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高中数学必修4——向量专题训练


(一) 、知识梳理: 1.向量的概念:既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素:大小、方向. 2.向量的表示方法: i ? (1, 0) , j ? (0,1) , 0 ? (0,0) 。 a ? 若 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 AB ? ?x2 ? x1 , y2 ? y1 ? , AB ?

?

?

?

?

x2 ? y 2 ;
( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2

3.零向量、单位向量:①长度为 0 的向量叫零向量,记为 0 ; ②长度为 1 个单位长度的向量,叫单 位向量.(注:

a |a|

就是单位向量)

? ? ? ? c 平行,记作 a ∥ b ∥ c .共线向量与平行向量关系:平行向量就是共线向量.

4.平行向量:①方向相同或相反的非零向量叫平行向量;②我们规定 0 与任一向量平行.向量 a 、 b 、

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?

?

5.相等向量:长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 6.向量的加法、减法: ①求两个向量和的运算,叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。 ②向量的减法向量 a 加上的 b 相反向量,叫做 a 与 b 的差。即: a ? b = a + (? b ); 差向量的意义: OA = a ,

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? ? ? OB = b , 则 BA = a ? b

③ 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 : 若 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y 2 ) ,

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? ? ? a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) , ? a ? (? x, ? y) 。

④向量加法的交换律: a + b = b + a ;向量加法的结合律:( a + b ) + c = a + ( b + c ) ? ? 7.实数与向量的积:实数λ 与向量 a 的积是一个向量,记作:λ a (1)|λ a |=|λ || a |; (2)λ >0 时λ a 与 a 方向相同;λ <0 时λ a 与 a 方向相反;λ =0 时λ a = 0 ; (3)运 算定律 λ (μ a )=(λ μ) a ,(λ +μ) a =λ a +μ a ,λ ( a + b )=λ a +λ b

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使 b =λ a 。 9. 向量 a 和 b 的数量积: ① a · b =| a |·| b |cos ? ,其中 ? ∈[0,π ]为 a 和 b 的夹角。 ②| b |cos ? 称为 b 在 a 的方向上的投影。 ③ a ·b 的几何意义是:b 的长度| b |在 a 的方向上的投影的乘积,是一 (可正、可负、也可是零) ,而不是向量。 ④若 a =( x1 , y1 ), b =(x2, y 2 ), 则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2
1

?

8. 向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线(也是平行)的充要条件是:有且只有一个非零实数λ ,

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?

?

个 实 数

? ?

⑤运算律:a· b=b·a, (λ a)· b=a·(λ b)=λ (a·b), (a+b)·c=a·c+b·c。

? ? a ?b ⑥ a 和 b 的夹角公式:cos ? = ? ? = a?b
⑦ a ? a ? a ? | a |2=x2+y2,或| a |=

x1 x2 ? y1 y2
2 x1 ? y1 ? 2 2 2 x2 ? y2

? ?

?2

x2 ? y2 ? a

2

⑧| a·b |≤| a |·| b |。

11.两向量平行、垂直的充要条件 设 a =( x1 , y1 ), b =( x2 , y 2 ) ①a⊥b ? a·b=0 , a ? b ? a ? b = x1 x2 + y1 y 2 =0;
? ?

② a // b ( a ≠ 0 )充要条件是:有且只有一个非零实数λ ,使 b =λ a 。

?

?

?

a // b ? x1 y 2 ?x2 y1 ? 0
?: P ? ? 0; 12.点 P 分有向线段 P 1P 2 所成的比的 1P 2 时, 1 P ? ? PP 2 ,P 内分线段 P

? ? 0 . 定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式: P 外分线段 P 1P 2 时,
? x? ? ? ? ?y ? ? ? x1 ? ?x 2 1? ? y1 ? ?y 2 1? ? x ? x2 ? x? 1 ? x ? x 2 ? x3 y1 ? y 2 ? y3 2 , ) ?? ? ?1? 、 ? 、 ( 1 ? y ? y 3 3 1 2 ?y ? ? 2 ?

(二) 、专题训练: 一、填空题 1.若有以下命题: ① 两个相等向量的模相等; ② 若 a 和 b 都是单位向量,则 a ? b ; ③ 相等的两个向量一定是共线向量; ④ a // b , c // b ,则 a // c ; ⑤ 零向量是唯一没有方向的向量; ⑥ 两个非零向量的和可以是零。 其中正确的命题序号是 。 2. 在水流速度为 4 km / h 的河流中, 有一艘船沿与水流垂直的方向以 8 km / h 的速度航行, 则船自身航行 速度大小为____________ km / h 。 3. 任给两个向量 a 和 b ,则下列式子恒成立的有________________。 ① | a ? b |?| a | ? | b | ③ | a ? b |?| a | ? | b | ② | a ? b |?| a | ? | b | ④ | a ? b |?| a | ? | b |

4. 若 AB ? 3a , CD ? ?5a 且 | AD |?| BC | ,则四边形 ABCD 的形状为________。 5.梯形 ABCD 的顶点坐标为 A(?1,2) , B(3,4) , D(2,1) 且 AB // DC , AB ? 2CD ,则点 C 的坐标为 ___________。 6. ?ABC 的三个顶点坐标分别为 A( x1 , y1 ) , B( x2 y 2 ) , C ( x3 y3 ) ,若 G 是 ?ABC 的重心,则 G 点的 坐标为__________, GA ? GB ? GC ? __________________。 7. 若向量 a ? (1,1) , b ? (1,?1) , c ? (?1,2) ,则 c ? ___________(用 a 和 b 表示)。 8. 与向量 a ? (3,4) 平行的单位向量的坐标为 ________________。 9. 在 ?ABC 中,已知 AB ? 7 , BC ? 5 , AC ? 6 ,则 AB ? BC ? ________________。
2

10.设 a ? ( x,3) , b ? (2,?1) ,若 a 与 b 的夹角为钝角,则 x 的取值范围是 __ 11. 直线 l 平行于向量 a ? (?2,3) ,则直线 l 的斜率为____________。

____。

12. 已知 a ? (3,?4) , b ? (cos? , sin ? ) (? ? R) ,则 | a ? 2b | 的取值范围是 _________。 13.已知向量 a 、 b 不共线,且 | a |?| b | ,则 a ? b 与 a ? b 的夹角为 __________。 14.在 ?ABC 中 AB ? c , BC ? a , CA ? b ,则下列推导正确的是__ ① 若 a ? b ? 0 则 ?ABC 是钝角三角形 _ 。 ② 若 a ? b ? 0 ,则 ?ABC 是直角三角形

③ 若 a ? b ? c ? b , 则 ?ABC 是 等 腰 三 角 形 ④ 若 | a |?| b ? c | , 则 ?ABC 是 直 角 三 角 形 ⑤ 若

a ? b ? c ? b ? a ? c ,则△ABC 是正三角形
二、解答题 15.已知 a ? b ? c ? 0 且 | a |? 3 , | b |? 1 , | c |? 4 计算 a ? b ? b ? c ? c ? a

16 设 D 、 E 、 F 分别是 ?ABC 的边 BC 、 CA 、 AB 上的点,且 AF ?

1 AB 2

BD ?

1 1 BC , CE ? CA ,若记 AB ? m , CA ? n ,试用 m , n 表示 DE 、 EF 、 FD 。 3 4

17. 已知 | a |? 4 , | b |? 2 ,且 a 与 b 夹角为 120°求 ⑴ (a ? 2b) ? (a ? b) ; ⑵ | 2a ? b | ; ⑶ a 与 a ? b 的夹角。

3

18. 已知向量 a = (1,2) , b = (?3,2) 。 ⑴求 | a ? b | 与 | a ? b | ;⑵ 当 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 垂直? ⑶ 当 k 为何值时,向量 k a ? b 与 a ? 3b 平行?并确定此时它们是同向还是反向?

19. 已知 OP = (2,1) , OA = (1,7) , OB = (5,1) ,设 M 是直线 OP 上一点, O 是坐标原点 ⑴求使 MA ? MB 取最小值时的 OM ; ⑵对(1)中的点 M ,求 ?AMB 的余弦值。

20. 在 ?ABC 中, O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM ? 2 求: OA ? (OB ? OC) 的最小值。

4

(三) 、高考题目: 例 1、 (2008 深圳福田等)已知向量 a ? ( 3sin x,cos x), b ? (cos x,cos x) ,函数 f ( x) ? 2a ? b ?1 (1)求 f ( x ) 的最小正周期; (2)当 x ? [

?

?

? ?

?
6

,

?
2

] 时, 若 f ( x) ? 1, 求 x 的值.

\ 例 2、 (2007 山东文)在 △ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, tan C ? 3 7 . (1)求 cos C ; (2)若 CB ? CA ?

??? ? ??? ?

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

?x π? ? π ? ? 2 ? 平移, 例 3、 (2007 湖北) 将 y ? 2 cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , 则平移后所得图象的解析式为 ( ?3 6? ? 4 ? ?x A. y ? 2cos ? ? ?3 π? ??2 4? ? x π? B. y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? ?x π ? D. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ?



?x π ? C. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ?

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