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2016届厦门一中高三周考一数学理科试卷含答案


2016 届厦门一中高三(下)周考 理科数学模拟试卷
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项 是符合题目要求的.

1.已知集合 A ? x y ? (1 ? x)(x ? 3) , B ? x log2 x ? 1 ,则 A ? B ? ( ) A. x ? 3

? x ? 1

?

?

?

?

?

?

B. x 0 ? x ? 1

?

?

C. x ? 3 ? x ? 2

?

?

D. x x ? 2

?

?

2.设 i 为虚数单位,复数 z 满足 z ? i ? 3 ? 4i ,则 z 在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

? 3.已知平面向量 a 、b 满足 a ? 2 , b ? 1 ,a 与 b 的夹角为 120 , 且 (a ? ?b) ? (2a ? b) ,

则实数 ? 的值为( ) A. ? 7 B. ? 3 C. 2 D. 3

?2 x ? y ? 2 ? 0 ? 4.若 x , y 满足约束条件 ? 3 x ? y ? 3 ? 0 ,则 z ? x ? y 的最小值为( ) ? x?0 ?
A. ? 3 B. 1 C. ? 2 D. 2

6. ( x ? x ? 1) 的展开式中, x 的系数为( )
2 5
3

A. ? 30

B. ? 24

C. ? 20

D. 20

7.已知实数列 ?an ?是等比数列,若 a2 a5a8 ? ?8 ,则

1 4 9 ( ) ? ? a1a5 a1a9 a5 a9
C.有最大值

A.有最大值 值

1 2

B.有最小值

1 2

5 2

D.有最小

5 2

8. 4 名同学参加 3 项不同的课外活动,若每名同学可自由选择参加其中的一项,则每项活动 至少有一名同学参加的概率为( )

A.

4 9

B.

9.若 ? 、 ? ? [? A. ? ? ?

? ?

4 27

C.

9 64

D.

3 64

, ] ,且 ? sin ? ? ? sin ? ? 0 ,则下面结论正确的是( ) 2 2
B. ? ? ? ? 0 C. ? ? ? D. ? 2 ? ? 2

10.点 S 、 A 、 B 、 C 在半径为 2 的同一球面上,点 S 到平面 ABC 的距离为

1 , 2

AB ? BC ? CA ? 3 ,则点 S 与 ?ABC 中心的距离为( )
A. 3 B. 2 C. 1 D.

1 2

11.已知 F1 , F2 分别是双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,其离心率为 e , a 2 b2

点 B 的坐标为 (0, b) ,直线 F1B 与双曲线 C 的两条渐近线分别交于 P, Q 两点,线段 PQ 的 垂直平分线与 x 轴,直线 F1B 的交点分别为 M , R ,若 ?RMF 1 与 ?PQF 2 的面积之比为 e , 则 e 的值为( ) A.

6 2

B.

3 2

C. 2

D. 2

12.已知函数 f ( x) ? x ? x ln x ,若 k ? Z ,且 k ( x ? 2) ? f ( x) 对任意的 x ? 2 恒成立,则 k 的最大值为( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

第Ⅱ卷(共 90 分)
二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
2 13.若命题” ?x0 ? R ,使得 x0 ? mx0 ? 2m ? 3 ? 0 “为假命题,则实数 m 的取值范围是

______. 14.公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边形面 积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数 点后两位的近似值 3.14 ,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的
? ? 一个程序框图,则输出的值为_____.(参考数据: sin 15 ? 0.2588, sin 7.5 ? 0.1305)

15.网格纸上小正方形边长为 1 ,粗线是一个棱锥的三视图,则此棱锥的体积为______.

? n 2 , an?1 ? n 2 16.数列 ?an ?满足 an ? ? (n ? 2) ,若 ?an ?为等比数列,则 a1 的取值范围是 2 ?2an?1 , an?1 ? n
_____.

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
2 17.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别是 a, b, c ,且 a ? 2 , 2 cos

B?C 4 ? sin A ? . 2 5

(1)若满足条件的 ?ABC 有且只有一个,求 b 的取值范围; (2)当 ?ABC 的周长取最大值时,求 b 的值. 18.边长为 2 的正方形 ABCD 所在的平面与 ?CDE 所在的平面交于 CD ,且 AE ? 平面

CDE , AE ? 1 .
(1)求证:平面 ABCD ? 平面 ADE ;

(2)设点 F 是棱 BC 上一点,若二面角 A ? DE ? F 的余弦值为 上的位置.

10 ,试确定点 F 在 BC 10

19.连续抛掷同一颗均匀的骰子,令第 i 次得到的点数为 a1 ,若存在正整数 k ,使

a1 ? a2 ? ? ? ? ? ak ? 6 ,则称 k 为你的幸运数字.
(1)求你的幸运数字为 3 的概率; (2)若 k ? 1 ,则你的得分为 6 分;若 k ? 2 ,则你的得分为 4 分;若 k ? 3 ,则你的得分 为 2 分;若抛掷三次还没找到你的幸运数字则记 0 分,求得分 ? 的分布列和数学期望.

20.如图, 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知椭圆 C :

x2 y2 1 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 e ? , 2 2 a b

左顶点 A(?4,0) ,过点 A 作斜率为 k (k ? 0) 的直线 l 交椭圆 C 于 D ,交 y 轴于点 E . (1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P 为 AD 的中点,是否存在定点 Q ,对于任意的 k (k ? 0) 都有 OP ? EQ ?若 存在,求出点 Q 的坐标;若不存在,说明理由; (3)若过点 O 作直线 l 的平行线交椭圆 C 于点 M ,求

AD ? AE 的最小值. OM

21.(1)已知函数 f ( x) ?

1 1 ? (0 ? x ? 1) ,求 y ? f ( x) 的单调区间; 2 (1 ? x) (1 ? x) 2

(2)若 0 ? ? ? ? ? 1,0 ? x ? 1 ,求证: (1 ? x)? ?2 ? (1 ? x)? ?2 ? (1 ? x) ? ?2 ? (1 ? x) ? ?2 . 【二选一】 22.已知平面直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线

? x ? 2 3 cos? C 的参数方程为 ? (? 为参数), A, B 在曲线 C 上,且 A, B 两点的极坐标分别 y ? 2 sin ? ?
为 A( ? 1 ,

?
6

) , B( ? 2 ,

2? ). 3

(1)把曲线 C 的参数方程化为普通方程和极坐标方程; (2)求线段 AB 的长度. 23.已知函数 f ( x) ? x ?1 ? x ? 3 . (1)解不等式 f ( x) ? 6 ; (2)若不等式 f ( x) ? ax ? 1 对任意 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2016 届厦门一中高三(下)周考—理科数学模拟试卷
一、选择题 BDDCD ADADB AB

二、填空题 13. [2,6] 14. 24 15.

8 3

16. [ ,?? )

9 2

f ?(m) ? 2 ? ln m ? (4,5) ,又 k ? Z ,所以 kmax ? 4 ,选 B.
15.三视图如图:

16.显然等比数列为 an ? 2an?1 ,即 an ? 2n?1 a1 ,故必须符合 an?1 ? n 2 ,所以 2

n?2

a1 ? n 2 ,

a1 ?

n2 n2 9 9 ,求 的最大值为当 n ? 3 时 ,所以 a1 ? . n?2 n?2 2 2 2 2

三、解答题 17.解: 2 cos
2

B?C 4 4 1 ? sin A ? ? 1 ? cos( B ? C ) ? sin A ? ? sin A ? cos A ? ? , 2 5 5 5

3 ? sin A ? ? 5. 又 0 ? A ? ? ,且 sin 2 A ? cos2 A ? 1 ,有 ? 4 ?cos A ? 5 ?
(1)若满足条件的 ?ABC 有且只有一个,则有 a ? b sin A 或 a ? b , 则 b 的取值范围为 (0,2] ? ?

?10 ? ?. ?3?

(2)设 ?ABC 的周长为 l ,由正弦定理得

l ? a?b?c ? a? ? 2?

a 10 (sin B ? sin C ) ? 2 ? [sin B ? sin( A ? B)] sin A 3

10 [sin B ? sin A cos B ? cos A sin B)] ? 2 ? 2(3 sin B ? cos B) ? 2 ? 2 10 sin( B ? ? ) , 3

? 10 sin ? ? ? ? 10 , l ? 2 ? 2 10 ,当 cos B ? 10 , sin B ? 3 10 时 其中 ? 为锐角,且 ? max 10 10 ?cos? ? 3 10 ? 10 ?
取到. 此时 b ?

a sin B ? 10 . sin A

18.解: (1) ∵ AE ? 平面 CDE , ∴ AE ? CD , 又∵ AD ? CD ,AE ? AD ? A , ∴ CD ? 面 ADE . 又 CD ? 面 ABCD ,∴平面 ABCD ? 平面 ADE . (2)∵ CD ? DE ,∴如图,建立空间直角坐标系 D ? xyz ,

则 D(0,0,0),C(0,2,0), E( 3,0,0) ,∴ AB ? DC ? (0,2,0) ,∴ B( 3,2,1) . 设 CF ? ?CB ? ? ( 3,0,1), ? ?[0,1] ,则 F ( 3? ,2, ? ) . 设平面 FDE 的法向量为 n ? ( x, y, z) ,

则?

? ?n ? DF ? 3?x ? 2 y ? ?z ? 0 ,∴取 n ? (0, ?,?2) , ? n ? DE ? 3 x ? 0 ?

又平面 ADE 的法向量为 m ? (0,1,0) , ∴ cos ? m, n ??

m?n mn

?

? ?2 ? 4

?

2 10 ,∴ ? ? , 3 10

故当点 F 满足 CF ?

2 10 CB 时,二面角 A ? DE ? F 的余弦值为 . 3 10

19.解: (1)设“连续抛掷 k 次骰子的,和为 6 ”为事件 A ,则它包含事件 A1 , A2 , A3 , 其中 A1 :三次恰好均为 2 ; A2 :三次中恰好 1,2,3 各一次; A3 :三次中有两次均为1 ,一 次为 4 , A1 , A2 为互斥事件,则 k ? 3 的概率: P( A) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 )

1 1 5 3 1 3 1 1 1 1 1 1 ? C3 ( ) ? C3 ? ? C2 ? ? C2 ? ? C32 ( ) 2 ? ? . 6 6 6 6 6 6 108
(2)由已知得 ? 的可能取值为 6,4,2,0 ,

P(? ? 6) ?

1 1 2 5 2 1 1 1 1 1 , P(? ? 4) ? ( ) ? C2 ? ? ? C2 ? ? ? , 6 6 6 6 6 6 36 1 1 5 3 1 3 1 1 1 1 1 1 P(? ? 2) ? C3 ( ) ? C3 ? ? C2 ? ? C1 ? C32 ? ( ) 2 ? ? , 6 6 6 6 6 6 108 1 5 5 35 P(? ? 0) ? 1 ? ? ? ? . 6 36 108 54

∴ ? 的分布列为

?
P

6

4

2

0

1 6

5 36

5 108

35 54

∴ E? ? 6 ?

1 5 5 70 89 ? 4? ? 2? ? 0? ? . 6 36 108 108 54 1 ,所以 c ? 2 . 2

20.解: (1)因为左顶点为 A(4,0) ,所以 a ? 4 ,又 e ?
2 2 2 又因为 b ? a ? c ? 12 ,所以椭圆 C 的标准方程为

x2 y2 ? ?1. 16 12

? x2 y2 2 2 ? ? ? 1 ,消元得, x ? [k ( x ? 4)] ? 1, (2)直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,由 ? 16 12 16 12 ? ? y ? k ( x ? 4)

化简得: ( x ? 4)[(4k 2 ? 3) x ? 16k 2 ?12)] ? 0 ,所以 x1 ? 4, x2 ?

? 16k 2 ? 12 . 4k 2 ? 3

当x?

? 16k 2 ? 12 ? 16k 2 ? 12 24k y ? k ( ? 4) ? 2 时, , 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 ? 16k 2 ? 12 24k , ) ,因为点 P 为 AD 的中点,所以 P 的坐标为 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3

所以 D(

? 16k 2 12k ( 2 , ), 4k ? 3 4k 2 ? 3
则 kOP ? ?

3 (k ? 0) . 4k

直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,令 x ? 0 ,得 E 点坐标为 (0,4k ) , 假设存在定点 Q(m, n)(m ? 0) 的,使得 OP ? EQ ,则 kOP kEQ ? ?1 ,即 ? 恒成立, 所以 (4m ? 12)k ? 3n ? 0 恒成立,所以 ? 因此定点 Q 的坐标为 (?3,0) . (3)因为 OM ∥ l ,所以 OM 的方程可设为 y ? kx ,

3 n ? 4k ? ? ?1 4k m

?4m ? 12 ? 0, ?m ? ?3, 即? ? n ? 0, ? ? 3n ? 0,

? x2 y2 4 3 ? ? ? 1 得 M 点的横坐标为 由 ?16 12 , x?? 2 4 k ? 3 ? ? y ? kx
由 OM ∥ l ,得

AD ? AE xD ? x A ? xE ? x A xD ? 2 x A ? ? OM xM xM

? 16k 2 ? 12 ?8 2 1 4k 2 ? 9 1 6 ? 4k ? 3 ? ? ? ( 4k 2 ? 3 ? )?2 2 , 4 3 3 4k 2 ? 3 3 4k 2 ? 3 4k 2 ? 3
当且仅当 4k 2 ? 3 ?

6 4k ? 3
2

即k ? ?

3 时取等号, 2

所以当 k ? ?

AD ? AE 3 时, 的最小值为 2 2 . OM 2

21.(1)由 f ( x) ? (1 ? x)?2 ? (1 ? x)?2 求导可得:

f ?( x) ? ?2(1 ? x) ?1 ? (?2)(1 ? x) ?3 (?1) ?
∴ f ( x) 在 [0,1) 上单调递减.

4 x 2 (3 ? x) ? 0 在 0 ? x ? 1 上恒成立. (1 ? x 2 ) 2

(2)证明:当 x ? 0 时,两式均等于 1 ,等式成立; 当 x ? (0,1) 时,要证明原式,只需证明 g ( x) ? (1 ? t ) x?2 ? (1 ? t ) x?2 在 (0,1) 上单调递减,

t ? (0,1) .
而 g ?( x) ? (1 ? t ) x?2 ln( 1 ? t ) ? (1 ? t ) x?2 ln(1 ? t ) ,∵ (1 ? t ) x?2 单调递增,且 ln(1 ? t ) ? 0 , 又∵ (1 ? t ) x?2 单调递减,且 ln( 1 ? t ) ? 0 ,∴ g ?( x) 单调递增,故

g ?( x) ? g ?(t ) ?

ln(1 ? t ) ln(1 ? t ) (1 ? t ) ln(1 ? t ) ? (1 ? t ) ln(1 ? t ) ? ? , 1? t 1? t 1? t 2

令 h(t ) ? (1 ? t ) ln( 1 ? t ) ? (1 ? t ) ln(1 ? t ), (0 ? t ? 1) , 则 h?(t ) ? ? ln(1 ? t ) ?

1? t 1? t 1? t 4t ? ln(1 ? t ) ? ? ln ? ?0, 1? t 1? t 1? t 1? t 2

∴ h(t ) 单调递减, h(t ) ? h(0) ? 0 ,∴ g ?( x ) 单调递减,∴ g (? ) ? g (? ) , 所以综上,不等式成立.

1 cos2 ? sin 2 ? x2 y2 ?1, 22.解: (1) 曲线 C 的普通方程为: ? 化为极坐标方程为: 2 ? . ? 12 4 ? 12 4
(2)把极坐标 A( ?1 ,

?
6

), B( ? 2 ,

2? ) 代入曲线 C 的极坐标方程中,得到: 3

1

?

2 1

?

cos2 12

?
6 ?

sin 2 4

?
6 ,故 ? 2 ? 9 ; 1 ? 1 2

cos2

?2

2? 2? sin 2 3 ? 3 ,故 ? 2 ? 24 , 2 12 4 5

所以 AB ?

2 ?12 ? ?2 ? 2?1?2 cos(

2? ? 24 8 5 ? ) ? 8? ? . 3 6 5 5

?2 x ? 4, x ? 3 ? x?3 ? 23.解: (1)由于 f ( x ) ? x ? 1 ? x ? 3 ? ? 2,1 ? x ? 3, 所以 f ( x) ? 6 等价于 ? ?2 x ? 4 ? 6 ? 4 ? 2 x, x ? 1 ?
或?

?1 ? x ? 3 ? x ? 1 或? ,解之得到解集为 ?x ?1 ? x ? 5?. ? 2?6 ?? 2 x ? 4 ? 6

(2)函数 f ( x) 的图象 (如图) 是由射线 AM , 线段 AB , 射线 BN 构成, 其中 A(1,2), B(3,2) , 射线 AM , BN 的斜率分别为 ? 2,2 .图象如下:

要使 f ( x) ? ax ? 1 恒成立,只需 f ( x) 的图象恒在直线 y ? ax ? 1 的上方,又由于直线 由于直线 PB 斜率为 1 , 射线 AM 的斜率为 ? 2 . y ? ax ? 1 是过 P(0,?1) 且斜率为 a 的直线, 所以符合条件的实数 a 的范围为 [?2,1] .


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