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湖北省襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中2013届高三11月联考数学(文)试题


襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中 2013 届高三 11 月联考数学 (文)试题
命题学校:夷陵中学考试时间:2012 年 11 月 16 日下午 15:00-17:00
卷满分:150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,有且 只有一项是符合题目要求的. 1.集合 A ? x ? R 2 x ? x 2 ? 0 , B ? y y ? 2x ? 1, x ? R ,则 A ? B ? A. {x | x ? 2} B. {x | x ? 1} C. {x |1 ? x ? 2} D. {x |1 ? x ? 2} 试

?

?

?

?

0.1 2.若 a ? 2 , b ? log? 3, c ? log 2 sin

A. a ? b ? c

5? ,则 7 B. b ? a ? c C. c ? a ? b

D. b ? c ? a

3.如图是某学生的 8 次历史单元考试成绩的茎叶图,则这组数据的中位数和平均数分别是 A.82 和 84 B.83 和 84 C.83 和 85 D.85 和 85 9 8 8 4 2 1 5 3 7 8 9

4. 等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a1 ? a10 ? a13 ? 60 ,那么 S15 等于 A.150 5.有如下四个命题: B.300 C.225 D.450

第3题

2 2 ①命题“若 x ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 “的逆否命题为“若 x ? 1, 则x ? 3x ? 2 ? 0 ”

②若命题 p : ?x ? R, x ? x ? 1 ? 0 ,则 ?p为:?x ? R,x ? x ? 1 ? 0
2 2

③若 p ? q 为假命题,则 p , q 均为假命题 ④“ x ? 2 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 其中错误命题的个数是 .. A.0 个 B. 1 个 C.2 个 D.3 个 6.下面程序框图表示的算法的运行结果是 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 7.在△ABC 中,内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,且
开始

i=1,S=0

S≤30 是



输出 i S=S+i

c2 ? a2 ? b2 ? ab ,则△ABC 是
A.钝角三角形 C.锐角三角形 B.等边三角形 D. 无法确定

i=i+1

结束

第6题

第 1 页 共 8 页

8. 已知圆 O 的半径为 4, 直径 AB 上一点 D 使 AB ? 4 AD ,E、F 为另一直径的两个端点, 则 DE ? DF ? A.-10

??? ?

????

???? ????

B.-11

C.-12

D.-16

9.已知直线 l : kx ? y ? 4k ? 1 ? 0 被圆 C : x 2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为整数,则满足条件的 直线 l 有 A.9 条

B.10 条

C.11 条

D.12 条

10.设函数 f ( x) ? 4 x ? cos x , ?an ? 是公差为 则 ? f (a3 )? ? a1a5 ?
2

? 的等差数列, f (a1 ) ? f (a2 ) ? ? ? f (a5 ) ? 10? , 8

A.

?2
16

B.

61? 2 16

C.

65? 2 16

D.无法确定

二、填空题: 本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分.请将答案填在答题卡相应题号后的 横线上.答错位置、书写不清、模棱两可均不得分. 11.已知 a、b ? R , i 是虚数单位,若 (a ? 2i)i ? b ? i ,则 a ? b 的值是 . 12.已知 cos(? ? ? ) ?
1 3? ,且 ? ? (? , ) 则 tan? = 4 2



? x?2 ? 13.已知实数 x, y 满足约束条件 ? y ? 2 则 z ? 2 x ? 4 y 的最大值为______. ?x ? y ? 6 ?
14.已知 x、y 为正实数,满足 2 x+8y ? 9 ? xy ,则 xy 的最小值为 15.在边长为 1 的正方形 ABCD 内部随机取一点 P ,则 ? APB
? lg x ? 16. 已知函数 f ( x) ? ? ( x ? 20)2 ? ? 100 (0 ? x ? 10) ( x ? 10)



120 的概率是________.

, a, b, c, d 互不相等, f (a) ? f (b) ? f (c) ? f (d ) , 若 且

则 abcd 的取值范围是



17. D 是棱长为 4 的正四面体 P P2 P3 P4 及其内部的点构成的集合, P0 是正四面体 P P2 P3 P4 设 点 1 1 的中心,若集合 S ? P ? D PP0 ? PPi , i ? 1, 2,3, 4 ,则集合 S 表示的区域的体积是

?

?



第 2 页 共 8 页

三、解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 12 分) 设锐角 ?ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知

a, b, c 成等比数列,且 sin A sin C ?
(1) 求角 B 的大小;

3 . 4

(2) 若 x ? [0, ? ) ,求函数 f ( x) ? sin(x ? B) ? sin x 的值域.

20.(本题满分 13 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,点 ( n,

Sn 1 11 ) 在直线 y ? x ? 上. 2 2 n

数列 ?bn ? 满足 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0 (n ? N * ),且b3 ? 11,前 9 项和为 153. (1)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)设 cn ?

3 k ,数列 ?cn ? 的前 n 和为 Tn ,求 Tn 及使不等式 Tn ? 对一 2012 (2an ? 11)(2bn ? 1)

切 n ? N 都成立的最小正整数 k 的值;
*

?an (n ? 2l ?1, l ? N *) ? * (3)设 f (n) ? ? ,问是否存在 m ? N ,使得 f (m ? 15) ? 5 f (m) 成 * ?bn (n ? 2l , l ? N ) ?
立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由.

第 3 页 共 8 页

21.(本题满分 14 分)已知椭圆 (1)求椭圆的方程;

x2 y 2 6 ,且过点 ( 2 ,1) . ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率为 2 3 a b

(2)若过点 C(-1,0)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A, B ,试问在 x 轴上
???? ???? 是否存在点 M ,使 MA?MB ? 5 3k ?1
2

是与 k 无关的常数?若存在,求出点 M 的坐标;若不存

在,请说明理由.

22.(本题满分 14 分)
1 2( x ? 1) 已知函数 f ( x) ? ln x, g ( x) ? ax2 ? bx(a ? 0), h( x) ? 2 x ?1

(1)当 a ? ?2 时,函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 在其定义域范围是增函数,求实数 b 的取值范围; (2)当 x ? 1 时,证明 f ( x) ? h( x) 成立; (3)记函数 f ( x) 与 g ( x) 的图像分别是 C1 、C2 ,C1 、C2 相交于不同的两点 P, Q ,过线段 PQ 的中点 R 作垂直于 x 轴的垂线,与 C1 、 C2 分别交于 M 、 N ,问是否存在点 R ,使得曲线 C1 在 M 处的切线与曲线 C2 在 N 处的切线平行?若存在,试求出 R 点的坐标;若不存在,试说 明理由.

第 4 页 共 8 页

襄阳五中、夷陵中学、钟祥一中高三年级十一月联考

文科数学参考答案

三、解答题: 18. 解: (1) 因为 a, b, c 成等比数列,则 b2 ? ac .由正弦定理得 sin 2 B ? sin A sin C . 3 3 又 sin A sin C ? ,所以 sin 2 B ? .???????????????????????2 分 4 4 3 因为 sinB>0,则 sin B ? . ????????????????????????4 分 2 ? ? 又 B ? (0, ) ,故 B= .?????????????????????????? 6 分 3 2 π ? ? ? (2) 因为 B ? , 则 f ( x)? s i nx? ( ? ) s i?n xs i n ? o s x c o s s x n x c ? i sin 3 3 3 3 3 3 ? ? sin x ? cos x ? 3sin( x ? ) . ????9 分 2 2 6 ? ? 5? ? 1 x ? [0,? ) ,则 ? ? x ? ? ,所以 sin( x ? ) ?[? ,1] . 6 6 6 6 2 3 故函数 f ( x ) 的值域是 [? , 3] . ????????????????????12 分 2 19. (1)∵ PC ? AB, PC ? BC, AB ? BC ? B ∴ PC ? 平面ABC ,???????????????????????????2 分 又∵ PC ? 平面PAC ∴ 平面PAC ? 平面ABC ??????????????????????????5 分 (2)在平面 ABC 内,过 C 作 CD ? CB ,建立空间直角坐标系 C ? xyz (如图)??6 分

由题意有 A ? 3 , ? 1 , 0 ? ,设 P ? 0,0, z0 ?? z0 ? 0? , ? ? ? ?
? 2 2 ?

???? ? ? ? ? ??? 则 M ? 0,1, z0 ? , AM ? ? ? 3 , 3 , z0 ? , CP ? ? 0, 0, z0 ? ? 2 2 ? ? ?
由直线 AM 与直线 PC 所成的解为 60 ,得 ???? ??? ???? ??? ? ? ? ? 1 2 z0 2 ? 3 ? z0 ,解得 z0 AM ? CP ? AM ? CP ? cos 600 ,即 z0 ?
0

2

? 1 ????????8 分

第 5 页 共 8 页

? ???? ? ??? ? ? ? ∴ CM ? ? 0,1,1? , CA ? ? 3 , ? 1 , 0 ? ,设平面 MAC 的一个法向量为 n ? ? x1 , y1 , z1 ? , ? 2 2 ? ? ?
? y1 ? z1 ? 0 ? ? 则? 3 ,取 x1 ? 1 ,得 n ? 1, 3, ? 3 ??????????9 分 1 x1 ? y1 ? 0 ? ? 2 2 ?? 平面 ABC 的法向量取为 m ? ? 0,0,1? ??????????????????10 分 ?? ? ?? ? m?n 3 设 m 与 n 所成的角为 ? ,则 cos ? ? ?? ? ? ??????????????11 分 7 m?n

?

?

显然,二面角 M ? AC ? B 的平面角为锐角,故二面角 M ? AC ? B 的平面角的余弦值为
21 ????????????????????????????????12 分 7

Sn 1 11 1 11 ? n ? ,即S n ? n 2 ? n. ????????1 分 n 2 2 2 2 1 2 11 1 11 n) ? [ (n ? 1) 2 ? (n ? 1)] ? n ? 5. ??2 分 故当 n ? 2 时, a n ? S n ? S n ?1 ? ( n ? 2 2 2 2 n = 1 时, a1 ? S1 ? 6 ,而当 n = 1 时,n + 5 = 6,所以, an ? n ? 5(n ? N * ). ?3 分
20. 解: (1)由题意,得 又 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,即bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ) ,所以{bn}为等差数列,于是

9(b3 ? b7 ) 23 ? 11 ? 3. ? 153. 而 b3 ? 11, 故b7 ? 23, d ? 7?3 2 因此, bn ? b3 ? 3(n ? 3) ? 3n ? 2,即bn ? 3n ? 2(n ? N * ). ???????????5 分 3 3 (2) cn ? ? (2a n ? 11)(2bn ? 1) [2(n ? 5) ? 11][2(3n ? 2) ? 1] 1 1 1 1 ? ? ( ? ). ????????6 分 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? )] 所以, Tn ? c1 ? c 2 ? ? ? c n ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 2 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 1 1 n ? (1 ? )? . ??????????????????????7 分 2 2n ? 1 2n ? 1
易知 Tn 单调递增,由 Tn ?
1 k 得 k ? 2012Tn ,而 Tn ? ,故 k ? 1006 ,? kmin ? 1006 ??9 分 2 2012

综上,存在唯一正整数 m =11,使得 f (m ? 15) ? 5 f (m) 成立.??????13 分 21. 解: (1)∵椭圆离心率为
6 c 6 b2 1 ,? 2 ? .????????1 分 ,? ? 3 a 3 3 a
第 6 页 共 8 页

又? 椭圆过点( 2 ,1) ,代入椭圆方程,得 所以 a 2 ? 5, b2 ? ∴椭圆方程为

2 1 ? ? 1 .????????2 分 a 2 b2

5 .??????????????????????????4 分 3

x2 y 2 ? ? 1 ,即 x 2 ? 3y 2 ? 5 . ????????????????5 分 5 5 3
1 6

(2)在 x 轴上存在点 M ( , 0) ,使 MA ? MB ?

5 是与 K 无关的常数. ??6 分 3k 2 ? 1 ???? ???? ? ? 5 证明:假设在 x 轴上存在点 M(m,0),使 MA ? MB ? 2 是与 k 无关的常数, 3k ? 1

???? ???? ? ?

∵直线 L 过点 C(-1,0)且斜率为 K,∴L 方程为 y ? k(x ? 1) , 由?

? x 2 ? 3 y 2 ? 5, 得 (3k 2 ? 1) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 5 ? 0 .??????7 分 y ? k ( x ? 1), ?

设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ?
???? ? ???? ? ∵ MA ? (x1 ? m, y1 ), MB ? (x 2 ? m, y2 ),

? 6k 2 3k 2 ? 5 ?????8 分 , x1 ? x2 ? 2 3k 2 ? 1 3k ? 1

∴ MA ? MB ?

???? ???? ? ?

5 5 ? (x1 ? m)(x 2 ? m) ? y1y1 ? 2 3k 2 ? 1 3k ? 1

????????9 分

? (x1 ? m)(x 2 ? m) ? k 2 (x1 ? 1)(x 2 ? 1) ?

5 3k 2 ? 1 5
2

? (1 ? k 2 )x1 x 2 ? (k 21 ? m)(x1 ? x 2 ) ? m 2 ? k 2 ?

3k ? 1 3k 2 ? 5 ?6k 2 5 ? (1 ? k 2 ) 2 ? (k 2 ? m) 2 ? m2 ? k 2 ? 2 3k ? 1 3k ? 1 3k ? 1 2 2 2 2 2 ?k ? 6mk ? 3m k ? m ? 3k 2 ? 1

??????????????????????????????????10 分 设常数为 t,则
?k 2 ? 6mk 2 ? 3m2 k 2 ? m2 ? t. 3k 2 ? 1

??????????????11 分

整理得 (3m2 ? 6m ? 1 ? 3t)k 2 ? m2 ? t ? 0 对任意的 k 恒成立,
?3m2 ? 6m ? 1 ? 3t ? 0, 1 ? ?? 2 解得 m ? ,????????????????????13 分 6 ?m ? t ? 0. ?

即在 x 轴上存在点 M( , 0 ) 使 MA ? MB ? ,

1 6

???? ???? ? ?

5 是与 K 无关的常数. 3k 2 ? 1

?????14 分

22. 解: (1)当 a ? ?2 时, F ( x) ? ln x ? x 2 ? bx ,则 F '( x) ?

1 ? 2 x ? b ,????1 分 x

1 由于 F ( x) ? ln x ? x 2 ? bx 在定义域 ? 0, ?? ? 上是增函数,则 ? 2 x ? b ? 0 ,????2 分 x
第 7 页 共 8 页

即b ?

1 ? 2 x ,????????????????????????????3 分 x

2 1 而 ? 2 x ? 2 2 (当且仅当 x ? 时取等号) ,于是 b ? 2 2 , x 2 ? 实数 b 的取值范围是 ??, 2 2 ? ????????????????????4 分 ?

?

1 1 2 (3)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) ,且 0 ? x1 ? x2 ,则有 ln x1 ? ax12 ? bx1 , ln x2 ? ax2 ? bx2 , ,点 R 的 2 2 x1 ? x2 x1 ? x2 横坐标是 ,M,N 的横坐标也是 , 2 2

曲线 C1 在 M 处的切线的斜率是 k1 ?

2 ,????????????????9 分 x1 ? x2

x1 ? x2 ? b ,??????????????10 分 2 若曲线 C1 在 M 处与 C2 曲线在 N 处的切线相互平行,则

曲线 C2 在 N 处的切线的斜率是 k2 ? a ?

k1 ? k2 ,?

x ?x 2( x2 ? x1 ) x 2 ? x12 2 ? a? 1 2 ?b ? ? a? 2 ? b( x2 ? x1 ) ,而 x1 ? x2 2 x1 ? x2 2

x 2( 2 ? 1) 2( x2 ? x1 ) a 2 x2 x1 x a 2 ? x2 ? bx2 ? ( x1 ? bx1 ) ? ln x2 ? ln x1 ? ln ,即 ? ln 2 ,????11 分 x2 x1 ? x2 2 2 x1 x1 ?1 x1

令t ?

x2 2(t ? 1) ,因为 0 ? x1 ? x2 ,?t ? 1, ? ln t (t ? 1), ????????????12 分 x1 t ?1

这与第(2)问的结论矛盾,所以不存在点 R,使得曲线 C1 在 M 处与曲线 C2 在 N 处的切线相 互平行.??????????????????????????????14 分

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