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湖南省雅礼中学2010届高三上学期第五次月考数学试题(理科)


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雅礼中学 2010 届高三第五次质检

数学(理科)试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择)题两部分,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 第Ⅰ卷(选 择题) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (1 ? i )(1 ? 2i ) ? ( C ) 1? i A. ? 2 ? i 2.已知集合 M ? ? x | ( ) A. ? 2,? ??
5 6

B. ? 2 ? i

C. 2 ? i

D. 2 ? i

? ?

1 ? ? 2 x ? 4? , N ? ? x | x ? k ? 0? , 若M ? N ? ? ,则 k 的取值范围是 2 ?
B. ? 2, ? ??
4

C. ? ??, ?1?

D. ? ??, ? 1?

3.在(3+x) +(2-x) 的展开式中,含 x 的项的二项式系数是以 an=2n+2 为通项的数列{an}的 ( ) A.第 6 项 B .第 7 项 C.第 8 项 D.第 9 项 4.函数 y ? sin 3x ( )

A.是周期函数,最小正周期为

2? ? B.是周期函数,最小正周期为 3 3

C.不是周期函数,但是奇函数 D.不是周期函数,但是偶函数 2 2 5. (如图) ,在一个边长为 1 的正方形 AOBC 内,曲线 y=x 和曲线 y = x 围成一个叶形图(阴 影部分)向正方形 AOBC 内随机投一点.(该点落在正方形 AOBC 内任何一点是等可能的) , , 则所投的点落在叶形图内部的概率是( )

1 2 1 C. 4
A.

1 3 1 D. 6
B.

y=x2 y2=x

6.长沙市组织一次高三调研考试,考试后统 计的数学成绩服从正态分布,其密度函数为

f ( x) ?

1 2? ? 10

e

( x ?80 ) 2 200

( x ? R) ,则下列命题不正确的是

( )

A.长沙市这次考试的数学平均成绩为 80 分; B.分数在 120 分以上的人数与分数在 60 分以下的人数相同; C.分数在 110 分以上的人数与分数在 50 分以下的人数相同; D.长沙市这次考试的数学成绩标准差为10. 答案:B

? 7.已知 ?、 是两个不同的平面,直线 a ? ? ,直线 b ? ? ,命题 p:a 与 b 无公共点,命
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题 q: ? // ? ,则 p 是 q 的( A.充分而不必要条件 C.充要条件

) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

* 8.已知 an ? log ( n ?1) ? n ? 2 ? , n ? N ,若称使乘积 a1·a2·a3…an 为整数的数 n 为劣数,

?

?

则在区间(1,2010)内所有劣数的和为( ) A.2026 B.2046 C.1024 D.1022 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡中对应题号后的 横线上. 9.在平面直角坐标系中,已知两点 A(2,5) B(0,1) , ,若点 C 满足 OC ? ?1 OA ? ?2 OB (O 为坐标原点) ,其中 ?1、 2 ? R ,且 ?1 ? ?2 ? 1 ,则点 C 的轨迹方程为 2x-y+1=0 . ? 10.已知两圆相交于两点 A(1,3), B(m,?1) ,两圆圆心都在直线 x ? y ? c ? 0 上,则 m ? c 的值 是 3

??? ?

??? ?

??? ?

11 . 已 知 函 数 y ? loga ? x ? 3? ?1? a ? 0且a ? 1? 的 图 象 恒 过 定 点 A. 若 点 A 在 直 线

1 2 x2 y2 mx+ny+1=0 上,其中 mn>0,当 ? 有最小值时,椭圆 2 ? 2 ? 1 的离心率为 m n m n



3 . 2
12.如果圆 x +y =k 至少覆盖函数 f ? x ? ?
2 2 2

3 sin

?x
k

的一个极大值点和一个极小值点,则 k

的取值范围是 ? ??, ? 2? ? ? 2, ? ?? . 13.在如图所示三角形中,令第 n 行的各数的和为 an ,得到数列 {an } ,则数列 {an } 的通项 公式为 .

an ? n ? 2 n?1
[来源:Zxxk.Com] [来源:学科网 ZXXK]

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14.已知 f ( x) ? x ? 6 ,以下程序框图表示的是给定 x 的值,求其函数值的算法.请将该程 序框图补充完整.其中①处应填 【解析】 x ? 6 ? ,②处应填
开始

.

y ? x?6

输入 x 是 ① 否

y=6-x



输出 y

结束

15.棱长为 1 的正四面体与一个球 ①若正四面体的四个顶点都在球面上,则这个球的表面积为 6? .

②若球与正四面体的六条棱都相切,则这个球的体积是

2 ? .[来源:学。科。网] 24

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知△ABC 中,∠A、∠B、∠C 的对边分别是 a、b、c,若 4 sin
2

B?C 7 ? COS 2 A ? , 2 2

b ? c ? 3a ,求 A、B、C 的大小.
解: 4 ?

1 ? cos ? B ? C ? 7 ? ? 2cos 2 A ? 1? ? 2 2

2 ? 2 cos A ? 2 cos 2 A ? 1 ? 2 cos 2 A ? 2 cos A ? 1 ?0 2

7 2

? 2 cos A ? 1? 2 ? 0
? cos A ? ?A?

?
3

1 A ? ? 0, ? ? 2

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b ? c ? 3a ,由正弦定理得: sin B ? sin C ? 3 sin A ?
3 ? 2? ? ? sin ? ? c ? ? sin c ? 2 ? 3 ? 3 ? ?? ? sin ? c ? ? ? 6? 2 ? ?c ? ?c ? ?A?

3 2

?
6

?

?
3

或c ?

?
6

?

2? 3

?
6

或c ? ,B?

?
2

?
3

?
2

,C?

?
6

或A ?

?
3

,B?

?
6

,C?

?
2

17. (本小题满分 12 分) 某篮球职业联赛的总决赛在甲队与乙队间角逐,采用五局三胜制,即若一队先胜三场, 则此队获胜,比赛结束,雅创教育网因两队实力相当,每场比赛获胜的可能性相等, 据以往资料统计,第一场比赛组织者可获门票收入 30 万元,以后每场比赛门票收入都 比上一场增加 10 万元,问: ⑴组织者在此次总决赛中获得门票收入不少于 180 万元的概率是多少? ⑵用 ? 表示组织者在此次总决赛中的门票收入,求 ? 的数学期望? 解:⑴每场比赛的门票收入构成等差数列{an},其中 a1=30,d=10, Sn=5n2+25n 2 令 Sn≥180,即 5n +25n≥180,解得 n≥4 或 n≤-9(舍) ∴n=4 或 5 ?

?若n ? 4, 则需打4场比赛,某队必须第4场胜,且前3场中胜2场 ?若n ? 5, 则需打5场比赛,某队必须第5场胜,且前4场中胜2场
4 5

3 ?1? 2?1? ? P ? 2C ? ? ? 2C4 ? ? ? ?2? ? 2 ? 4 …………………………………………………6 分 3 ??为 4
2 3



?

120[来 源:学#科#网]

180[来 源:Zxxk.Com]

250

P

1 4

3 8 [来
源:Zxxk.Com]

3 8

∴E ? = 120 ?

1 3 3 ? 180 ? ? 250 ? ? 191.25 …………………………………………12 分 4 8 8

18. 本小题满分 12 分) ( 如图, 在四棱锥 P-ABCD 中, ⊥底面 ABCD, DAB=90?, //CD, PA ∠ AB AD=CD=2AB,E、F 分别为 PC、CD 的中点.[来源:学+科+网]
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⑴证明:CD⊥平面 BEF; ⑵设 PA=k·AB 且二面角 E-BD-C 的平面角大于 30?,求 k 的取值范围. 18.⑴如图,以 A 为原点,AB 所在直线为 x 轴,AD 所在直线为 y 轴,AP 所在直线为 z 轴建 立空间直角坐标系. 设 AB=a,则易知点 A、B、C、D、F 的坐标分别为 A(0,0,0) B(a,0,0) C(2a, , , 2a,0),D(0,2a,0),F(a,2a,0). 从而 DC ? ? 2a, 0, 0 ? , BF ? ?0, 2a, 0 ?.

????

??? ?

???? ??? ? ???? ??? ? DC ? BF ? 0, 故DC ? BF.
设 PA=b, P 0, b) 而 E 为 PC 的中点, E a,a, 则 ( 0, , 故( 从而 BE ? ? 0, a,

b ) . 2

??? ? ? ?

? ???? ??? ? b ? ???? ??? , DC ? BE ? 0, 故DC ? BE. ? 2?

由此得 CD⊥面 BEF. ………………………………………………6 分 ⑵设 E 在 xOy 平面上的投影为 G,作 G 作 DH⊥BD,垂足为 H. 由三垂线定理知 EH⊥BD. 从而∠EHG 为二面角 E-BD-C 的平面角. 由 PA=k·AB 得 P(0,0,ka) E ? a, a, ,

? ?

ka ? ? ,G ? a, a, 0? . 2 ?

设 H(x,y,0) ,则 GH ? ? x ? a, y ? a, 0 ? , BD ? ? ?a, 2a, 0 ? , 由 GH ? BD ? 0 得-a(x-a)+2a(y-a)=0,即 x-2y=-a ①, 又因为 BH ? ? x ? a, y, 0 ? , 且 BH与BD 的方向相同, 故

????

??? ?

???? ??? ?

????

???? ??? ?

x?a y ? ,即 2x+y=2a ?a 2a

由①②解得 x ?

???? ? 2 3 4 1 5 ? ???? a, y ? a. 从而GH ? ? ? a, ? a, 0 ? , GH ? a. 5 5 5 5 ? 5 ?

??? ? ka EG 5 tan EHG ? ???? ? 2 ? k. 2 5 GH a 5
由 k>0 知∠EHG 是锐角,由∠EHG>30?,得 tanEHG>tan30?,即

5 3 k? . …12 分 2 3

19、 (本小题满分 13 分) 有一座大桥既是交通拥挤地段,又是事故多发地段,为了保证安全,交通部门规定。大桥上 的车距 d ( m) 与车速 v( km / h) 和车长 l (m) 的关系满足: d ? kv l ?
2

1 l ( k 为正的常数) , 2

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假定车身长为 4m ,当车速为 60(km / h) 时,车距为 2.66 个车身长。 A. 写出车距 d 关于车速 v 的函 数关系式; B. 应规定怎样的车速,才能使大桥上每小时通过的车辆最多?

1 2.66l ? l 2 ? 2.16 ? 0.0006……2 分 解析:⑴因为当 v ? 60 时, d ? 2.66l ,所以 k ? 2 60 l 602
∴ d = 0.0024v 2 + 2 ………………………………………………………5 分 ⑵设每小时通过的车辆为 Q ,则 Q ?

1000v 1000 .即 Q ? 1000v ……10 分 ? d ?4 0.0024v 2 ? 6 0.0024v ? 6
v

6 6 ∵ 0.0024v ? ≥2 0.0024v ? ? 0.24 ,…………………………………………………12 分 v v
∴ Q≤

1000 12500 6 12500 ,当且仅当 0.0024v ? ,即 v ? 50 时, Q 取最大值 . ? 0.24 3 v 3

答:当 v ? 50 ?km / h? 时,大桥每小时通过的车辆最多.………13 分 20.(本小题满分 13 分) 已知长方形 ABCD, AB=6,BC=7/4.以 AB 的中点 O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系 xoy (1)求以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆 C 的标准方程; (2)若 P 为椭圆 C 上的动点,M 为过 P 且垂直于 x 轴的直线上的点, 迹方程,并说明轨迹是什么曲线。

OP OM

=λ ,求点 M 的轨

y
解:(1)

x y ? ? 1 …………………5 分 16 7

2

2

D

C

(2)设 M ( x, y ) ,其中 x ?? ?4, 4? 。由 已知

OP OM

2 2

A

O

B

x

? ? 2 及点 P 在椭圆 C 上可得

9 x 2 ? 112 ? ? 2 。整理得 (16? 2 ? 9) x2 ? 16? 2 y 2 ? 112 ,其中 x ?? ?4, 4? ……………8 分 2 2 16( x ? y )
(i) ? ?

3 2 时。化简得 9 y ? 112 4

所以点 M 的轨迹方程为 y ? ?

4 7 (?4 ? x ? 4) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段。 3
x2 y2 ? ? 1 ,其中 x ?? ?4, 4? 112 112 16? 2 ? 9 16? 2

(ii) ? ?

3 时,方程变形为 4

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当0 ? ? ? 的部分。 当

3 时,点 M 的轨迹为中 心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 ?4 ? x ? 4 4

3 ? ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆满足 ?4 ? x ? 4 的 4

部分; 当 ? ? 1 时, M 的轨迹为中心在原点、 点 长轴在 x 轴上的椭圆………………13 分[来源: 学,科,网 Z,X,X,K] [来源:学_科_网] 21.(本小题满分 13 分) 设函数( x )=

x3 a 2 + x +b x + c (a,b,c ? R ),函数 f ( x )的导数记为 f / ( x ) 。 3 2

(1)若 a = f / (2) ,b= f / (1) ,c= f / (0) ,求 a,b,c 的值; (2) a = f (2) b= f (1) c= f (0) 且 F ( n ) 若 , , , =
/ / /

1 求证:F (1)+ F (2)+ f (n) ? 2.
/

F (3)+……+ F ( n ) ?

11 ( n ? N *); 18

(3)设关于 x 的方程 f / ( x )=0 的两个实数根为 a、? ,且 1 ? a? ? ? 2. 试问 :是否存 在正整数 n0 ,使得| f / ( n0 )| ?
/
2

1 ?说明理由: 4

解:(1) f ( x )= x + ax + b ,由已知可得 a =-1,b=c=-3.……………………4 分 (2) f ( n )= n - n -3, F =( n )= 当 n =1 时, F (1)=-1 ? 当 n ? 3 时,F ( n )= 源:Z.xx.k.Com]
/
2

1 1 = 2 f ( n) ? 2 n ? n ? 1
/

11 11 ;当 n =2 时, F (1)+ F (2)=-1+ 1=0 ? ; 18 18
2

1 1 1 1 1 1 ? 2 = = ( ) .[来 n ? n ? 1 n ? n ? 2 (n ? 1)(n ? 2) 3 n ? 2 n ? 1

1 1 1 1 1 1 F (1) ? F (2) ? F (3) ? …… ? F (n)? F (1) ? F (2) ? [(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3 4 2 5 3 6 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ? ] ? [1 ? ? ? ? ? ] ? ,所以 F (1) ? F (2) …… ? ( n ? 2 n ?1 3 2 3 n ? 1 n n ? 1 18 11 + F (3) ? …+ F(n)? ( n ? N *). ………………………………………………9 分 18
/ (3) f ( x) ? ( x ? a)(x ? ? ) .

f / (1) ? f / (2)= (1 ? a)(1 ? ? )(2 ? a)(2 ? ? ) ? (a ? 1)(? ? 1)(2 ? a)(2 ? ? )
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(a ? 1) ? (2 ? a) 2 ( ? ? 1) ? (2 ? ? ) 2 1 ] [ ] ? , 2 2 16 1 1 1 ?0? | f / (1)1 ? 或0? | f / (2)| ? ,所以存在 n0 =1 或 2,使| f / ( n0 )| ? …13 分 4 4 4
= (a ? 1)( 2 ? a)( ? ? 1)( 2 ? ? ? [

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