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【2016届走向高考】高三数学一轮(北师大版)课件:第10章 第2节 统计、统计案例


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北师大版 ·高考总复习

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

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第十章
统计、统计案例

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r />第十章 第二节
数据的数字特征和用样本估计总体

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1

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3

课堂典例讲练

2

课前自主导学

4

课 时 作 业

第十章

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第十章

统计、统计案例

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考纲要求
1.了解分布的意义和作用,会 列频率分布表,会画频率分布直方 图、频率折线图、茎叶图,理解它 们各自的特点. 2.理解样本数据标准差的意义 和作用,会计算数据标准差. 3.能从样本数据中提取基本的 数字特征(如平均数、标准差),并给 出合理的解释. 4.会用样本的频率分布估计总 体分布,会用样本的基本数字特征 估计总体的基本数字特征,理解用 样本估计总体的思想. 5.会用随机抽样的基本方法和 样本估计总体的思想解决一些简单 的实际问题.

命题分析
用样本去估计总体是考查的重 点内容,一是利用频率分布直方图 去估计总体,二是利用茎叶图估计 总体,三是利用样本数字特征去估 计总体.以上若单独命题,则以选 择题、填空题为主.近几年高考, 频率分布直方图、茎叶图在解答题 中时有出现. 预测2016年高考在本节仍会坚 持全面考查命题思想.即样本数 据、频数分布表、直方图、茎叶图 都可以单独命题,而且多有一道小 题.解答题仍会坚持与概率综 合.填空题、选择题为容易题,解 答题为中等难度题.命题形式变化 不会很大.
第十章 统计、统计案例

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课前自主导学

第十章

统计、统计案例

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1.茎叶图的优点

当样本数据较少时,茎叶图表示数据的效果较好,一是统
记录 与______ 表示 ,但茎 计图上没有原始数据 ________的损失,二是方便______ 叶图只便于表示两位有效数字的数据.

第十章

统计、统计案例

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2 .众 数 、 中 位 数 、 平 均 数 ( 1 ) 在 一 组 数 据 中 , 出 现 次 数 众 数 . ( 2 ) 将 一 组 数 据 按 大 小 依 次 排 列 , 把 处 在 数 据 (或 中 间 两 个 数 据 的 平 均 数 _ _ _ _ _ _ 位 置 的 一 个 中间

较多 _ _ _ _ _ _ 的 数 据 叫 作 这 组 数 据 的

)叫 作 这 组 数 据 的 中 位 数 . x1+x2+?+xn ( 3 ) 如 果 有 n个 数 x1,x2,?,xn, 那 么 x =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ n

叫 作 这 n个 数 的 平 均 数 .

第十章

统计、统计案例

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3 .标 准 差 和 方 差

平均距离 ( 1 ) 标 准 差 是 样 本 数 据 到 平 均 数 的 一 种 _ _ _ _ _ _ _ _ . 1 2 2 2 [ ? x - x ? + ? x - x ? +?+ ? x - x ? ] n ( 2 ) 标 准 差 : s=_ _ _ _ _ _n 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2 _ _ _ _ _ _ _ _ 1 2 2 2 2 ( 3 ) 方 差 : s =_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . [( x - x ) + ( x - x ) +?+ ( x - x ) ]_ 2 n n 1
( xn 是 样 本 数 据 , n是 样 本 容 量 , x是 样 本 平 均 数 . ) _ _频率与组距的比值 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ,

4. 在 频 率 分 布 直 方 图 中 , 纵 轴 表 示

数据落在各小组内的频率用小长方形的面积 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 表示,所有长方形

等于 面 积 之 和 _ _ _ _ _ _ _ _ 1 .

第十章

统计、统计案例

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5.作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中最大值 ______与最小值 ______的差). 组数 . 组距 与______ (2)决定______ 分组 . (3)将数据______ 频率分布表 . (4)列_____________ 频率分布直方图 . (5)画_________________

第十章

统计、统计案例

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6.频率折线图和总体密度曲线 (1)频率折线图:连接频率分布直方图中各小长方形上端的 中点 ,就得频率分布折线图. ______ 样本容量 的 增 大 , 作 图 时 (2) 总 体 密 度 曲 线 : 随 着 _________ 所划分的区间数 增多,每个区间的长度 __________________ _______________ 则会相应随之减 小,相应的频率折线图就会越来越接近于一条光滑曲线,即总 体密度曲线.

第十章

统计、统计案例

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1.10 名 工 人 某 天 生 产 同 一 零 件 , 生 产 的 件 数 分 别 是 15,17,14,10,15,19,17,16,14,12,则这一天10名工人生产的零件的

中位数是(
A.14 C.15

)
B.16 D.17 把 件 数 从 小 到 大 排 列 为

[答案] C [ 解 析 ] 10,12,14,14,15,15,16,17,17,19,可知中位数为15.

第十章

统计、统计案例

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2.从一堆苹果中任取10只,称得它们的质量如下(单位:
克): 125 120 A.0.2 122 105 130 114 116 95 120 ) 134 则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( B.0.3

C.0.4
[答案] C

D.0.5
落 在 [114.5,124.5) 内 的 样 本 数 据 为

[ 解 析 ]

4 2 120,122,116,120,共 4 个,故所求频率为10=5=0.4.
第十章 统计、统计案例

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3 .某部门计划对某路段进行限速,为调查限速 60km/h 是
否合理,对通过该路段的 300辆汽车的车速进行检测,将所得 数据按 [40,50) , [50,60)[60,70) , [70,80] 分组,绘制成如图所示 的频率分布直方图.则这 300辆汽车中车速低于限速的汽车有 ( )

A.75辆
B.120辆 C.180辆 D.270辆

第十章

统计、统计案例

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[答案] C [解析] 据直方图可知300辆中车速低于限速的汽车所占的 频率为10×0.025+10×0.035=0.6,故其频数为300×0.6=180.

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统计、统计案例

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4 .如图是某校举行的运动会上,七位评委为某体操项目
打出的分数的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低分后, 所剩数据的平均数和方差分别为( 7 8 9 A.84,4.84 C.85,1.6 9 4 4 3 B.84,1.6 D.85,4 6 4 7 )

第十章

统计、统计案例

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[答案] C
[ 解析] 去年最高分 93 分,最高分 79.

1 平均分为5(84+84+86+84+87)=85, 1 方差 s =5[(84-85)2+(84-85)2+(86-85)2+(84-85)2+
2

(87-85)2=1.6.

第十章

统计、统计案例

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5.某个容量为100的样本的频率分布直方图如下,则在区
间[4,5)上的数据的频数为________. [答案] 30 [ 解析 ] 样本数据在 [1,4) 和 [5,6] 上 的 频 率 为 (0.05 +

0.10+0.15+0.40)×1=0.7,
故样本数据在 [4,5) 上的频率 为 1 - 0.7 = 0.3 , 其 频 数 为 100×0.3=30.

第十章

统计、统计案例

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6.(2013·湖北高考)某学员在一次射击测试中射靶 10次, 命中环数如下:

7,8,7,9,5,4,9,10,7,4
则(Ⅰ)平均命中环数为________; (Ⅱ)命中环数的标准差为________.

[答案] (1)7 (2)2
[ 解析] (1)平均数 7+8+7+9+5+4+9+10+7+4 x= =7; 10

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课堂典例讲练

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频率分布直方图的绘制与应用 某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出60 名 学 生 , 将 其 物 理 成 绩 ( 均 为 整 数 ) 分 成 六 段 [40,50) ,

[50,60),…,[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图,观察
图形的信息,回答下列问题:

第十章

统计、统计案例

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(1) 求分数在 [70,80) 内的频率,并补全这个频率分布直方 图; (2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代 表,据此估计本次考试中的平均分.

[思路分析]
频率.

利用各小长方形的面积和等于1求[70,80)内的

第十章

统计、统计案例

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[规范解答]

(1)设分数在[70,80)内的频率为x,根据频率分

布直方图,有(0.010+0.015×2+0.025+0.005)×10+x=1,可 得x=0.3,所以频率分布直方图如图所示.

(2) 平均分为: x = 45×0.1 + 55×0.15 + 65×0.15 + 75×0.3 +85×0.25+95×0.05=71(分).
第十章 统计、统计案例

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[方法总结]

频率分布直方图直观形象地表示了样本的频

率分布,从这个直方图上可以求出样本数据在各个组的频率分 布.根据频率分布直方图估计样本(或者总体)的平均值时,一

般是采取组中值乘以各组的频率的方法.

第十章

统计、统计案例

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对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,下图为检
测结果的频率分布直方图.根据标准,产品长度在区间[20,25) 上 为 一 等 品 , 在 区 间 [15,20) 和 [25,30) 上 为 二 等 品 , 在 区 间

[10,15)和[30,35]上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品
中随机抽取1件,则其为二等品的概率是( A.0.09 B.0.20 C.0.25 )

D.0.45
第十章 统计、统计案例

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[答案] D [解析] 解法1:用样本估计总体.在区间[15,20)和[25,30) 上的概率为0.04×5+[1-(0.02+0.04+0.06+0.03)×5=0.45. 解法2:由图可知,抽得一等品的概率P1=0.06×5=0.3;

抽得三等品的概率为 P3 = (0.02 + 0.03)×5 = 0.25. 故抽得二等品
的概率为1-(0.3+0.25)=0.45.

第十章

统计、统计案例

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茎叶图的应用 某班甲、乙两学生的高考备考成绩如下: 甲: 512 554 558 528 521 549 543 536 532 556 559 534 536 541 548 522 527

538
乙: 515 531 (1)用茎叶图表示两学生的成绩; (2)分别求两学生成绩的平均分. [思路分析] (1)将十位与百倍数字作为茎,个位数字作为 叶,逐一统计;(2)根据茎叶图分析各组数据,得出结论.
第十章 统计、统计案例

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[规范解答] (1)两学生成绩的茎叶图如图所示.
甲 2 51 乙 5

2 8 8 4 6 1 9 6 4

52 53 54 55

1 7 2 6 1 3 8 8 9

第十章

统计、统计案例

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( 2 ) 甲 学 生 成 绩 的 平 均 数 为 12+22+28+34+36+38+41+49+54+56 500+ =537, 10 乙学生成绩的平均数为 15+21+27+31+32+36+43+48+58+59 500+ =537. 10

第十章

统计、统计案例

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[ 方法总结 ]

1. 茎叶图的优点是保留了原始数据,便于记

录及表示,能反映数据在各段上的分布情况. 2 .茎叶图不能直接反映总体的分布情况,这就需要通过 茎叶图给出的数据求出数据的数字特征,进一步估计总体情

况.
注意:使用茎叶图表示数据时,要分清茎与叶的构成情 况.

第十章

统计、统计案例

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(文)下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量(单位:
台)的茎叶图,则数据落在区间[22,30)内的频率为( 1 8 9 2 1 2 3 0 0 A.0.2 C.0.5 [答案] B )

2 7 9 3
B.0.4 D.0.6

第十章

统计、统计案例

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[解 析] [ 2 2 3 ,0 ) 故 选 B.

本 题 考 查 茎 叶 图 与 频 率 . 内 的 数 据 有 4个 , 共 有 1 0 个 数 据 , 故 频 率 为 4 4 .. 1 0 =0

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统计、统计案例

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(理)以下茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听
力测试中的成绩(单位:分).
甲组 9 x 2 7 4 0 1 2 9 5 y 8 4 乙组

已知甲组数据的中位数为 15,乙组数据的平均数为 16.8, 则 x,y 的值分别为( A.2,5 C.5,8 ) B.5,5 D.8,8
第十章 统计、统计案例

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[答案] C [解析] 因为甲组数据的中位数是 15,所以x=5;乙组的 平均数是16.8,则16.8×5=9+15+(10+y)+18+24,即y=8.

选C.

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统计、统计案例

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用样本的数字特征估计总体的数字特征 甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次,每次命 中的环数分别是:

甲:8,6,7,8,6,5,9,10,4,7
乙:6,7,7,8,6,7,8,7,9,5 (1)分别计算两组数据的平均数; (2)分别求出两组数据的方差; (3)根据计算结果,估计一下两名战士的射击情况. [思考分析] 根据公式计算平均数和方差,然后利用平均 数和方差的意义进行估计.
第十章 统计、统计案例

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[ 规范解答] 7 ) =7

1 - ( 1 ) x 甲=1 0 +4+ 0 (8+6+7+8+6+5+9+1

1 - x 乙=1 ) =7 . 0 (6+7+7+8+6+7+8+7+9+5 ( 2 ) 由 方 差 公 式 : 得 s2 0 . ,s2 2 .. 甲=3 乙=1 ( 3 ) - x 甲=- x 乙, 说 明 甲 、 乙 两 战 士 的 平 均 水 平 相 当 .
2 又因为 s2 说 明 甲 战 士 射 击 情 况 波 动 大 . 因 此 乙 战 士 甲 >s 乙 ,

1 s =n[(x1-- x )2+(x2-- x )2+?+(xn-- x )2]
2

比 甲 战 士 射 击 情 况 稳 定 .
第十章 统计、统计案例

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[方 法 总 结 ]

样 本 数 字 特 征 及 公 式 推 广

( 1 ) 平 均 数 和 方 差 都 是 重 要 的 数 字 特 征 , 是 对 总 体 一 种 简 明 的 阐 述 . 平 均 数 、 中 位 数 、 众 数 描 述 总 体 的 集 中 趋 势 , 方 差 和 标 准 差 描 述 波 动 大 小 . ( 2 ) 平 均 数 、 方 差 公 式 的 推 广 若 数 据 x1,x2,?,xn 的 平 均 数 为 - x, 方 差 为 s2 , 则 数 据 m2s2.

mx1+a, mx2+a, ?, mxn+a 的 平 均 数 为

m- x +a, 方 差 为

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在 某 次 测 量 中 得 到 的 A 样 本 数 据 如 下 :
82,84,84,86,86,86,88,88,88,88. 若 B 样本数据恰好是 A 样本数据每 个都加2后所得数据,则A,B两样本的下列数字特征对应相同

的是(

)
B.平均数 D.标准差

A.众数 C.中位数 [答案] D

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[解 析]

本 题 考 查 样 本 的 数 字 特 征 .

A的 众 数 8 8 ,B 则 为 8 8 +2=9 0 . “各 样 本 都 加 2”后 , 平 均 数 显 然 不 同 . 8 6 +8 6 A的 中 位 数 2 S=

8 8 +8 8 =8 6 ,B 的中位数 2 =8 8 ,而由标准差公式 1 -2 -2 -2 [ ? x 确. 1- x ? +?x2- x ? +?+?xn- x ? ]知 D 正 n

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统 计 的 综 合 问 题 的 规 范 解 答 为 调 查 甲 、 乙 两 校 高 三 年 级 学 生 某 次 绩 情 况 , 用 简 单 随 机 抽 样 , 从 这 两 校 中 各 抽 取 联 考 数 学 成 3 0 名 高 三 年 级 学

生,以他们的数学成绩(百分制)作 为 样 本 , 样 本 数 据 的 茎 叶 图 如 下 :

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7 4 5 5332 5 338 554333100 6 0001122335 866221100 7 0022233669 75442 8 11558 20 9 0 (1)若甲校高三年级每位学生被抽取的概率为 0.05,求甲校
高三年级学生总人数,并估计甲校高三年级这次联考数学成绩 的及格率(60 分及 60 分以上为及格); (2)设甲、乙两校高三年级学生这次联考数学平均成绩分别 为 x 1, x 2,估计 x 1- x 2 的值.
第十章 统计、统计案例

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[ 思路分析] ( 2 )

( 1 ) 概率 → 总人数 → 及格人数 → 及格率 → 计算30?- x ′1-- x ′2 ?

平均数- x ′1,- x ′2

→ 得- x 1-- x 2的值
[ 规范解答] ( 1 ) 设 甲 校 高 三 年 级 学 生 总 人 数 为 分) 5,据此 n,

30 由题意知, n =0.05,即 n=6 0 0 ( 2 . 样 本 中 甲 校 高 三 年 级 学 生 数 学 成 绩 不 及 格 人 数 为

5 5 估计甲校高三年级此次联考数学成绩及格率为 1-30=6( 5 . 分)
第十章 统计、统计案例

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( 2 ) 设 甲 、 乙 两 校 样 本 平 均 数 分 别 为 茎 叶 图 可 知 ,

- x ′1、- x ′2 根 据 样 本

3 0 ( - x ′1-- x ′2)=3 0- x ′1-3 0- x ′2 = (7 - 5 ) +( 5 5 +8-1 4 ) +( 2 4 -1 2 -6 5 ) +( 2 6 -2 4 -7 9 ) + ( 2 2 -2 0 ) +9 2 =2+4 9 -5 3 -7 7 +2+9 2 =1 5 ( 1 .0 分) 0 5 . 分 .( 1 2

因 此- x ′1-- x ′2=0 5 . ,故 x 1- x 2 的 估 计 值 为 分)

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[方法总结]

解决统计应用问题时,还有以下几点容易造

成失分,在学习时要注意:
(1)对样本的获取即抽样方法应用不熟练; (2)对常用的统计图表和数字特征反映的总体的特征理解不 透彻; (3)与其他知识,特别是概率结合时,相关的概率模型不熟

悉.

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(2014·广东高考)某车间20名工人年龄数据如下表:
年龄(岁) 19 28 29 30 31 32 40 合计 工人数(人) 1 3 3 5 4 3 1 20

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(1)求这20名工人年龄的众数与极差;
(2)以十位数为茎,个位数为叶,作出这20名工人年龄的茎 叶图; (3)求这20名工人年龄的方差. [解析] (1)这20名工人年龄的众数为30,极差为40-19= 9 8 8 0 0 2 2 0 8 0 9 0 9 0 9 1 1 1 1 2

21.
(2)茎叶图如下: 1 2 3 4

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( 3 ) 年 龄 的 平 均 数 为 : ?1 9 +2 8 ×3+2 9 ×3+3 0 ×5+3 1 ×4+3 2 ×3+4 0? =3 0, 2 0 故 这 2 0 名 工 人 年 龄 的 方 差 为 : 1)2+5× 02+4× 12+3× 22+102] 1 =2 1 2 1 +1 2 +3+4+1 2 +1 0 0 ) 0( 1 =2 5 2 0 ×2 =1 2 6 ..
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1 2 2 [( - 11) + 3 × ( - 2) +3× (- 2 0

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两个异同 (1)众数、中位数与平均数的异同

①众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的
量,平均数是最重要的量. ②由于平均数与每一个样本数据有关,所以,任何一个样 本数据的改变都会引起平均数的改变,这是中位数、众数都不 具有的性质 .

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③众数考查各数据出现的频率,其大小只与这组数据中的 部分数据有关.当一组数据中有不少数据多次重复出现时,其 众数往往更能反映问题. ④某些数据的变动对中位数可能没有影响.中位数可能出

现在所给数据中,也可能不在所给数据中.当一组数据中的个
另数据变动较大时,可用中位数描述其集中趋势.

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(2)标准差与方差的异同
标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标 准差、方差越大,数据的离散程度就越大;标准差、方差越 小,数据的离散程度则越小,因为方差与原始数据的单位不 同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以虽然方差与标准差

在刻画样本数据的分散程度上是一样的,但在解决实际问题
时,一般多采用标准差.

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三个特征
利用频率分布直方图估计样本的数字特征: (1)中位数:在频率分布直方图中,中位数左边和右边的直 方图的面积相等,由此可以估计中位数值. (2)平均数:平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩

形底边中点横坐标之和.
(3)众数:最高的矩形的中点的横坐标.

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