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§1.1.1-1 正弦定理(一)


§1.1.1-1 正弦定理(一)

重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@163.com

§1.1.1-1 正弦定理(一)

解直角三角形需要用到的知识

①三角形内角和定理: A ? B ? C ? 180? ② 锐角三角函数:

a b a sin A ? ,cos

A ? ,tan A ? ; c c b a b b sin B ? ,cos B ? ,tan B ? . c c a
③ 勾股定理: a ? b ? c
2 2
2013-1-16

2

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2

§1.1.1-1 正弦定理(一)

二、新课 在直角三角形ABC中找出a, b,c与sinA, sinB, sinC之间 的关系:

a b sin A ? sin B ? sin C ? 1 c c a c b 即:c ? c? c? sin A sin C b sin B a b c ? ? ? C sin A sin B sin C
以上关系式能否推广到斜三角形?
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A c a

B
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§1.1.1-1 正弦定理(一)

证法一:

(传统证法)

在任意斜?ABC中: 1 1 1 S?ABC ? ab sin C ? ac sin B ? bc sin A 2 2 2 1 两边同除以 abc , 即得: 2 B a b c a c ? ? b sin A sin B sin C A C
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§1.1.1-1 正弦定理(一)

证法二:

(将角转化到直角三角形中)

作?ABC的外接圆O,作直径BC ' , 连接AC ',则?C ? ?C ',设圆O半径R, c c 则: ? ? 2 R; B sin C sin C ' 同理可得: c a a b ? 2 R, ? 2R b A C sin A sin B a b c C' ? ? ? ? 2R sin A sin B sin C
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§1.1.1-1 正弦定理(一)

证法三:

(向量知识来证明)

? 过A作单位向量 j 垂直于AC ? AC ? CB ? AB,两边同乘以向量 j , B ? ? a j ? ( AC ? CB ) ? j ? AB ? c ? ? ? j 则:j ? AC ? j ? CB ? j ? AB A ? ? b ? j ? AC cos 90? ? j ? CB cos(90? ? C ) ? ? j ? AB cos(90? ? A)
? a sin C ? c sin A
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C

§1.1.1-1 正弦定理(一)

证法三:

(向量知识来证明)

a c ? ? sin A sin C ? 同理:若过C作j 垂直于CB得: c b B ? , a ? c sin C sin B j a b c ? ? ? A b sin A sin B sin C

C

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§1.1.1-1 正弦定理(一)

证法三:

(向量知识来证明)

当?ABC为钝角三角形时,设 A ? 90?, ? ? 过A作单位向量j 垂直于AC可证明 .

? c j A
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B
b

B
a
c

C

A

a ? j

b

C
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§1.1.1-1 正弦定理(一)

正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角 a b c 的正弦的比相等。即 =2R ? ? sin A sin B sin C 注意: ⑴正弦定理可以解决下列三角问题: ①已知两角和任一边,求其它两边和一角。 ②已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角。 ⑵公式的变形: ①a:b:c=sinA:sinB:sinC ②a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC (3)正弦定理有两个方面的作用: 解三角形和实现边角转化来研究三角函数的问题.
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§1.1.1-1 正弦定理(一)

练习: 在⊿ABC中,已知c=10,A=45°, C=30°,求b. b c ? 解: ? sin B sin C

B=180°– (A+C)=105°,

6? 2 sin 105 ? sin(45 ? 60 ) ? 4 C
? ? ?

b A c

b 6? 4

2

?

10 1 2

?b ? 5( 6 ? 2 )

B
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§1.1.1-1 正弦定理(一)

例1 在⊿ABC中,A=32.0°,B=81.8°,a=42.9 cm, 解三角形。 已知两角和任一边 解 根据三角形内角和定理, C=180°-(A+B)

=180°-(32.0°+81.8°) =66.2°. 根据正弦定理,
a sin B 42.9 sin 81.8? b? ? ? 80.1(cm); ? sin A sin 32.0

根据正弦定理, 综上,……
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a sin C 42.9 sin 66.2? c? ? ? 74.1(cm). ? sin A sin 32.0
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§1.1.1-1 正弦定理(一)

例2 在⊿ABC中,已知a=20 cm,b=28 cm,A=40°, 解三角形。(角度精确到1°,边长精确到1 cm)

由我们学过的全 等三角形的知识,上 面的条件能确定一个 三角形吗?
已知两边和其中一边的对角

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? 如何应用正弦定理? (一)已知两边一对角,可求其 它边和角!(SSA) (二)已知两角一对边,可求 B 其它边和角!(AAS) C a c b A

D

问题:已知任意两角和一边,能否求其 它边和角?
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§1.1.1-1 正弦定理(一)

⑴若A为锐角时:
无解 ?a ? b sin A ? 一解(直角) ?a ? bsinA ? ?bsinA ? a ? b 二解(一锐, 一钝) ?a ? b 一解(锐角) ?
已知边a,b和?A
C a A H a<CH=bsinA 无解 B a=CH=bsinA 仅有一个解 b a A b a B1 H a A B2 a?b 仅有一个解 H B C b C a

C b A

CH=bsinA<a<b 有两个解

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(2)A为直角或钝角
C
b A a>b(一解)

C a B
b A

a
B a>b(一解)

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解 根据正弦定理,
b sin A 28sin 40? sin B ? ? ? 0.8999 ; a 20

因为0°<B<180°,所以B≈64°,或B≈116°. (1) 当B≈64°时,
C ? 180? ? ( A ? B) ? 180? ? (40? ? 64? ) ? 76? ,
a sin C 20sin 76? c? ? ? 30(cm). ? sin A sin 40

(2) 当B≈116°时,
C ? 180? ? ( A ? B) ? 180? ? (40? ? 116? ) ? 24? ,
a sin C 20sin 24? c? ? ? 13(cm). ? sin A sin 40

综上,……
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课堂小结与思考 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角
的正弦的比相等。即

a b c ? ? =2R sin A sin B sin C

思考:在△ABC中,已知:a=10,b=20, C=45? ,能用正弦定理直接求出A吗? a b c 解 :由 = = 知 sin A sin B sin C b c 要求A需可求 或 sin B sin C 而只知b和C , 不能求出A.
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§1.1.1-1 正弦定理(一)

课堂练习 <<教材>> P.4

练习1.2

书面作业
<<教材>> P.10 习题1.1 A组1(1).2(2)

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