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绵阳市2007年高级中等教育学校招生统一考试数学试题(含答案)-


绵阳市 2007 年高级中等教育学校招生统一考试
一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1.-
1 3

的相反数是 B.-3 C.
1 3

A.3

D.-

1 3

/>2.保护水资源,人人有责.我国是缺水国家,目前可利用淡水资源总量仅约为 899000 亿 米 3,用科学记数法表示这个数为 A.8.99×105 亿米 3 ? C.8.99×104 亿米 3 ? B.0.899×106 亿米 3 ? D.89.9×103 亿米 3

3.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A. 4.下列说法错误的是

B.

C.

D.

A.必然发生的事件发生的概率为 1 C.随机事件发生的概率大于 0 且小于 1

B.不可能发生的事件发生的概率为 0 D.不确定事件发生的概率为 0

5.学校文艺部组织部分文艺积极分子看演出,共购得 8 张甲票,4 张乙票,总计用了 112 元.已知每张甲票比乙票贵 2 元,则甲票、乙票的票价分别是 A.甲票 10 元∕张,乙票 8 元∕张 C.甲票 12 元∕张,乙票 10 元∕张 6.下列三视图所对应的直观图是 B.甲票 8 元∕张,乙票 10 元∕张 D.甲票 10 元∕张,乙票 12 元∕张

A.

B.

C.
2 x

D.

7.若 A(a1,b1) ,B(a2,b2)是反比例函数 y ? ? b1 与 b2 的大小关系是 A.b1<b2 ? B.b1 = b2 ?

图象上的两个点,且 a1<a2,则

C.b1>b2 ? D.大小不确定

8.初三·一班五个劳动竞赛小组一天植树的棵数是:10,10,12,x,8,如果这组数据 的众数与平均数相等,那么这组数据的中位数是 A.12 B.10 C.9 D.8

9. 如图, 在正方形 ABCD 的外侧, 作等边△ADE, BE、 分别交 AD 于 G、 设△CDH、 CE H, △GHE 的面积分别为 S1、S2,则 A.3S1 = 2S2 ? C.2S1 = 3 S2 ? B.2S1 = 3S2 D. 3 S1 = 2S2

10.将一块弧长为? 的半圆形铁皮围成一个圆锥(接头 忽略不计) ,则围成的圆锥的高为
3 2 5 2

A. 3

B.

C. 5

D.

11.当身边没有量角器时,怎样得到一些特定 度数的角呢?动手操作有时可以解 “燃眉 之急” .如图,已知矩形 ABCD,我们按 如下步骤操作可以得到一个特定的角:

A

D

B

C

(1)以点 A 所在直线为折痕,折叠纸片,使点 B 落在 AD 上,折痕与 BC 交于 E; (2) 将纸片展平后,再一次折叠纸片,以 E 所在直线为折痕,使点 A 落在 BC 上,折痕 EF 交 AD 于 F.则∠AFE = A.60? B.67.5? C.72? D.75?

12.已知一次函数 y = ax + b 的图象过点(-2,1) ,则关于抛物线 y = ax2-bx + 3 的三条 叙述: ① 过定点(2,1) ② 对称轴可以是 x = 1,③ 当 a<0 时,其顶点的纵坐标 , 的最小值为 3.其中所有正确叙述的个数是 A.0 B.1 C.2 D.3

二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 4 分,共 24 分.将答案直接填写在题中横线上. 13.因式分解:2m2-8n2 = .

14.如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,AD = CD,E、F 分别是 AB、BC 的中点,若∠1 = 35?,则∠D = .

15.如图所示的函数图象反映的过程是:小明从家去书店,又 去学校取封信后马上回家,其中 x 表示时间,y 表示小明离他家的距离,则小明从学校 回家的平均速度为 ____________千米∕小时.

16.如图,△ABC 三个顶点的坐标分别为 A(2,2) ,B(4,2) ,C(6,4) ,以原点 O 为 位似中心,将△ABC 缩小,使变换后得到的△DEF 与△ABC 对应边的比为 1∶2,则线

段 AC 的中点 P 变换后对应的点的坐标为



17.经过某十字路口的汽车,它可能继续直行,也可能向左转或向右转,如果这三种可能 性大小相同, 那么三辆汽车经过这个十字路口, 至少有两辆车向左转的概率为 18.若 a、b、c 是直角三角形的三条边长,斜边 c 上的高的长是 h,给出下列结论: ① 以 a2,b2,c2 的长为边的三条线段能组成一个三角形 ② 以 a , b , c 的长为边的三条线段能组成一个三角形 ③ 以 a + b,c + h,h 的长为边的三条线段能组成直角三角形 ④ 以
1 a





1 b



1 c

的长为边的三条线段能组成直角三角形 .

其中所有正确结论的序号为

三、解答题:本大题共 7 个小题,共 90 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 19. (本题共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分) (1)计算: ( ?
1 1 ?1 2 0 ) ?( ) ? ? | tan 45 ? ? 2 3 3 3 |.

(2)化简:

x x ?1

?

3 ( x ? 1)( x ? 2 )

? 1 ,并指出 x 的取值范围.

20. (本题满分 12 分)小明对本班同学上学的交通方式进行了一次调查,他根据采集的数 据,绘制了下面的统计图 1 和图 2.请你根据图中提供的信息,解答下列问题:

图1 (1)计算本班骑自行车上学的人数,补全图 1 的统计图;?

图2

(2)在图 2 中,求出“乘公共汽车”部分所对应的圆心角的度数,补全图 2 的统计 图(要求写出各部分所占的百分比) ;? (3)观察图 1 和图 2,你能得出哪些结论?(只要求写出一条) .

21. (本题满分 12 分) 绵阳市“全国文明村”江油白玉村果农王灿收获枇杷 20 吨,桃子 12 吨.现计划租用 甲、乙两种货车共 8 辆将这批水果全部运往外地销售,已知一辆甲种货车可装枇杷 4 吨和 桃子 1 吨,一辆乙种货车可装枇杷和桃子各 2 吨. (1)王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地?有几种方案? (2)若甲种货车每辆要付运输费 300 元,乙种货车每辆要付运输费 240 元,则果农 王灿应选择哪种方案,使运输费最少?最少运费是多少?

22. (本题满分 12 分)如图,AB 是⊙O 的直径,∠BAC = 60?,P 是 OB 上一点,过 P 作 AB 的垂线与 AC 的延长线交于点 Q,过点 C 的切线 CD 交 PQ 于 D,连结 OC. (1)求证:△CDQ 是等腰三角形; (2)如果△CDQ≌△COB,求 BP:PO 的值.

23. (本题满分 12 分)已知 x1,x2 是关于 x 的方程(x-2) (x-m)=(p-2) (p-m)的 两个实数根. (1)求 x1,x2 的值; (2)若 x1,x2 是某直角三角形的两直角边的长,问当实数 m,p 满足什么条件时,此 直角三角形的面积最大?并求出其最大值.

24. (本题满分 12 分) 如图,△ABC 中,E、F 分别是 AB、AC 上的点. ① AD 平分∠BAC,② DE⊥AB,DF⊥AC, ③ AD⊥EF.以此三个中的两个为条件,另一个为结论,可构成三个命题,即: ①② ? ③,①③ ? ②,②③ ? ①. (1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答) ; (2)请证明你认为正确的命题.

25. (本题满分 14 分)如图,已知抛物线 y = ax2 + bx-3 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交 于 C 点,经过 A、B、C 三点的圆的圆心 M(1,m)恰好在此抛物线的对称轴上,⊙M 的半径为 5 .设⊙M 与 y 轴交于 D,抛物线的顶点为 E. (1)求 m 的值及抛物线的解析式; (2)设∠DBC = ?,∠CBE = ?,求 sin(?-?)的值; (3)探究坐标轴上是否存在点 P,使得以 P、A、C 为顶点的三角形与△BCE 相似? 若存在,请指出点 P 的位置,并直接写出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

绵阳市 2007 年高级中等教育学校招生统一考试 数学试题参考答案及评分意见
说明: 1.本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试 题的主要考查内容比照评分标准相应给分. 2.对解答题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变该题 的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分 数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 3.解答右端所注分数,表示考生正确地做到这一步应得的累加分数.

一、选择题: 1.C 7.D 二、填空题: 13.2(m + 2n) (m-2n) 16. (2, 三、解答题: 19. (1) 2 ? (2)
1 x ?1
3

2.A 8.B

3.D 9.A

4.D 10.B

5.A 11.B

6.C 12.C

14.110?
3 2

15.6 18.②③④

3 2

)或(-2,-



17.

7 27

,x 的取值范围是 x≠-2 且 x≠1 的实数.

20. (1)∵ 小明所在的全班学生人数为 14÷28% = 50 人, ∴ 骑自行车上学的人数为 50-14-12-8 = 16 人;其统计图如图 1. (2)乘公共汽车、骑自行车、步行、其它所占全班的比分别为 14÷50,16÷50,12÷50,8÷50 即 28%,32%,24%,16%,

它们所对应的圆心角分别是 100.8?,115.2?,86.4?,57.6?,其统计图如图 2. (3)小明所在的班的同学上学情况是:骑自行车的学生最多;通宿生占全班的绝大 多数;住校或家长用车送的占少数.

图1

图2

21. (1)设安排甲种货车 x 辆,则安排乙种货车(8-x)辆,依题意,得 4x + 2(8-x)≥20,且 x + 2(8-x)≥12, 解此不等式组,得 x≥2,且 x≤4, 即 2≤x≤4. ∵ x 是正整数,?∴ x 可取的值为 2,3,4. 因此安排甲、乙两种货车有三种方案:

甲种货车 方案一 方案二 方案三 2辆 3辆 4辆

乙种货车 6辆 5辆 4辆

(2)方案一所需运费 300×2 + 240×6 = 2040 元; 方案二所需运费 300×3 + 240×5 = 2100 元;

方案三所需运费 300×4 + 240×4 = 2160 元. 所以王灿应选择方案一运费最少,最少运费是 2040 元.

22. (1)由已知得∠ACB = 90?,∠ABC = 30?, ∴ ∠Q = 30?,∠BCO = ∠ABC = 30?. ∵ CD 是⊙O 的切线,CO 是半径, ∴ CD⊥CO, ∴ ∠DCQ =∠BCO = 30?, ∴ ∠DCQ =∠Q,故△CDQ 是等腰三角形. (2)设⊙O 的半径为 1,则 AB = 2,OC = 1,AC = AB∕2 = 1,BC = 3 . ∵ 等腰三角形 CDQ 与等腰三角形 COB 全等,∴ CQ = BC = 3 . 于是 AQ = AC + CQ = 1 + 3 ,进而 AP = AQ∕2 =(1 + 3 )∕2, ∴ BP = AB-AP = 2-(1 + 3 )∕2 =(3- 3 )∕2, PO = AP-AO =(1 + 3 )∕2-1 =( 3 -1)∕2, ∴ BP:PO = 3 . 23. (1) 原方程变为:x2-(m + 2)x + 2m = p2-(m + 2)p + 2m, ∴ x2-p2-(m + 2)x +(m + 2)p = 0, (x-p) + p)-(m + 2) (x (x-p)= 0, 即 (x-p) + p-m-2)= 0, (x ∴ x1 = p, x2 = m + 2-p. (2)∵ 直角三角形的面积为
1 2

1 2

x1 x 2 ?

1 2

p (m ? 2 ? p ) = ?
(m ? 2) 4
2

1 2

p

2

?

1 2

(m ? 2) p

=?

[p

2

? (m ? 2) p ? (

m ?2 2

) ?(
2

)]

=?

1 2

(p ?

m ?2 2

) ?
2

(m ? 2) 8

2



∴ 当p ?

m ?2 2

且 m>-2 时,以 x1,x2 为两直角边长的直角三角形的面积最大,
1 2

最大面积为

(m ? 2) 8

2



p .

2

24. (1)①② ? ③,正确;①③ ? ②,错误;②③ ? ①,正确. (2)先证 ①② ? ③.如图 1. ∵ AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,而 AD = AD, ∴ Rt△ADE≌Rt△ADF, ∴ DE =DF,∠ADE =∠ADF. 设 AD 与 EF 交于 G,则△DEG≌△DFG, 因此∠DGE =∠DGF, 进而有∠DGE =∠DGF = 90?,故 AD⊥EF. 再证 ②③ ? ①.如图 2, 设 AD 的中点为 O,连结 OE,OF. ∵ DE⊥AB,DF⊥AC, ∴ OE,OF 分别是 Rt△ADE,Rt△ADF 斜边上的中线, ∴ OE ?
1 2 AD , OF ? 1 2 1 2 AD 为半径的圆上,AD 是直径. AD ,即点 O 到 A、E、D、F 的距离相等,

因此四点 A、E、D、F 在以 O 为圆心, 于是 EF 是⊙O 的弦,而 EF⊥AD, ∴ AD 平分,即, 故∠DAE =∠DAF,即 AD 平分∠BAC. 25. (1)由题意可知 C(0,-3) ? ,
b 2a ? 1,

∴ 抛物线的解析式为 y = ax2-2ax-3(a>0) , 过 M 作 MN⊥y 轴于 N,连结 CM,则 MN = 1, CM ? ∴ CN = 2,于是 m =-1. 同理可求得 B(3,0) , ∴ a×32-2-2a×3-3 = 0,得 a = 1, ∴ 抛物线的解析式为 y = x2-2x-3. (2)由(1)得 A(-1,0) ,E(1,-4) ,D(0,1) . ∴ 在 Rt△BCE 中, BC ? 3 2 , CE ? ∴
OB OD ? 3 1 ? 3,

5 ,

2,
OB OD BC CE OB BC OD CE

BC CE

?

3 2 2

? 3 ,∴

?

,即

?



∴ Rt△BOD∽Rt△BCE,得 ∠CBE =∠OBD =?, 因此 sin(?-?)= sin(∠DBC-∠OBD)= sin∠OBC = (3)显然 Rt△COA∽Rt△BCE,此时点 P1(0,0) . 过 A 作 AP2⊥AC 交 y 正半轴于 P2,由 Rt△CAP2 ∽Rt△BCE,得 P2 ( 0 , ) .
3 1
CO BC ? 2 2



过 C 作 CP3⊥AC 交 x 正半轴于 P3,由 Rt△P3CA∽Rt△BCE,得 P3(9,0) . 故在坐标轴上存在三个点 P1(0,0) 2(0,1∕3) 3(9,0) ,P ,P ,使得以 P、A、 C 为顶点的三角形与 BCE 相似.


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