当前位置:首页 >> 数学 >>

高二上学期数学练习题(1)(圆与方程---园的标准方程)有详细答案


高二上学期数学练习题(1) (圆与方程)
班级 姓名 ) 学号 一.选择填空题 1.圆心是(4,-1),且过点(5,2)的圆的标准方程是( A.(x-4)2+(y+1)2=10 C.(x-4)2+(y+1)2=100

B.(x+4)2+(y-1)2=10 D.(x-4)2+(y+1)2= 10 ) D.(1,-5),3

2. 若一圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径长分别为( A.(-1,5), 3 B.(1,-5), 3 ) C.(-1,5),3

3. 方程(x+a)2+(y+b)2=0 表示的图形是( A.以(a,b)为圆心的圆 B.点(a,b)

C.以(-a,-b)为圆心的圆 D.点(-a,-b) ) C.点在圆上 ) D. 3 ) D.不确定

4. 点 P(a,5)与圆 x2+y2=24 的位置关系是( A.点在圆外 B.点在圆内

5. 圆(x-1)2+y2=1 的圆心到直线 y= 1 A. 2 B. 3 2

3 x 的距离是( 3 C.1

6. 已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0),B(5,0),此圆的标准方程为(

A.(x-3)2+y2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4 7. 若点(2a,a-1)在圆 x2+(y+1)2=5 的内部,则 a 的取值范围是( A.(-∞,1] B.(-1,1) ) C.两条射线 D.半个圆 ) C.(2,5) )

D.(1,+∞)

8. 方程 y= 9-x2表示的曲线是( A.一条射线 B.一个圆

9. 若点 P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为( A.2x+y-3=0 B.x-2y+1=0 C.x+2y-3=0

D.2x-y-1=0 )

10. 点 M 在圆(x-5)2+(y-3)2=9 上,则点 M 到直线 3x+4y-2=0 的最短距离为( A.9
2

B.8
2

C.5 )

D.2

11.直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 1的位置关系是( A.相交 B.相切

C.相交或相切

D.不能确定 ) 答案:B

12. 圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 2 的点有( A.1 个 B.2 个 ) C.2 D.无法确定 ). C.3 个 D.4 个

13. 方程 4-x2=lgx 的根的个数是( A.0
2

B.1
2

14.圆 ( x ? 4) ? ( y ? 5) ? 10 上的点到原点的距离的最小值是( A. 41 ? 10 B. 41 ? 10 C.

41

D. 10

10
.

二.填空题 15.以点(2,-1)为圆心且与直线 x+y=6 相切的圆的方程是______
-1-

16.若圆 C 与圆(x+2)2+(y-1) =1 关于原点对称,则圆 C 的标准方程是_____
2

17.已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则 C 的方程为________ 18.以直线 2x+y-4=0 与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程为________ 19.设点 P(x,y)是圆 x2+(y+4)2=4 上任意一点,则 ?x-1?2+?y-1?2的最大值为________. 20.以原点 O 为圆心且截直线 3x+4y+15=0 所得弦长为 8 的圆的方程是__________. 21.直线 y=x+b 与曲线 x= 1-y2有且只有 1 个公共点,则 b 的取值范围是__________. 三.解答题 22.圆过点 A(1,-2),B(-1,4),求 (1)圆心在直线 2x-y-4=0 上的圆的方程. (2)周长最小的圆的方程;

23.已知圆 N 的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0). (1)若点 M(6,9)在圆上,求 a 的值; (2)已知点 P(3,3)和点 Q(5,3),线段 PQ(不含端点)与圆 N 有且只有一个公共点,求 a 的取值范围.

-2-

24.如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(2,0),AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0, 点 T(-1,1)在 AD 边所在的直线上. (1)求 AD 边所在直线的方程; (2)求矩形 ABCD 外接圆的方程.

25.求圆心在直线 4x+y=0 上,且与直线 l:x+y-1=0 切于点 P(3,-2)的圆的方程, 并找出圆的圆心及半径.

-3-

26.求平行于直线 3x+3y+5=0 且被圆 x2+y2=20 截得长为 6 2的弦所在的直线方程.

27.已知圆 C 的方程是(x-1)2+(y-1)2=4,直线 l 的方程为 y=x+m,求当 m 为何值时, (1)直线平分圆; (2)直线与圆相切.

-4-

高二上学期数学练习题(1) (圆与方程)
班级 姓名 ) 学号 一.选择填空题 1.圆心是(4,-1),且过点(5,2)的圆的标准方程是( A.(x-4)2+(y+1)2=10 C.(x-4)2+(y+1)2=100 [答案] A

B.(x+4)2+(y-1)2=10 D.(x-4)2+(y+1)2= 10

[解析] 设圆的标准方程为(x-4)2+(y+1)2=r2,把点(5,2)代入可得 r2=10,即得选 A. ) D.(1,-5),3 [答案] B

2. 若一圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径长分别为( A.(-1,5), 3 B.(1,-5), 3 ) C.(-1,5),3

3. 方程(x+a)2+(y+b)2=0 表示的图形是( A.以(a,b)为圆心的圆 B.点(a,b)

C.以(-a,-b)为圆心的圆 D.点(-a,-b) [答案] D )A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.不确定

4. 点 P(a,5)与圆 x2+y2=24 的位置关系是( [答案] A

[解析] 因为 a2+52=a2+25>24,所以点 P 在圆外. 3 x 的距离是( 3 ) 1 A. 2 B. 3 2 C.1 D. 3

5. 圆(x-1)2+y2=1 的圆心到直线 y= [答案] A

[解析] 直线方程可化为: x ? 3 y ? 0 ,先求得圆心坐标(1,0),

再依据点到直线的距离公式求得 d ?

1? 3? 0 1? ? 3

?

?

2

?

1 。 2
) [答案] A

6. 已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0),B(5,0),此圆的标准方程为(

A.(x-3)2+y2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4 7. 若点(2a,a-1)在圆 x +(y+1) =5 的内部,则 a 的取值范围是( A.(-∞,1] [答案] B B.(-1,1) C.(2,5)
2 2

2

2

)

D.(1,+∞)
2 2

[解析] 点(2a,a-1)在圆 x +(y+1) =5 的内部,则(2a) +a <5,解得-1<a<1 ) A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆

8. 方程 y= 9-x2表示的曲线是( [答案] D

[解析] 方程 y= 9-x2可化为 x2+y2=9(y≥0),

所以方程 y= 9-x2表示圆 x2+y2=9 位于 x 轴上方的部分,是半个圆. 9. 若点 P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为( A.2x+y-3=0 [答案] D B.x-2y+1=0 C.x+2y-3=0 )

D.2x-y-1=0

1 [解析] 圆心 C(3,0),kPC=- ,又点 P 是弦 MN 的中点,∴PC⊥MN,∴kMNkPC=-1, 2

∴kMN=2,∴弦 MN 所在直线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. 10. 点 M 在圆(x-5)2+(y-3)2=9 上, 则点 M 到直线 3x+4y-2=0 的最短距离为( [答案] D ) A. 9 B. 8 C. 5 D. 2

|3×5+4×3-2| [解析] 圆心(5,3)到直线 3x+4y-2=0 的距离为 d= =5.又 r=3, 32+42

则 M 到直线的最短距离为 5-3=2.
-5-

11.直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1的位置关系是(

)A.相交 B.相切 C.相交或相切 D.不能确定

解析:直线 y ? kx ? 1 过定点(0,1),而点(0,1)在圆 x 2 ? y 2 ? 1上,所以直线与圆相交或相切. 12. 圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 2 的点有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ) 答案:B

|3×3+3×4-11| 解析:(3,3)到直线 3x+4y-11=0 的距离 d= =2,而圆的半径为 3,故符合题意的点有 2 个. 5 13. 方程 4-x2=lgx 的根的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.无法确定

解析: 设 f(x)= 4-x, g(x)=lgx, 则方程根的个数就是 f(x)与 g(x)两个函数图像交点的个数. 如图所示 (略) , 在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图像. 由图可得函数 f(x)= 4-x2与 g(x)=lgx 仅有 1 个交点,所以方程仅有 1 个根. 答案:B 14.圆 ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 10 上的点到原点的距离的最小值是( A. 41 ? 10 B. 41 ? 10 C. ).

41

D. 10

10

【解析】因为圆的圆心为(4,5),半径为 10 ,圆心与原点的距离为 41 ,所以圆 ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 10 上的 点到原点的距离的最小值为 41 ? 10 ,【答案】B 二.填空题 15.以点(2,-1)为圆心且与直线 x ? y ? 6 相切的圆的方程是______ [解析] 将直线 x+y=6 化为 x+y-6=0, 圆的半径 r=
2 2

25 [答案] (x-2)2+(y+1)2= 2

|2-1-6| 5 25 = , 所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2= . 2 2 1+1

16.若圆 C 与圆(x+2) +(y-1) =1 关于原点对称,则圆 C 的标准方程是_____ [答案] (x-2)2+(y+1)2=1,[解析] 圆(x+2)2+(y-1)2=1 的圆心为 M(-2,1),半径 r=1,则点 M 关于原 点的对称点为 C(2,-1),圆 C 的半径也为 1,则圆 C 的标准方程是(x-2)2+(y+1)2=1. 17.已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则 C 的方程为________ [答案] (x-2)2+y2=10[分析] 圆心在 x 轴上,可设圆心坐标为(a,0),半径长为 r,写出圆 C 的标准方程, 将 A,B 两点坐标代入求 a,r 即可得圆 C 的方程. [解析] 设所求圆 C 的方程为(x-a)2+y2=r2, 把所给两点坐标代入方程得
2 2 2 ? ? ??5-a? +1 =r ?a=2 ? ? 2 ,解得 ,所以所求圆 C 的方程为(x-2)2+y2=10. 2 2 2 ??1-a? +3 =r ? ? ?r =10

18.以直线 2x+y-4=0 与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程为________ [答案] x2+(y-4)2=20 或(x-2)2+y2=20,[解析] 令 x=0 得 y=4,令 y=0 得 x=2, ∴直线与两轴交点坐标为 A(0,4)和 B(2,0),以 A 为圆心过 B 的圆方程为 x2+(y-4)2=20, 以 B 为圆心过 A 的圆方程为(x-2)2+y2=20. 19.设点 P(x,y)是圆 x2+(y+4)2=4 上任意一点,则 ?x-1?2+?y-1?2的最大值为________.答案: 26+2 解析 因为点 P(x, y)是圆 x2+(y+4)2=4 上的任意一点, 因此 ?x-1?2+?y-1?2表示点(1,1)与该圆上点的距离. 易知点(1,1)在圆 x2+(y+4)2=4 外,结合图象易得 ?x-1?2+?y-1?2的最大值为 ?1-0?2+?1+4?2+2= 26+2.
-6-

20.以原点 O 为圆心且截直线 3x+4y+15=0 所得弦长为 8 的圆的方程是__________.答案:x2+y2=25 解析:原点 O 到直线的距离 d= 15 =3,设圆的半径为 r,∴r2=32+42=25,∴圆的方程是 x2+y2=25. 32+42

21.直线 y=x+b 与曲线 x= 1-y2有且只有 1 个公共点,则 b 的取值范围是__________. 解析:曲线 x= 1-y2可化为 x2+y2=1(x≥0),它表示单位圆的右半部分,在同一坐标系中画出直线与曲线 的图像,如图(略) ,相切时 b=- 2,其他位置符合条件时需-1<b≤1. 答案:b=- 2或-1<b≤1 三.解答题 22.圆过点 A(1,-2),B(-1,4),求 (1)圆心在直线 2 x ? y ? 4 ? 0 上的圆的方程. 解:(1)解法 1:直线 AB 的斜率为 k AB ? 线 l 的斜率为 kl ? ? (2)周长最小的圆的方程;

?2 ? 4 ,则线段 AB 的垂直平分 ? ?3 ,线段 AB 的中点为 M(0,1) 1 ? ? ?1?

1 1 1 ? ,∴线段 AB 的垂直平分线 l 的方程是:y-1=3x,即 x-3y+3=0, k AB 3
? ?x=3, 可得? ∴所求园的圆心是 C(3,2). ?y=2. ?

? ?x-3y+3=0, 解方程组? ?2x-y-4=0. ?

∴所求园的半径 r=|AC|= ?3-1?2+?2+2?2=2 5.,∴所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20. 解法 2:待定系数法 ?1-a? +?-2-b? =r , ? ? 2 2 2 2 2 2 依题意可设所求圆的方程为:(x-a) +(y-b) =r .,则根据题意可得:??-1-a? +?4-b? =r , ? ?2a-b-4=0. a=3, ? ? 解之得:?b=2, ? ?r2=20.
2 2 2

∴所求圆的方程为:(x-3)2+(y-2)2=20.

1 (2)当 AB 为直径时, 过 A、 B 的圆的半径最小, 从而周长最小. 即 AB 中点 M(0,1)为圆心, 半径 r= |AB|= 10. 2 则圆的方程为:x2+(y-1)2=10. [点评](1)小题中∵圆心在直线 2x-y-4=0 上,∴也可设圆心坐标为 C(x0,2x0-4),∵A,B 在圆上, ∴|CA|=|CB|,可由此等式根据两点间的距离公式得关于 x0 的方程,解此方程即可求得 x0 的值,从而求得 所求圆的方程。 23.已知圆 N 的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0). (1)若点 M(6,9)在圆上,求 a 的值;

(2)已知点 P(3,3)和点 Q(5,3),线段 PQ(不含端点)与圆 N 有且只有一个公共点,求 a 的取值范围. 解:(1)∵点 M(6,9)在圆上,∴(6-5)2+(9-6)2=a2,又∵a>0,∴a= 10; (2)园 N 的圆心为 N(5,6)半径为 r=a, 由两点间距离公式可得 |PN|= ?3-5?2+?3-6?2= 13,|QN|= ?5-5?2+?3-6?2=3, ∵线段 PQ 与圆有且只有一个公共点,即 P、Q 两点一个在圆内、另一个在圆外,由于 3< 13, ∴3<a< 13,即 a 的取值范围是(3, 13).
-7-

24.如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(2,0),AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0, 点 T(-1,1)在 AD 边所在的直线上. (1)求 AD 边所在直线的方程; (2)求矩形 ABCD 外接圆的方程.

解:(1)∵AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0,∴ k AB ? ∵AD ? AB,∴ k AD ? ?

1 3

1 ? ?3 k AB

又∵点 T(-1,1)在直线 AD 上,∴所求 AD 边所在直线的方程为 y-1=-3(x+1),整理可得 3x+y+2=0.
?x-3y-6=0, ? ?x ? 0 (2)解方程组? 可得 ? ,∴点 A 的坐标为(0,-2). ?3x+y+2=0, ? ? y ? ?2

∵矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M(2,0). ∴M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心.∴所求园的半径 r=|AM|= ?2-0?2+?0+2?2=2 2, ∴所求矩形 ABCD 的外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.

25.求圆心在直线 4x+y=0 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2)的圆的方程, 并找出圆的圆心及半径. 4a+b=0, ? ?b+2 =1, 解:设所求圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r ,则根据题意可得? a-3 ? ??3-a? +?-2-b? =r .
2 2 2 2 2 2

4a+b=0, a=1, ? ? ? ? 化简得?b=a-5, 解之得?b=-4, 2 2 2 ? ? ??3-a? +?-2-b? =r , ?r2=8. ∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8,它是以(1,-4)为圆心,以 2 2为半径的圆. 26.求平行于直线 3x+3y+5=0 且被圆 x2+y2=20 截得长为 6 2的弦所在的直线方程. 解:依题意可设所求弦所在的直线方程为 x+y+c=0.① 则圆心(0,0)到此直线的距离为 d= 因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成直角三角形,∴由勾股定理可得? |c| ?2 +(3 2)2=20. ? 2? |c| |c| = . 2 1+1

由此解之得 c=± 2,代入①得所求弦所在直线的方程为 x+y+2=0 或 x+y-2=0. 27.已知圆 C 的方程是(x-1)2+(y-1)2=4,直线 l 的方程为 y=x+m,求当 m 为何值时, (1)直线平分圆; (2)直线与圆相切.

解:(1)园 C 的圆心为 C(1,1) ,半径为 r=2,∵直线平分圆,∴圆心在 l 直线上,∴1=1+m,即有 m=0. (2)∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径,∴d= 即 m=±2 2时,直线 l 与圆相切.
-8-

|1-1+m|

|m| = =2.,解之得 m=± 2 2. 2 12+?-1?2

高二上学期数学练习题(1) (圆与方程)参考答案
班级 姓名 ) 学号 一.选择填空题 1.圆心是(4,-1),且过点(5,2)的圆的标准方程是(

A.(x-4)2+(y+1)2=10 B.(x+4)2+(y-1)2=10 C.(x-4)2+(y+1)2=100 D.(x-4)2+(y+1)2= 10 [答案] A [解析] 设圆的标准方程为(x-4)2+(y+1)2=r2,把点(5,2)代入可得 r2=10,即得选 A. ) D.(1,-5),3 [答案] B

2. 若一圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3,则此圆的圆心和半径长分别为( A.(-1,5), 3 B.(1,-5), 3 ) C.(-1,5),3

3. 方程(x+a)2+(y+b)2=0 表示的图形是( A.以(a,b)为圆心的圆 B.点(a,b)

C.以(-a,-b)为圆心的圆 D.点(-a,-b) [答案] D ) A.点在圆外 B.点在圆内 C.点在圆上 D.不确定

4. 点 P(a,5)与圆 x2+y2=24 的位置关系是( [答案] A

[解析] 因为 a2+52=a2+25>24,所以点 P 在圆外. 3 x 的距离是( 3 1 ) A. 2 B. 3 2 C.1 D. 3

5. 圆(x-1)2+y2=1 的圆心到直线 y= [答案] A

[解析] 直线方程可化为: x ? 3 y ? 0 ,先求得圆心坐标(1,0),

再依据点到直线的距离公式求得 d ?

1? 3? 0 1? ? 3

?

?

2

?

1 。 2
) [答案] A

6. 已知圆心在 x 轴上的圆 C 与 x 轴交于两点 A(1,0),B(5,0),此圆的标准方程为(

A.(x-3)2+y2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4D.(x+1)2+(y+1)2=4 7. 若点(2a,a-1)在圆 x2+(y+1)2=5 的内部,则 a 的取值范围是( A.(-∞,1] [答案] B B.(-1,1) C.(2,5)
2 2

)

D.(1,+∞)
2 2

[解析] 点(2a,a-1)在圆 x +(y+1) =5 的内部,则(2a) +a <5,解得-1<a<1 ) A.一条射线 B.一个圆 C.两条射线 D.半个圆

8. 方程 y= 9-x2表示的曲线是( [答案] D

[解析] 方程 y= 9-x2可化为 x2+y2=9(y≥0),

所以方程 y= 9-x2表示圆 x2+y2=9 位于 x 轴上方的部分,是半个圆. 9. 若点 P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线方程为( A.2x+y-3=0 [答案] D B.x-2y+1=0 C.x+2y-3=0 )

D.2x-y-1=0

1 [解析] 圆心 C(3,0),kPC=- ,又点 P 是弦 MN 的中点,∴PC⊥MN,∴kMNkPC=-1, 2

∴kMN=2,∴弦 MN 所在直线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. 10. 点 M 在圆(x-5)2+(y-3)2=9 上,则点 M 到直线 3x+4y-2=0 的最短距离为( A.9 [答案] D B.8 C.5 D.2 )

|3×5+4×3-2| [解析] 圆心(5,3)到直线 3x+4y-2=0 的距离为 d= =5.又 r=3, 32+42

则 M 到直线的最短距离为 5-3=2.
-9-

11.直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? 1的位置关系是( A.相交 B.相切

) D.不能确定

C.相交或相切

解析:直线 y ? kx ? 1 过定点(0,1),而点(0,1)在圆 x 2 ? y 2 ? 1上,所以直线与圆相交或相切. 12. 圆(x-3)2+(y-3)2=9 上到直线 3x+4y-11=0 的距离等于 2 的点有( A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ) 答案:B

|3×3+3×4-11| 解析:(3,3)到直线 3x+4y-11=0 的距离 d= =2,而圆的半径为 3,故符合题意的点有 2 个. 5 13. 方程 4-x2=lgx 的根的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.无法确定

解析:设 f(x)= 4-x,g(x)=lgx,则方程根的个数就是 f(x)与 g(x)两个函数图像交点 的个数.如图所示,在同一平面直角坐标系中画出这两个函数的图像. 由图可得函数 f(x)= 4-x2与 g(x)=lgx 仅有 1 个交点,所以方 答案:B 14.圆 ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 10 上的点到原点的距离的最小值是( A. 41 ? 10 B. 41 ? 10 C. ). 程仅有 1 个根.

41

D. 10

10

【解析】因为圆的圆心为(4,5),半径为 10 ,圆心与原点的距离为 41 ,所以圆 ( x ? 4)2 ? ( y ? 5)2 ? 10 上的 点到原点的距离的最小值为 41 ? 10 ,【答案】B 二.填空题 15.以点(2,-1)为圆心且与直线 x+y=6 相切的圆的方程是______ [解析] 将直线 x+y=6 化为 x+y-6=0, 圆的半径 r=
2 2

25 [答案] (x-2)2+(y+1)2= 2

|2-1-6| 5 25 = , 所以圆的方程为(x-2)2+(y+1)2= . 2 2 1+1

16.若圆 C 与圆(x+2) +(y-1) =1 关于原点对称,则圆 C 的标准方程是_____ [答案] (x-2)2+(y+1)2=1,[解析] 圆(x+2)2+(y-1)2=1 的圆心为 M(-2,1),半径 r=1,则点 M 关于原 点的对称点为 C(2,-1),圆 C 的半径也为 1,则圆 C 的标准方程是(x-2)2+(y+1)2=1. 17.已知圆 C 经过 A(5,1),B(1,3)两点,圆心在 x 轴上,则 C 的方程为________ [答案] (x-2)2+y2=10[分析] 圆心在 x 轴上,可设圆心坐标为(a,0),半径长为 r,写出圆 C 的标准方程, 将 A,B 两点坐标代入求 a,r 即可得圆 C 的方程. [解析] 设所求圆 C 的方程为(x-a)2+y2=r2, 把所给两点坐标代入方程得
2 2 2 ? ? ??5-a? +1 =r ?a=2 ? ? 2 ,解得 ,所以所求圆 C 的方程为(x-2)2+y2=10. 2 2 2 ??1-a? +3 =r ? ? ?r =10

18.以直线 2x+y-4=0 与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程为________ [答案] x2+(y-4)2=20 或(x-2)2+y2=20,[解析] 令 x=0 得 y=4,令 y=0 得 x=2, ∴直线与两轴交点坐标为 A(0,4)和 B(2,0),以 A 为圆心过 B 的圆方程为 x2+(y-4)2=20, 以 B 为圆心过 A 的圆方程为(x-2)2+y2=20. 19.设点 P(x,y)是圆 x2+(y+4)2=4 上任意一点,则 ?x-1?2+?y-1?2的最大值为 26+2.
- 10 -

解析 因为点 P(x, y)是圆 x2+(y+4)2=4 上的任意一点, 因此 ?x-1?2+?y-1?2表示点(1,1)与该圆上点的距离. 易知点(1,1)在圆 x2+(y+4)2=4 外,结合图象易得 ?x-1?2+?y-1?2的最大值为 ?1-0?2+?1+4?2+2= 26+2. 20.以原点 O 为圆心且截直线 3x+4y+15=0 所得弦长为 8 的圆的方程是__________.答案:x2+y2=25 解析:原点 O 到直线的距离 d= 15 =3,设圆的半径为 r,∴r2=32+42=25,∴圆的方程是 x2+y2=25. 32+42

21.直线 y=x+b 与曲线 x= 1-y2有且只有 1 个公共点, 则 b 的取值范围是____. 答案: b=- 2或-1<b≤1 解析:曲线 x= 1-y2可化为 x2+y2=1(x≥0),它表示单位圆的右半部分,在同一坐标 系中画出直线与曲线的图像, 如图, 相切时 b=- 2, 其他位置符合条件时需-1<b≤1. 三.解答题 22.圆过点 A(1,-2),B(-1,4),求 (1)圆心在直线 2 x ? y ? 4 ? 0 上的圆的方程. 解:(1)解法 1:直线 AB 的斜率为 k AB ? 线 l 的斜率为 kl ? ? (2)周长最小的圆的方程;

?2 ? 4 ,则线段 AB 的垂直平分 ? ?3 ,线段 AB 的中点为 M(0,1) 1 ? ? ?1?

1 1 1 ? ,∴线段 AB 的垂直平分线 l 的方程是:y-1=3x,即 x-3y+3=0, k AB 3
?x=3, ? 可得? ∴所求园的圆心坐标是 C(3,2). ?y=2. ?

?x-3y+3=0, ? 解方程组? ?2x-y-4=0. ?

∴所求园的半径 r=|AC|= ?3-1?2+?2+2?2=2 5.,∴所求圆的方程是(x-3)2+(y-2)2=20. 解法 2:待定系数法 ?1-a? +?-2-b? =r , ? ? 2 2 2 2 2 2 依题意可设所求圆的方程为:(x-a) +(y-b) =r .,则根据题意可得:??-1-a? +?4-b? =r , ? ?2a-b-4=0. a=3, ? ? 解之得:?b=2, ? ?r2=20.
2 2 2

∴所求圆的方程为:(x-3)2+(y-2)2=20.

1 (2)当 AB 为直径时, 过 A、 B 的圆的半径最小, 从而周长最小. 即 AB 中点 M(0,1)为圆心, 半径 r= |AB|= 10. 2 则圆的方程为:x2+(y-1)2=10. [点评](1)小题中∵圆心在直线 2x-y-4=0 上,∴也可设圆心坐标

为 C(x0,2x0-4),∵A,B 在圆上,∴|CA|=|CB|,可由此等式根据两点间的距离公式得关于 x0 的方程,解 此方程即可求得 x0 的值,从而求得所求圆的方程。 23.已知圆 N 的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0). (1)若点 M(6,9)在圆上,求 a 的值;

(2)已知点 P(3,3)和点 Q(5,3),线段 PQ(不含端点)与圆 N 有且只有一个公共点,求 a 的取值范围. 解:(1)∵点 M(6,9)在圆上,∴(6-5)2+(9-6)2=a2,又∵a>0,∴a= 10; (2)园 N 的圆心为 N(5,6)半径为 r=a, 由两点间距离公式可得 |PN|= ?3-5?2+?3-6?2= 13,|QN|= ?5-5?2+?3-6?2=3,
- 11 -

∵线段 PQ 与圆有且只有一个公共点,即 P、Q 两点一个在圆内、另一个在圆外,由于 3< 13, ∴3<a< 13,即 a 的取值范围是(3, 13). 24.如图,矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(2,0),AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0, 点 T(-1,1)在 AD 边所在的直线上. (1)求 AD 边所在直线的方程; (2)求矩形 ABCD 外接圆的方程.

解:(1)∵AB 边所在直线的方程为 x-3y-6=0,∴ k AB ? ∵AD ? AB,∴ k AD ? ?

1 3

1 ? ?3 k AB

又∵点 T(-1,1)在直线 AD 上,∴所求 AD 边所在直线的方程为 y-1=-3(x+1),整理可得 3x+y+2=0.
?x-3y-6=0, ? ?x ? 0 (2)解方程组? 可得 ? ,∴点 A 的坐标为(0, -2). ∵矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M(2,0). ?3x+y+2=0, ? ? y ? ?2

∴M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心.∴所求园的半径 r=|AM|= ?2-0?2+?0+2?2=2 2, ∴所求矩形 ABCD 的外接圆的方程为(x-2)2+y2=8. 25.求圆心在直线 4x+y=0 上,且与直线 l:x+y-1=0 相切于点 P(3,-2)的圆的方程, 并找出圆的圆心及半径. 4a+b=0, ? ?b+2 =1, 解:设所求圆的标准方程为(x-a) +(y-b) =r ,则根据题意可得? a-3 ? ??3-a? +?-2-b? =r .
2 2 2 2 2 2

4a+b=0, a=1, ? ? ? ? 化简得?b=a-5, 解之得?b=-4, 2 2 2 ? ? ??3-a? +?-2-b? =r , ?r2=8. ∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8,它是以(1,-4)为圆心,以 2 2为半径的圆. 26.求平行于直线 3x+3y+5=0 且被圆 x2+y2=20 截得长为 6 2的弦所在的直线方程. 解:依题意可设所求弦所在的直线方程为 x+y+c=0.① 则圆心(0,0)到此直线的距离为 d= 因为圆的半弦长、半径、弦心距恰好构成直角三角形,∴由勾股定理可得? |c| ?2 +(3 2)2=20. ? 2? |c| |c| = . 2 1+1

由此解之得 c=± 2,代入①得所求弦所在直线的方程为 x+y+2=0 或 x+y-2=0. 27.已知圆 C 的方程是(x-1)2+(y-1)2=4,直线 l 的方程为 y=x+m,求当 m 为何值时, (1)直线平分圆; (2)直线与圆相切.

解:(1)园 C 的圆心为 C(1,1) ,半径为 r=2,∵直线平分圆,∴圆心在 l 直线上,∴1=1+m,即有 m=0. (2)∵直线与圆相切,∴圆心到直线的距离等于半径,∴d= 即 m=± 2 2时,直线 l 与圆相切. |1-1+m|
2

1 +?-1?

2=

|m| =2.,解之得 m=± 2 2. 2

- 12 -

- 13 -


相关文章:
高二数学_圆与方程_经典例题讲解1
高二数学_圆与方程_经典例题讲解1_高二数学_数学_高中教育_教育专区。河南大学附中 习题精选精讲圆标准方程 习题精选精讲圆标准方程 已知圆心 C ( a, b) 和...
高二数学圆与方程(有练习,有答案,有讲解,有例题)
高二数学圆与方程(有练习,有答案,有讲解,有例题)_高二数学_数学_高中教育_...已知点 B(1,4),C(16,2),点 A 在直线 x-3y+3 = 0 上,并且使 积...
高二圆与方程经典复习题
高二圆与方程经典复习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。圆与方程 圆与方程 1、圆的标准方程:以点 C (a, b) 为圆心, r 为半径的圆的标准方程是 ( x...
高中数学_必修二_圆与方程_经典例题 整理
高中数学_必修二_圆与方程_经典例题 整理_数学_...10 ? 0 上至少有三个不同的点到直线 l : ax ...(1)的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2,其中...
圆与方程测试题及答案
圆与方程测试题答案_数学_高中教育_教育专区。圆与方程测试题 圆与方程测试题一、选择题 1.若圆 C 的圆心坐标为(2,-3),且圆 C 经过点 M(5,-7),则...
高中数学必修二《直线与方程及圆与方程》测试题_及答案
高中数学必修二《直线与方程及圆与方程测试题_及答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。直线方程 一选择题 1. 已知直线经过点 A(0,4)和点 B(1,2) ,则...
必修二第四章圆与方程全章练习题(带答案)
必修二第四章圆与方程全章练习题(答案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。...(-1,2),2 C.(-1,2),4 2, 2 2 圆与方程 圆的方程 圆的标准方程 (...
2015-2016学年高二数学必修2练习4-1-2圆的一般方程.doc
2015-2016学年高二数学必修2练习4-1-2圆的一般方程.doc_数学_高中教育_教育...∴a=-2. ?a<1, ? 答案 -2 8.已知 A,B 是圆 O:x2+y2=16 上两点...
圆与方程高考题再现(有答案)
圆与方程高考题再现(有答案)_高二数学_数学_高中教育_教育专区。直线和圆高考题再现一、选择题 1.(辽宁理,4)已知圆 C 与直线 x-y=0 及 x-y-4=0 都...
必修2圆与方程测试题(含答案)
必修2圆与方程测试题(答案)_数学_高中教育_教育专区。《圆与方程》测试题知识梳理: 1.圆心为 C ( a , b ) ,半径为 r 的圆的标准方程为: 时,圆心在...
更多相关标签: