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广东省汕头市澄海凤翔中学2015届高考模拟考试理科数学试卷(5)


广东省汕头市澄海凤翔中学 2015 届高考模拟考试(5)

理科数学试卷
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. ) 1、已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 ? ? ?3, 4,5? , ? ? ?1,2,5? ,则集合 ?1, 2? 可以表 示为(

/>??? A.

) D. ?痧 U? ? ? ? U ? ? ) D.?1

B. C. ? ? ??U ? ? ??U?? ? ? ? ? 2、已知向量 a ? ?3,4? ,若 ?a ? 5 ,则实数 ? 的值为(
1 A. 5
1 B.

C.?

1 5

3、若某市 8 所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示(如图) ,其中茎为十 位数,叶为个位数,则这组数据的中位数和平均数分别是( A. 91 , 91.5 C. 91.5 , 91.5 B. 91 , 92 D. 91.5 , 92
2



4、直线 x ? ay ? 1 ? 0 与圆 x 2 ? ? y ? 1? ? 4 的位置关系是( A.相交 定 B.相切 C.相离

) D.不能确

?x ? y ? 4 ? 0 ? 5、若直线 y ? 3x 上存在点 ? x, y ? 满足约束条件 ?2 x ? y ? 8 ? 0 ,则实数 m 的取值范 ?x ? m ?

围是(

) B . ? ?1, ??? C . ? ??, ?1?

A . ? ?1, ?? ? D. ? ??, ?1?

6、 已知某锥体的正视图和侧视图如图, 其体积为 则该锥体的俯视图可以是( )

2 3 , 3

A.

B.

C.

D.

7、已知 a 为实数,则 a ? 1 是关于 x 的绝对值不等式 x ? x ?1 ? a 有解的( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件



8、已知 i 是虚数单位, C 是全体复数构成的集合,若映射 f : C ? R 满足:对任意

z1 , z2 ? C ,以及任意 ? ? R ,都有 f ? ? z1 ? ?1 ? ? ? z2 ? ? ? f ? z1 ? ? ?1? ? ? f ? z 2 ? ,则
称映射 f 具有性质 ? .给出如下映射: ① f1 : C ? R , f1 ? z ? ? x ? y , z ? x ? yi ( x , y ? R ) ; ② f 2 : C ? R , f2 ? z ? ? x2 ? y , z ? x ? yi ( x , y ? R ) ; ③ f3 : C ? R , f3 ? z ? ? 2x ? y , z ? x ? yi ( x , y ? R ) . 其中,具有性质 ? 的映射的序号是( A.①② B.①③ ) C.②③ D.①②③

二、填空题(本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) (一)必做题(9~13 题) 9、已知 tan ? ? 2 ,则 tan 2? 的值是 . 10、 已知 e 为自然对数的底数, 则曲线 y ? xe x 在点 ?1, e ? 处的切线斜率是 11、已知随机变量 ? 服从正态分布 ? ? 2,1? .若 ? ?1??? 3? ? 0.6826 . 12、已知幂函数 f ? x ? ? x ? m 函数,则 f ? 2 ? 的值是
2



,则 ? ??? 3? ?

? 2 m?3

( m ? ? )为偶函数,且在区间 ? 0, ??? 上是单调增 .

k ?1 13 、 已 知 n , k ? ?? , 且 k ? n , kCk n ? nCn?1 , 则 可 推 出
2 C1 C n ? 2n ? n

???? 33 C ?k

k n

???? ?C n

n n

C

1 k ?1 n ?1 n ?1 2 2 2 3 ? n ? C0 ,由此,可推出 C1 n ?1 ? C n ?1 ? ??? ? C n ?1 ? ??? ? C n ?1 ? ? n ? 2 n ? 2 Cn ? 3 Cn ???? ?

2 n k 2Ck n ???? ? n Cn ?



(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题) 14、 (坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 x?y 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程

? x ? cos ? ? sin ? ?x ? 2 ? t 分别为 ? ( ? 为参数)和 ? ( t 为参数) .以原点 ? 为极点, x ? y ? cos ? ? sin ? ?y ? t
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,则曲线 C1 与 C2 的交点的极 坐标是 . 15、 (几何证明选讲选做题)如图, ? C 是圆 ? 的一条弦,延 长 ? C 至点 ? ,使得 ?C ? 2C? ? 2 ,过 ? 作圆 ? 的切线, ? 为 切点, ???C 的平分线 ?D 交 ? C 于点 D ,则 D ? 的长为 .

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤. ) ?? ? 16、 (本小题满分 12 分)已知 f ? x ? ? 2cos ? ? x ? cos x ? 3 cos 2 x , x ? R . ?2 ? ?? ?1? 求 f ? ? ? 的值; ?6? ?? 时,求 f ? x ? 的最值. 0, ? 2? 当 x ? ? ? ? 2? ? 17、 (本小题满分 12 分)为了进一步激发同学们的学习热情,某班级建立了理科、 文科两个学习兴趣小组,两组的人数如下表所示.现采用分层抽样的方法(层内 采用简单随机抽样)从两组中共抽取 3 名同学进行测 试. ?1? 求从理科组抽取的同学中至少有 1 名女同学的概 率; ? 2 ? 记 ? 为抽取的 3 名同学中男同学的人数,求随机变 量 ? 的分布列和数学期望. 18、 (本小题满分 14 分)如图 5 ,矩形 ?? CD 中, ?? ? 12 , ?D ? 6 , ? 、 F 分别 为 CD 、 ?? 边上的点,且 D? ? 3 , ? F ? 4 ,将 ?? C? 沿 ?? 折起至 ???? 位置(如 图 6 所示) ,连结 ?? 、 ? F 、 ? F ,其中 ?F ? 2 5 . ?1? 求证: ?F ? 平面 ???D ;

? 2 ? 求直线 ?? 与平面 ??F 所成角的正弦值.
19、 (本小题满分 14 分) 若 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和为 Sn , 对任意正整数 n 都有 6Sn ? 1 ? 2an ,记 bn ? log 1 an .

?1? 求 a1 , a2 的值; ? 2 ? 求数列 ?bn ? 的通项公式;

2

? 3? 若 cn?1 ? cn ? bn , c1 ? 0 ,求证:对任意 n ? 2 , n ? ?? 都有

1 1 1 3 ? ? ??? ? ? . c2 c3 cn 4

x2 y 2 3 b ? 0) ? 2 ?1 (a ? 0, 的离心率为 e ? , 2 a b 3 以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切, ? 、 ? 分别是

20、 (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C:

椭圆的左、右两个顶点, ? 为椭圆 C 上的动点. ?1? 求椭圆 C 的标准方程;

? 2 ? 若 ? 与 ? ,? 均不重合,设直线 ?? 与 ?? 的斜率分别为 k1 ,k2 ,证明: k1 ? k2 为
定值;

? 3? ? 为过 ? 且垂直于 x 轴的直线上的点,若
明轨迹是什么曲线.

?? ??

? ? ,求点 ? 的轨迹方程,并说

1 21、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ? x ? ? x x ? a ? ln x . 2 ?1? 若 a ? 1 ,求 f ? x ? 在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程;

? 2 ? 求函数 f ? x ? 的极值点; ? 3? 若 f ? x? ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

参考答案
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. ) 题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 A 5 A 6 C 7 B 8 B

二、填空题(本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. ) (一)必做题(9~13 题) 9、 ?
4 3

10、 2e

11、 0.1587

12、 16

13、 n ? n ? 1? ? 2n ? 2

(二)选做题(14~15 题,考生只能从中选做一题,两题都做记第一题的得分)

?? ? 14、 ? 2, ? 4? ?

15、 3

三、解答题(本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤. ) 16、解: ?1? f ( x) ? 2sin x ? cos x ? 3 cos 2 x …………………………………1 分

? sin 2 x ? 3 cos 2 x ………………………………………2 分
? 2sin(2 x ? ) ……………………………………………………4 分 3

?

f ( ) ? 2sin(2 ? ? ) ? 2sin 0 ? 0 …………………………………………6 分 6 6 3

?

?

?

? 2 ? ? x ? [0,
? 2x ?

?
2

] , 3 ] ………………………………………8 分

?
3

? [?

? 2?
3

? 3 ? sin(2 x ? ) ? [? ,1] ………………………………………………10 分 3 2
? 2sin(2 x ? ) ? [? 3, 2] ………………………………………………11 分 3

?

? f max ( x) ? 2 , f min ( x) ? ? 3 ……………………………………………12 分
17、解: ?1? 两小组的总人数之比为 8:4=2:1,共抽取 3 人,所以理科组抽取 2 人, 文科组抽取 1 人…………………2 分 从理科组抽取的同学中至少有 1 名女同学的情况有:一男一女、两女
1 1 C3 C5 ? C32 9 所以所求的概率为: P ? ? …………………4 分 C82 14

? 2 ? 由题意可知 ? 的所有可能取值为 0,1,2,3…………………5 分
相应的概率分别是 P(? ? 0) ?
1 1 1 1 C50C32 C3 C3 C5 C3 C32 1 9 48 , ? P ( ? ? 1) ? ? ? 2 1 2 1 2 1 C8 C4 112 C8 C4 C8 C4 112

P(? ? 2) ?

1 1 1 C3 C5 1 C52 C3 C52 1 45 10 , ………………9 分 ? ? P ( ? ? 3) ? ? 2 1 2 1 2 1 C8 C4 C8 C4 112 C8 C4 112

所以 ? 的分布列为:

?
P

0
9 112

1

2

3

48 45 10 112 112 112 48 45 10 3 E? ? 1? ? 2? ? 3? ? …………12 分 112 112 112 2 18、 ?1? 证明:由翻折不变性可知, PB ? BC ? 6 , PE ? CE ? 9

在 ?PBF 中, PF 2 ? BF 2 ? 20 ? 16 ? 36 ? PB 2 所以 PF ? BF ………………………………………2 分 在图 5 中,易得 EF ? 62 ? ?12 ? 3 ? 4 ? ? 61
2

在 ?PEF 中, EF 2 ? PF 2 ? 61 ? 20 ? 81 ? PE 2 所以 PF ? EF ………………………………………4 分 又 BF ? EF ? F , BF ? 平面 ABED , EF ? 平面 ABED 所以 PF ? 平面 ABED . ………………6 分

z D A x

P D A

P C H F
解法二图

E F
解法一图

C y B

E B

(方法一) 以 D 为原点, 建立空间直角坐标系 D ? xyz 如图所示, 则 A ? 6, 0, 0 ? , ? 2 ? 解:

P 6,8, 2 5 , E ? 0,3, 0 ? , F ? 6,8, 0 ? ??? ? ??? ? ??? ? 所以 AP ? 0,8, 2 5 , FP ? 0, 0, 2 5 , EF ? ? 6,5, 0 ? …………8 分

?

? ?

?

?

?

??? ? 5 ? ?n ? FP ? 0 ?2 5 ? z ? 0 ? ?x ? ? y ? 设平面 PEF 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,则 ? ??? ,即 ? ,解得 ? ? 6 6 x ? 5 y ? 0 ? n ? EF ? 0 ? ? ? ? ?z ? 0
令 y ? ?6 ,得 n ? ? 5, ?6, 0 ? ………………………………………………………12 分 ??? ? AP ? n 8 1281 48 设直线 AP 与平面 PEF 所成角为 ? ,则 sin ? ? ??? ? ? ? 427 84 ? 61 AP n 所以直线 AP 与平面 PEF 所成角的正弦值为 方法二:过点 A 作 AH ? EF 于 H 由 ?1? 知 PF ? 平面 ABED ,而 AH ? 平面 ABED 所以 PF ? AH ,又 EF ? PF ? F , EF ? 平面 PEF , PF ? 平面 PEF 所以 AH ? 平面 PEF 所以 ?APH 为直线 AP 与平面 PEF 所成的角……………………………………9 分 在 Rt?APF 中, AP ? AF 2 ? PF 2 ? 64 ? 20 ? 2 21 …………………………11 分 在 ?AEF 中,由等面积公式得 AH ? 在 Rt?APH 中, sin ?APH ?
8 1281 …………………………14 分 427

48 AF ? AD ……………………………13 分 ? EF 61

AH 16 3 8 1281 ? ? ? AP 427 61 2 21
8 1281 …………………………… 14 427

所以直线 AP 与平面 PEF 所成角的正弦值为 分

19、 ?1? 解:由 6 S1 ? 1 ? 2a1 ,得 6a1 ? 1 ? 2a1 ,解得 a1 ?

1 8

…………1 分

6 S 2 ? 1 ? 2a2 ,得 6 ? a1 ? a2 ? ? 1 ? 2a2 ,解得 a2 ?

1 32

…………3 分

? 2 ? 解:由 6Sn ? 1 ? 2an

……①

当 n ? 2 时,有 6 S n ?1 ? 1 ? 2an ?1 ……② ①-②得:
an 1 ? an ?1 4

…………4 分 …………5 分 …………6 分

1 1 ? 数列 ?an ? 是首项 a1 ? ,公比 q ? 的等比数列 8 4

? an ? a1q

n ?1

1 ?1? ? ?? ? 8 ?4?

n ?1

?1? ?? ? ?2?
2 n ?1

2 n ?1

…………7 分 …………8 分

?1? ? bn ? log 1 an ? log 1 ? ? 2 2 ?2?

? 2n ? 1

? 3? 证明:? cn?1 ? cn ? bn =2n ? 1
? cn ? cn ?1 ? bn ?1 =2 ? n ? 1? ? 1

…………(1)

cn ?1 ? cn ? 2 ? bn ? 2 =2 ? n ? 2 ? ? 1 …………(2)
…………

c3 ? c2 ? b2 =2 ? 2 ? 1 c2 ? c1 ? b1 =2 ?1 ? 1 ,
? cn = ? n ? 1?? n ? 1? , ? ?

…………( n ? 1 )

…………9 分

(1)+(2)+ ……+( n ? 1 )得 cn ? c1 ? bn ?1 =2 ?1+2+3+ ? +n ? 1? ? n ? 1=n 2 ? 1 …………10 分 ………11 分 …………12 分

1 1 1? 1 1 ? ? ? ? ? ? cn ? n ? 1?? n ? 1? 2 ? n ? 1 n ? 1 ?

1 1 1 1? 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? = ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c2 c3 cn 2 ? 3 2 4 3 5 n ? 2 n n ?1 n ? 1 ?
…………13 分

1? 1 1 1 ? 3 1?1 1 ? = ?1+ ? ? ?? ? ? ? ? 2 ? 2 n n ?1 ? 4 2 ? n n ?1 ? 1?1 1 ? ? ? ? ??0 2 ? n n ?1?
?

1 1 1 3 ? ? ? ? ? 对任意 n ? 2, n ? N * 均成立. c2 c3 cn 4

…………14 分

20、 ?1? 解:由题意可得圆的方程为 x 2 ? y 2 ? b 2 , ∵直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆相切,∴ d ? 又e ?

2 ? b ,即 b ? 2 ,…………1 分 2

c 3 ,即 a ? 3c , a 2 ? b 2 ? c 2 ,解得 a ? 3 , c ? 1 , ? a 3 x2 y 2 ? 1 .…………3 分 所以椭圆方程为 ? 3 2

设 P( x0 , y0 ) ( y0 ? 0) , A(? ? 2 ? 证明: 则 k1 ?

则 3, 0) , B( 3, 0) ,

2 x0 y2 2 2 2 即 y0 , ? 0 ? 1, ? 2 ? x0 3 2 3

y0 y0 , k2 ? ,…………4 分 x0 ? 3 x0 ? 3 2 2 2 2 2 ? x0 (3 ? x0 ) 2 y0 2 3 3 即 k1 ? k2 ? 2 ? 2 ? ?? , 2 x0 ? 3 x0 ? 3 x0 ? 3 3 2 ∴ k1 ? k 2 为定值 ? .…………6 分 3 ? 3? 解:设 M ( x, y) ,其中 x ? [? 3, 3] .
由已知

OP OM

2 2

2 x2 ? 2 ? x2 2 3 ? x ? 6 ? ?2 , ? ? 2 及点 P 在椭圆 C 上可得 x2 ? y 2 3( x 2 ? y 2 )

整理得 (3? 2 ? 1) x 2 ? 3? 2 y 2 ? 6 ,其中 x ? [? 3, 3] .…………8 分
3 时,化简得 y 2 ? 6 , 3 所以点 M 的轨迹方程为 y ? ? 6(? 3 ? x ? 3) ,轨迹是两条平行于 x 轴的线段; …………………………9 分 x2 y2 3 当? ? 时,方程变形为 ? ? 1 ,其中 x ? [? 3, 3] ,…………11 分 6 6 3 3? 2 ? 1 3? 2 3 当 0?? ? 时,点 M 的轨迹为中心在原点、实轴在 y 轴上的双曲线满足 3 ? 3 ? x ? 3 的部分;

当? ?

3 点 M 的轨迹为中心在原点、 长轴在 x 轴上的椭圆满足 ? 3 ? x ? 3 ? ? ? 1 时, 3 的部分; 当 ? ? 1 时,点 M 的轨迹为中心在原点、长轴在 x 轴上的椭圆…………14 分 21、解: f ? x ? 的定义域为 ? 0, ?? ? ………………………………………………1 分



ln x ,此时 f ?1? ? 2 ?1? 若 a ? 1 ,则 f ? x ? ? x ? x ? 1? ? 1 2

1 5 ,所以 f ? ?1? ? 2x 2 5 所以切线方程为 y ? 2 ? ? x ? 1? ,即 5 x ? 2 y ? 1 ? 0 ………………………………3 分 2 ln x , x ? ? 0, ?? ? ? 2 ? 由于 f ? x ? ? x x ? a ? 1 2

因为 f ? ? x ? ? 2 x ? 1 ?

①当 a ? 0 时, f ? x ? ? x 2 ? ax ? ln x , f ? ? x ? ? 2 x ? a ?

1 2

1 4 x 2 ? 2ax ? 1 ? 2x 2x

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ?

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 ? 0 , x2 ? ? 0 (舍去) 4 4

且当 x ? ? 0, x1 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x1 , ?? ? 时, f ? ? x ? ? 0 , 所以 f ? x ? 在 ? 0, x1 ? 上单调递减,在 ? x1 , ?? ? 上单调递增, f ? x ? 的极小值点为
x? ?a ? a 2 ? 4 ………………………………5 分 4

1 ? 2 x ? ax ? ln x, x ? ? a ? ? 2 ②当 a ? 0 时, f ? x ? ? ? ?? x 2 ? ax ? 1 ln x,0 ? x ? ? a ? 2 ?

? i ? 当 x ? ?a 时, f ? ? x ? ? 4 x
令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? 若 若

2

? 2ax ? 1 2x

?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 , x2 ? ? ?a (舍去) 4 4

?a ? a 2 ? 4 2 ,则 f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? ?a, ?? ? 上单调递增; ? ? a ,即 a ? ? 4 2 ?a ? a 2 ? 4 2 即? 当 x ? ? x1 , ?? ? 时, ? ?a , ? a ? 0 , 则当 x ? ? ?a, x1 ? 时,f ? ? x ? ? 0 ; 4 2

f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在区间 ? ?a, x1 ? 上是单调递减,在 ? x1 , ?? ? 上单调递增……7 分

? ii ? 当 0 ? x ? ?a 时, f ? ? x ? ? ?2 x ? a ?

1 ?4 x 2 ? 2ax ? 1 ? 2x 2x

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 ?4 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 ,记 ? ? 4a 2 ? 16 若 ? ? 0 ,即 ?2 ? a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在 ? 0, ?a ? 上单调递减 若 ? ? 0 ,即 a ? ?2 时 由 f ? ? x ? ? 0 得 x3 ?
?a ? a 2 ? 4 ?a ? a 2 ? 4 , x4 ? 且 0 ? x3 ? x4 ? ?a 4 4

当 x ? ? 0, x3 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x3 , x4 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ;当 x ? ? x4 , ?a ? 时, f ? ? x ? ? 0 所以 f ? x ? 在区间 ? 0, x3 ? 上单调递减,在 ? x3 , x4 ? 上单调递增;在 ? x4 , ?a ? 上单调递减 ………………………………9 分 综上所述,当 a ? ?2 时, f ? x ? 的极小值点为 x ?
x? ?a ? a 2 ? 4 ; 4
2 时, f ? x ? 的极小值点为 x ? ?a ; 2

?a ? a 2 ? 4 和 x ? ?a ,极大值点为 4

当 ?2 ? a ? ? 当a ??

?a ? a 2 ? 4 2 时, f ? x ? 的极小值点为 x ? ……………………………10 分 4 2

x …(*) ? 3? 函数 f ? x ? 的定义域为 x ? ? 0, ?? ? .由 f ? x ? ? 0 ,可得 x ? a ? ln 2x

①当 x ? ? 0,1? 时, ②当 x ? 1 时,

ln x ? 0 , x ? a ? 0 ,不等式(*)恒成立 2x

ln x ? 0 ,即 1 ? a ? 0 ,所以 a ? 1 ; 2x
ln x ln x 恒成立或 a ? ? x ? 恒成立. 2x 2x

③当 x ? 1 时,不等式(*)恒成立等价于 a ? ? x ? 令 g ? x? ? ?x ?
ln x ? x 2 ? 1 ? ln x ,则 g ? ? x ? ? 2x 2 x2
1 x

令 ? ? x ? ? ? x 2 ? 1 ? ln x ,则 ? ? ? x ? ? ?2 x ? ?

1 ? 2 x2 ?0 x ? x 2 ? 1 ? ln x ?0 2 x2

而 ? ?1? ? ?12 ? 1 ? ln1 ? ?2 ? 0 ,所以 ? ? x ? ? ? x 2 ? 1 ? ln x ? 0 ,即 g ? ? x ? ? 因此 g ? x ? ? ? x ?
ln x 在 ?1, ?? ? 上是减函数 2x

所以 g ? x ? 在 x ? ?1, ?? ? 上无最小值 所以 a ? ? x ?
ln x 不可能恒成立 2x ln x 1 ? ln x ?2 x 2 ? 1 ? ln x ,则 h? ? x ? ? ?1 ? ? ?0 2x 2 x2 2x2

令 h? x? ? ?x ?

因此 h ? x ? 在 ?1, ?? ? 上是减函数, 所以 h ? x ? ? h ?1? ? ?1 ,所以 a ? ?1 .又因为 a ? ?1 ,所以 a ? ?1 . 综上所述,满足条件的 a 的取值范围是 ? ?1, ?? ? ………………………………14 分


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