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湖南省益阳市箴言中学2014-2015学年高一上学期10月月考数学试卷


湖南省益阳市箴言中学 2014-2015 学年高一上学期 10 月月考数学 试卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (4 分)若集合 A={0,1,2,4},B={1,2,3},则 A∩B=() A.{0,1,2,3,4} B.{0,4} C.{1,2} D.{3} 2. (4

分)已知全集 U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=() A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1} 3. (4 分)设全集为 R,函数 f(x)= A. (﹣∞,1) B. (1,+∞) B 的映射的为() A.f:x→ x B.f:x→ x 的定义域为 M,则?RM 为() C. (﹣∞,1] C.f:x→ x D. ,B=,则下列对应中是 A 到 D.f:x→ x

5. (4 分)下列函数中为偶函数的是() A.f(x)=x +x+1
2

B.f(x)=x +x

4

3

C.f(x)=

D.f(x)=

6. (4 分)下列各组函数表示同一函数的是() A. B. f(x)=1,g(x)=x
0

C.

D.

7. (4 分)根式

(式中 a>0)的分数指数幂形式为()

A.

B.

C.

D.

8. (4 分)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(﹣1)+g(1)=2,f(1)+g(﹣1) =4,则 g(1)等于() A.4 B. 3 C. 2 D.1

9. (4 分)已知函数 f(x)=

,则 f(4)=()

A.3

B. 7

C. 6

D.5

10. (4 分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特 2 定条件下, 可食用率 p 与加工时间 t (单位: 分钟) 满足函数关系 p=at +bt+c (a, b, c 是常数) , 如图记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()

A.3.50 分钟

B.3.75 分钟

C.4.00 分钟

D.4.25 分钟

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11. (4 分)已知集合 U={2,3,6,8},A={2,3},B={2,6,8},则(?UA)∩B=. 12. (4 分)函数 的定义域是.

13. (4 分)函数 f(x)=﹣x +2x,x∈的单调递减区间为.

2

14. (4 分)若 x>0,则(2x

+3

) (2x

﹣3

)﹣4x

(x﹣x

)=.

15. (4 分)对 a,b∈R,定义:max(a,b)= (6x﹣6,﹣x+8) (x∈R)的最小值为.

,则函数 f(x)=max

三、解答题:本大题共 6 小题,共 60 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (8 分)已知集合 A={x|x≥4 或 x≤﹣1},B=(﹣2,6) ,C={x|x<a}. (1)求 A∩B; (2)若 C?A,求实数 a 的取值范围. 17. (8 分)已知函数 f(x)是一次函数,且 f=9x+4,求函数 f(x)的解析式. 18. (10 分)已知函数 f(x)= 的定义域为集合 A,函数 g(x)=x ﹣2x+a,x∈ 的
2

值域为集合 B,若 A∪B=R,求实数 a 的取值范围.

19. (10 分)已知函数 f(x)=

在 R 上是奇函数,且 f(1)= .

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在区间(0,1)上的单调性,并用定义证明. 20. (12 分)已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x ﹣4x+3. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)作出函数 f(x)的图象,并根据图象讨论直线 y=k(k∈R)与函数 y=f(x)的图象的交 点个数. 21. (12 分)设函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,且对任意的实数 a,b,当 a+b≠0 时,都有 <0 成立. (1)判断函数 y=f(x)在 R 上的单调性并证明; 2 2 (2)若对任意 t∈,不等式 f(t ﹣2t﹣1)+f(2t ﹣k)≤0 恒成立,求实数 k 的最大值.
2

湖南省益阳市箴言中学 2014-2015 学年高一上学期 10 月月 考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (4 分)若集合 A={0,1,2,4},B={1,2,3},则 A∩B=() A.{0,1,2,3,4} B.{0,4} C.{1,2} D.{3} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 直接利用交集的运算得答案. 解答: 解:∵A={0,1,2,4},B={1,2,3}, ∴A∩B={0,1,2,4}∩{1,2,3}={1,2}. 故选:C. 点评: 本题考查交集及其运算,是基础题. 2. (4 分)已知全集 U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合?U(A∪B)=() A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1} 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 集合. 先求 A∪B,再根据补集的定义求 CU(A∪B) . 解:A∪B={x|x≥1 或 x≤0},

∴CU(A∪B)={x|0<x<1}, 故选:D. 点评: 本题考查了集合的并集、补集运算,利用数轴进行数集的交、并、补运算是常用方 法. 3. (4 分)设全集为 R,函数 f(x)= A.(﹣∞,1) B.(1,+∞) 的定义域为 M,则?RM 为() C.(﹣∞,1] D.

考点: 函数的定义域及其求法;补集及其运算. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由根式内部的代数式大于等于 0 求出集合 M,然后直接利用补集概念求解. 解答: 解:由 1﹣x≥0,得 x≤1, 即 M=(﹣∞,1], 又全集为 R,所以?RM=(1,+∞) . 故选 B. 点评: 本题考查了函数的定义域及其求法,考查了补集及其运算,是基础题. 4. (4 分)设集合 A=,B=,则下列对应中是 A 到 B 的映射的为() A.f:x→ x B.f:x→ x C.f:x→ x D.f:x→ x

考点: 映射. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据映射的定义,结合集合 A=,逐一判断四个答案中的对应关系,是否满足映射的 定义,进而可得答案. 解答: 解:当 f:x→ x 时,集合 A 中任意元素,在 B 中都有唯一元素与之对应,故该对应 是 A 到 B 的映射, 当 f:x→ x,x=4 时,在 B 中没有元素与之对应,故该对应不是 A 到 B 的映射, 当 f:x→ x 时,在 B 中没有元素与之对应,故该对应不是 A 到 B 的映射, 当 f:x→ x 时,在 B 中没有元素与之对应,故该对应不是 A 到 B 的映射, 故选 :A 点评: 本题主要考查映射的定义,通过举反例来说明某个命题不正确,是一种简单有效的 方法,属于基础题. 5. (4 分)下列 函数中为偶函数的是() A.f(x)=x +x+1
2

B.f(x)=x +x

4

3

C.f(x)=

D.f(x)=

考点: 函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用.

分析: 举例说明 A,B,D 中的函数不是偶函数,利用偶函数的定义证明 C 中的函数为偶函 数. 解答: 解:对于 A,∵f(﹣1)=1,f(1)=3,f(﹣1)≠f(1) , 2 ∴f(x)=x +x+1 不是偶函数; 对于 B,∵f(﹣1)=0,f(1)=2,f(﹣1)≠f(1) , 4 3 ∴f(x)=x +x 不是偶函数; 2 对于 C,由 x ﹣1≥0,得 x≤﹣1 或 x≥1. 又 ∴ 为偶函数; ,

对于 D,∵f(﹣1)=﹣1,f(1)=1,f(﹣1)≠f(1) , ∴f(x)= 不是偶函数.

故选:C. 点评: 本题考查了函数奇偶性的判断,关键是掌握利用定义法判断函数奇偶性的步骤,是 基础题. 6. (4 分)下列各组函数表示同一函数的是() A. B. f(x)=1,g(x)=x
0

C.

D.

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 证明题. 分析: 分别求出四个答案中两个函数的定义域,然后判断是否一致,进而化简函数的解析 式,再比较是否一致,进而根据两个函数的定义域和解析式均一致,则两函数表示同一函数, 否则两函数不表示同一函数得到答案. 解答: 解:f 两个函数的定义域和解析式均不一致,故

A 中两函数不表示同一函数; 0 f(x)=1,g(x)=x 两个函数的定义域不一致,故 B 中两函数不表示同一函数; 两个函数的定义域和解析式均一致,故 C 中两函数表 示同一函数; 两个函数的定 义域不一致,故 D 中两函数不表示同一函数; 故选 C 点评: 本题考查的知识点是判断两个函数是否表示同一函数,熟练掌握同一函数的定义, 即两个函数的定义域和解析式均一致或两个函数的图象一致,是解答本题的关键.

7. (4 分)根式

(式中 a>0)的分数指数幂形式为()

A.

B.

C.

D.

考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 计算题. 分析: 由查根式和分数指数幂的意义,先将根式中的部分化为分数指数幂,再化整体即可. 解答: 解: 故选 A. 点评: 本题考查根式和分数指数幂的互化、指数的运算法则,属基本知识、基本运算的考 查. 8. (4 分)已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(﹣1)+g(1)=2,f(1)+g(﹣1) =4,则 g(1)等于() A.4 B. 3 C. 2 D.1 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由 f(x) 、g(x)的奇偶性可得关于 f(1) 、g(1)的方程组,消掉 f(1)即可求得 g(1) . 解答: 解:由 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数得,﹣f(1)+g(1)=2①,f(1)+g(1) =4②, 由①②消掉 f(1)得 g(1)=3, 故选 B. 点评: 本题考查函数奇偶性及其应用,属基础题,定义是解决该类问题的基本方法.

9. (4 分)已知函数 f(x)= A.3 B. 7 C. 6

,则 f(4)=() D.5

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用分段函数将 f(4)转化到 x≥8 的对应数值,然后求解. 解答: 解:∵函数 f(x)= ,

∴f(4)=f=f(6)=f=f(8)=5, 故选:D 点评: 本题主要考查分段函数求值问题,根据函数的解析式,代入计算即可得到答案,比 较基础.

10. (4 分)加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特 定条件下, 可食用率 p 与加工时间 t (单位: 分钟) 满足函数关系 p=at +bt+c (a, b, c 是常数) , 如图记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()
2

A.3.50 分钟

B.3.75 分钟

C.4.00 分钟

D.4.25 分钟

考点: 进行简单的合情推理. 专题: 推理和证明. 分析: 由提供的数据,求出函数的解析式,由二次函数的图象与性质可得结论. 解答: 解:将(3,0.7) , (4,0.8) , (5,0.5)分别代入 p=at +bt+c,可得 解得 a=﹣0.2,b=1.5,c=﹣2, ∴p=﹣0.2t +1.5t﹣2,对称轴为 t=﹣
2 2



=3.75.

故选:B. 点评: 本题考查了二次函数模型的应用,考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问 题,确定函数模型是关键. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分. 11. (4 分)已知集合 U={2,3,6,8},A={2,3},B={2,6,8},则(?UA)∩B={6,8}. 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 先求出集合 A 的补集,再利用交集的定义求(CUA)∩B 解答: 解:由题意∵U={2,3,6,8},集合 A={2,3}, ∴CUA={6,8}, 又 B={2,6,8}, 故(CUA)∩B={6,8} 故答案为:{6,8}. 点评: 本题考查交、并、补集的混合运算,正确解答本题关键是掌握并理解补集与交集的 定义,并能 根据所给的规则进行正确运算.

12. (4 分)函数

的定义域是的单调递减区间为.

考点: 二次函数的性质. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 将函数 f(x)配方,求得对称轴,考虑图象开口向下,在对称轴的右边为减区间, 再由区间求交集即可. 2 解答: 解:f(x)=﹣x +2x 2 =﹣(x﹣1) +1, 则函数的对称轴为 x=1, 由图象的开口向下,则区间位于对称轴的右边为减区间, 则上的区间是减区间. 故答案为: . 点评: 本题主要考查函数单调性和单调区间的求解,利用二次函数的单调性的性质是解决 本题的关键.

14. (4 分)若 x>0,则(2x

+3

) (2x

﹣3

)﹣4x

(x﹣x

)=﹣23.

考点: 根式与分数指数幂的互化及其化简运算. 专题: 计算题. 分析: 利用乘法公式和指数幂的运算法则即可得出. 解答: 解:原式= ﹣3 ﹣
3

=﹣23.

故答案为:﹣23. 点评: 本题考查了乘法公式和指数幂的运算法则,属于基础题.

15. (4 分)对 a,b∈R,定义:max(a,b)= (6x﹣6,﹣x+8) (x∈R)的最小值为 6.

,则函数 f(x)=max

考点: 分段函数的应用. 专题: 计算题;新定义;函数的性质及应用. 分析: 由定义运用分段函数写出 f(x)的表达式,再求每一段的值域,注意运用一次函数 的单调性,最后求并集即可得到最小值. 解答: 解:若 6x﹣6≥8﹣x,则 x≥2,即有 f(x)=6x﹣6; 若 6x﹣6<8﹣x,则 x<2,即有 f(x)=8﹣x. 则 f(x)= ,

当 x≥2 时,f(x)≥6×2﹣6=6, 当 x<2 时,f(x)>8﹣2=6. 故 f(x)的值域为∪ (2)∵C?A, ∴a≤ ﹣1, 即 a 的取值范围为 a≤﹣1.

点评: 本题考 查了集合的运算与集合之间的包含关系,属于基础题. 17. (8 分)已知函数 f(x)是一次函数,且 f=9x+4,求函数 f(x)的解析式. 考点: 函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意,设 f(x)=ax+b,代入 f 中,利用多项式相等,对应系数相等,求出 a、b 的值即可. 解答: 解:设 f(x)=ax+b,a、b∈R, 则 f=f=a(ax+b)+b 2 即 a x+ab+b=9x+4, ∴ ;

解得

,或



∴f(x)=3x+1,或 f(x)=3x﹣2. 点评: 本题考查了求函数解析式的问题,解题时应用待定系数法,设出函数的解析式,求 出系数即可,是基础题. 的定义域为集合 A,函数 g(x)=x ﹣2x+a,x∈
2

18. (10 分)已知函数 f(x)=

的值域为集合 B,若 A∪B=R,求实数 a 的取值范围. 考点: 函数的值 域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 求解一元二次不等式得到 A,利用配方法求函数的值域得到 B,然后根据 A∪B=R 得到关于 a 的不等式组,求解不等式组得答案. 2 解答: 解:由 x ﹣2x﹣8≥0,得 x≤﹣2 或 x≥4, ∴A=(﹣∞,﹣2]∪, ∴g(x)=x ﹣2x+a=(x﹣1) +a﹣1 的最小值为 a﹣1,最大值为 a+8. ∴B=, 由 A∪B=R, ∴ ,解得﹣4≤a≤﹣1.
2 2

∴实数 a 的取值范围是. 点评: 本题考查了函数的定义域及值域的求法,考查了并集及其运算,是基础题.

19. (10 分)已知函数 f(x)=

在 R 上是奇函数,且 f(1)= .

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)判断函数 f(x)在区间(0,1)上的单调性,并用定义证明. 考点: 函数奇偶性的性质;函数单调性的判断与证明. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)根据函数奇偶性定义求解. (2)根据函数单调性定义求解证明. 解答: 解: (1)∵函数 f(x)= ∴f(﹣x)=﹣f(x) 即 f(1)= .f(﹣1)=﹣ . 解得:a=1,b=0, 所以 , 在 R 上是奇函数,

(2)根据对钩函数性质可判断 y=x+ 在(0,1)为减函数,且为 y>0, 所以 ,在(0,1)上为增函数,

证明:设实数 0<x1<x2<1, f(x1)﹣f(x2)= ∵0<x1<x2<1, ∴x1﹣x2<0,1﹣x1x2>0(1+x ) (1+x )>0, ﹣ =

f(x1)﹣f(x2)= f(x1)﹣f(x2)<0, 即 f(x1)<f(x2) 所以



=

<0,

,在(0,1)上为增函数,

点评: 本题考查了函数性质,应用定义解决问题,仔细化简判断. 20. (12 分)已知函数 f(x)是 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=x ﹣4x+3. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)作出函数 f(x)的图象,并根据图象讨论直线 y=k(k∈R)与函数 y=f(x)的图象的交 点个数. 考点: 函数奇偶性的性质;二次函数的性质. 分析: (1)利用奇函数定义求解转化,
2

(2)作出图象,根据图象讨论的答案. 解答: 解: (1)∵函数 f( x)是 R 上的奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x) 即 f(0)=0 2 ∵当 x>0 时,f(x)=x ﹣4x+3, ∴设 x<0 时,则﹣x>0,f(x)=﹣f(﹣x)=﹣ 即 f(x)═﹣x ﹣4x﹣3,x<0
2

(2)特别强调的是图中 y 轴上的点(0,3) , (0﹣3)为虚点,图中画不出虚点符号, f(2)=﹣1,f(﹣2)=1

由图可判断直线 y=k(k∈R)与函数 y=f(x)的图象的交点个数: (1)k≥3 或 k≤﹣3 时,有 1 个交点; (2)﹣3<k<﹣1 或 1<k<3 时,有 2 个交点; (3)k=±1 时,有 3 个交点; (4)﹣1<k<0 或 0<k<1 时,有 4 个交点; (5)k=0 时,有 5 个交点. 点评: 本题综合考查了函数的图象性质,要求的能力较高. 21. (12 分)设函数 y=f(x)是 R 上的奇函数,且对任意的实数 a,b,当 a+b≠0 时,都有 <0 成立. (1)判断函数 y=f(x)在 R 上的单调性并证明; 2 2 (2)若对任意 t∈,不等式 f(t ﹣2t﹣1)+f(2t ﹣k)≤0 恒成立,求实数 k 的最大值. 考点: 函数奇偶性的性质.

专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)运用定义证明单调性, (2)运用奇偶性,单调性转化为 t ﹣2t﹣1≥k﹣2t 对 t∈恒成立分离参数转化为函 数求解. 解答: 解: (1)函数 y=f(x)在 R 上是减函数. 证明:任取 x1,x2∈R,且 x1<x2, 则
2 2

由已知得

,x1﹣x2<0,

所以 f(x1)﹣f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2) 故函数 y=f(x)在 R 上是减函数. 2 2 (2)由(1)知 y=f(x)在 R 上是减函数,且为奇函数,f(t ﹣2t﹣1)+f(2t ﹣k)≤0, 2 2 2 所以 f(t ﹣2t﹣1)≤﹣f(2t ﹣k)=f(k﹣2t ) 2 2 即 t ﹣2t﹣1≥k﹣2t 对 t∈恒成立 2 转化可得 k≤3t ﹣2t﹣1 对 t∈恒成立 2 设 g(t)=3t ﹣2t﹣1,t∈, 则 k≤min,又 g(t)在 t∈上是减函数 ∴min=g(0)=﹣1 ∴k≤﹣1 ∴kmax=﹣1. 点评: 本题综合考查了函数的性质,用性质解决问题.


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