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【金版教程】2015届高三数学(文)一轮限时规范训练:3-6 简单的三角恒等变换


05 限时规范特训
A级 基础达标 cos85° +sin25° cos30° 1.[2014· 金版原创] =( cos25° 3 A.- 2 1 C.2 cos85° +sin25° cos30° 解析: cos25° = = = cos?60° +25° ?+sin25° cos30° cos25° cos60° cos25° -sin60° sin25° +sin25° cos30° cos25° cos60° cos25° 1 = cos60° = cos25° 2,选 C. 2 B. 2 D.1 )

答案:C π π 1 2.若 α∈(2,π),tan(α+4)=7,则 sinα=( 3 A.5 3 C.-5 4 B.5 4 D.-5 )

1+tanα 1 π 1 3 π 解析:由 tan(α+4)=7,得 =7,即 tanα=-4,又 α∈(2, 1-tanα 3 π),所以 sinα=5,选 A. 答案:A

π π π 1 π β 3 3.若 0<α<2,-2<β<0,cos(4+α)=3,cos(4-2)= 3 ,则 cos(α β +2)=( 3 A. 3 5 3 C. 9 ) 3 B.- 3 6 D.- 9

β π π β 解析:cos(α+2)=cos[(4+α)-(4-2)] π π β π π β =cos(4+α)cos(4-2)+sin(4+α)sin(4-2), π π 3π π β π π π 2 2 π 而4+α∈(4, 4 ),4-2∈(4,2),因此 sin(4+α)= 3 ,sin(4- β 6 β 1 3 2 2 6 5 3 ) = ,则 cos( α + ) = × + × 2 3 2 3 3 3 3= 9 . 答案:C π 4.将函数 f(x)=cos2x-sin2x 的图象向左平移8个单位后得到函 数 F(x)的图象,则下列说法中正确的是( A. 函数 F(x)是奇函数,最小值是-2 B. 函数 F(x)是偶函数,最小值是-2 C. 函数 F(x)是奇函数,最小值是- 2 D. 函数 F(x)是偶函数,最小值是- 2 π 解析: f(x)=cos2x-sin2x= 2cos(2x+4),将 f(x)的图象向左平移 π π π π 个单位后得到 F ( x ) = 2cos[2( x + ) + ] = 2cos(2 x + 8 8 4 2)=- 2sin2x 的图象,易知 F(x)为奇函数,最小值为- 2,故选 C. 答案:C )

π 4 3 7π 5.[2014· 泉州模拟]已知 cos(α-6)+sinα= 5 ,则 sin(α+ 6 )的 值是( ) 2 3 B. 6 4 D.5

2 3 A.- 5 4 C.-5

π 4 3 3 3 4 3 π 解析:cos(α-6)+sinα= 5 ?2sinα+ 2 cosα= 5 ?sin(α+6) 4 7π π 4 =5,所以 sin(α+ 6 )=-sin(α+6)=-5. 答案:C 6. 已知 tanα, tanβ 是方程 x2-5x+6=0 的两个实数根, 则 2sin2(α +β)-3sin(α+β)cos(α+β)+cos2(α+β)的值为( A.3 36 C.25 解析:由根与系数的关系得 tanα+tanβ=5,tanα· tanβ=6, ∴tan(α+β)= tanα+tanβ 5 = =-1. 1-tanα· tanβ 1-6 B.0 D.-3 )

2sin2?α+β?-3sin?α+β?cos?α+β?+cos2?α+β? 原式= sin2?α+β?+cos2?α+β? 2tan2?α+β?-3tan?α+β?+1 = tan2?α+β?+1 2×?-1?2-3×?-1?+1 = ?-1?2+1 =3. 答案:A

3 3 7.已知点 P(sin4π,cos4π)落在角 θ 的终边上,且 θ∈[0,2π),则 π tan(θ+3)的值为________. 3 3 解析:由题意知点 P(sin4π,cos4π)在第四象限,且落在角 θ 的终 π 边上,所以 tanθ=-1,所以 tan(θ+3)= 3. 答案:2- 3 1 π cos2α 8. [2014· 重庆模拟]已知 sinα=2+cosα, 且 α∈(0, ) , 则 2 π sin?α-4? 的值为________. -1+ 3 = π 1+ 3 =2- 1-tanθtan3 π tanθ+tan3

?sinα=1+cosα, 2 解析:由? ?sin2α+cos2α=1,
3 得 2cos2α+cosα-4=0, 1 7 π ∴cosα=-4+ 4 (α∈(0,2)), 1 7 ∴sinα=4+ 4 , cos2α-sin2α cos2α 14 ∴ = =- 2(sin α + cos α ) =- π 2 . 2 sin?α-4? 2 ?sinα-cosα? 14 答案:- 2 5 9.[2014· 南宁模拟]设 α,β∈(0,π),且 sin(α+β)=13,

α 1 tan2=2,则 cosβ 的值为________. α 1 解析:由 tan2=2得 sinα= 3 ∴cosα=5, 5 π 由 sin(α+β)=13<sinα,α,β∈(0,π),α+β∈(2,π), 12 ∴cos(α+β)=-13. 16 cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-65. 16 答案:-65 1 1 10.已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)=2,tanβ=-7,求 2α-β 的值. 1 1 2-7 tan?α-β?+tanβ 1 解:∵tanα=tan[(α-β)+β]= = = 1 1 3>0, 1-tan?α-β?tanβ 1+2×7 π ∴0<α<2. 2tanα = 1-tan2α 3 = 1 2 4>0, 1-?3? 1 2×3 1 4 = = 1 5, 2α 1+tan 2 1+4 α 2tan2

又 tan2α=

π ∴0<2α<2,

3 1 4+7 tan2α-tanβ ∴tan(2α-β)= = 3 1=1. 1+tan2αtanβ 1-4×7 1 π ∵tanβ=-7<0,∴2<β<π,∴-π<2α-β<0, 3 ∴2α-β=-4π. π π 1 11.[2014· 海淀模考]已知函数 f(x)=cos(3+x)· cos(3-x),g(x)=2 1 sin2x-4. (1)求函数 f(x)的最小正周期; (2)求函数 h(x)=f(x)-g(x)的最大值,并求使 h(x)取得最大值的 x 的集合. π π 解:(1)因为 f(x)=cos(3+x)cos(3-x) 1 3 1 3 =(2cosx- 2 sinx)(2cosx+ 2 sinx) 1 3 =4cos2x-4sin2x = 1+cos2x 3-3cos2x - 8 8

1 1 =2cos2x-4, 2π 所以 f(x)的最小正周期为 2 =π. 1 1 (2)h(x)=f(x)-g(x)=2cos2x-2sin2x 2 π = 2 cos(2x+4),

π 2 当 2x+4=2kπ(k∈Z)时,h(x)取得最大值 2 . π 所以 h(x)取得最大值时,对应的 x 的集合为{x|x=kπ-8,k∈Z}. 1 12. [2014· 开封模拟]已知函数 f(x)=cos2ωx+ 3sinωxcosωx-2 (ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 值及 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,已知 a=1, A 3 b= 2,f( 2 )= 2 ,求角 C 的大小. 解:(1)f(x)= 1+cos2ωx 3 1 π + sin2 ωx - = sin(2 ωx + 2 2 2 6).

∵T=π,∴ω=1, π π π ∴f(x)=sin(2x+6),增区间为[kπ-3,kπ+6](k∈Z). A π 3 (2)∵f( 2 )=sin(A+6)= 2 , 角 A 为△ABC 的内角且 a<b, π ∴A=6. a b 又 a=1,b= 2,∴由正弦定理得sinA=sinB, bsinA 1 2 也就是 sinB= a = 2×2= 2 . π 3π ∵b>a,∴B=4或 B= 4 , π π π 7π 当 B=4时,C=π-6-4=12; 3π π 3π π 当 B= 4 时,C=π-6- 4 =12.

B级

知能提升 cos2α+sin2α+1 1 1.已知 tanα=2,则 等于( cos2α A. 3 C. 12 B. 6 3 D. 2 )

cos2α+sin2α+1 2cos2α+2sinαcosα 解析: = cos2α cos2α = 2cosα+2sinα =2+2tanα=3. cosα

答案:A 2.在斜三角形 ABC 中,sinA=- 2cosB· cosC,且 tanB· tanC=1 - 2,则角 A 的值为( π A.4 π C.2 ) π B.3 3π D. 4

解析:由题意知,sinA=- 2cosB· cosC=sin(B+C)=sinB· cosC +cosB· sinC,在等式- 2cosB· cosC=sinB· cosC+cosB· sinC 两边同除 tanB+tanC 以 cosB· cosC 得 tanB+tanC=- 2, 又 tan(B+C)= =-1 1-tanBtanC π =-tanA,即 tanA=1,所以 A=4. 答案:A π π π 3.设 α∈(0,3),β∈(6,2),且 5 3sinα+5cosα=8, 2sinβ+ 6 cosβ=2,则 cos(α+β)的值为________. π 4 解析:由 5 3sinα+5cosα=8 得,sin(α+6)=5,

π π 3 ∵α∈(0,3),∴cos(α+6)=5. π π π 2 又 β∈(6,2),由已知得 sin(β+3)= 2 , π 2 ∴cos(β+3)=- 2 . π π π ∴ cos(α + β) = sin[ 2 + (α + β)] = sin[(α + 6 ) + (β + 3 )] = sin(α + π π π π 2 )cos( β + ) + cos( α + )sin( β + ) =- 6 3 6 3 10 . 2 答案:- 10 4.在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,向量 m= π B (2sinB,2-cos2B),n=(2sin2(4+ 2 ),-1),且 m⊥n. (1)求角 B 的大小; (2)求 sinA+cosC 的取值范围. 解:(1)因为 m⊥n,所以 m· n=0, π B 所以 2sinB· 2sin2(4+ 2 )-2+cos2B=0, π B 即 2sinB· [1-cos2(4+ 2 )]-2+cos2B=0, 1 即 2sinB+2sin2B-2+1-2sin2B=0,解得 sinB=2. π 5π 由于 0<B<π,所以 B=6或 B= 6 . π 5π 3 1 (2)当 B=6时, sinA+cosC=sinA+cos( 6 -A)=sinA- 2 cosA+2 3 3 3 1 π sinA=2sinA- 2 cosA= 3×( 2 sinA-2cosA)= 3sin(A-6).

5π π π 2π 由于 0<A< 6 ,所以-6<A-6< 3 , 1 π 所以-2<sin(A-6)≤1, 3 所以 sinA+cosC 的取值范围是(- 2 , 3]; 5π π 3 1 当 B= 6 时,sinA+cosC=sinA+cos(6-A)=sinA+ 2 cosA+2 3 3 3 1 π sinA=2sinA+ 2 cosA= 3×( 2 sinA+2cosA)= 3sin(A+6), π π π π 由于 0<A<6,故6<A+6<3, 1 π 3 故2<sin(A+6)< 2 , 3 3 所以 sinA+cosC 的取值范围是( 2 ,2).


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