 求证 : y1 y2 ? ? p 2 .

y
联想 : 在同样的条件下, 注意到 y1 y2 ? ? p 2 , 那么x1 x2 ? ________?

A F B x

O 2 变题1 : 过抛物线y ? 2 px( p ? 0)焦点 F的直线, 交抛物线于点A( x1 , y1 )、
p B( x2 , y2 ), 则有x1 x2 ? . 4
2

p 联想2 :由于直线AB过点焦点F ( ,0) 2 时有y1 y2 ? ? p 2成立, 那么反之是否 也成立 ?

A
y O B x F

变题2 : 抛物线y ? 2 px( p ? 0)上
2

两个动点A( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ), 若 y1 y2 ? ? p , 则直线AB过抛物线
2

焦点F .

联想3 :由于焦点比较特殊, 对于在抛物线的轴上的一 般的点, 结论又会怎样呢 ?

y A
2

变题3 : 设M (a,0)是抛物线y ? 2 px ( p ? 0)的轴上的一个定点, 过M的 O 直线交抛物线于A( x1 , y1 )、B ( x2 , y2 ) 两点, 求证 : y1 y2与x1 x2均为定值.
F B

x

小结: 设而不求,联立方程组,韦达定理这是研 究直线和圆锥曲线的位置关系问题的重要方 法.

作业:课本 P

73

A 组第 6 题 B 组第 1、2、3 题


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