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高三高考理科数学一轮复习学案:二次函数(1)


一、知识梳理 二次函数是中学代数的基本内容之一,它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作 为最基本的初等函数, 可以以它为素材来研究函数的解析式、定义域、值域、 单调性、 奇偶性等性质,还可建立起函数、方程、不等式之间的有机联系;这些纵横联系,使 得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时,有关二次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系,是学生进入高校继 续深造的重要知识基础.因此,从这个意义上说,有关二次函数的问题在高考中频繁 出现,也就不足为奇了. 学习二次函数,可以从两个方面入手:一是解析式,二是图像特征. 从解析式 出发,可以进行纯粹的代数推理,这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数 学素养;从图像特征出发,可以实现数与形的自然结合,这正是中学数学中一种非常 重要的思想方法. 1、二次函数解析式的三种形式 一般式: 顶点式: 零点式: 则有 2、二次函数的图象和性质 (1)、二次函数的图象是一条抛物线,抛物线 的对称轴是 ,顶点的坐 标 ,因此对任意的实数 x,都有 。 当 时,抛物线开中方向 ,在区间 处,取得最小值 ,在区间 上是递增,在区间 。 上是递增,在区间 。 上 ,是递减,因此抛物线在 当 时,抛物线开中方向 上 ,是递减,因此抛物线在 处,取得最大值 (2)、二次函数的图象与 x 轴的位置关系:由判别式判定 3、二次函数,二次方程,二次不等式的关系 一般地,设二次函数 ,二次方程 的根的差别式 的根求出不等式 ,我们可以利用二次方程 ,或 ,解集,它们的关系如下表: 二 次 函 数 ( )的图象 二次方程 = = 没有实数根 的根 (( )的解集 ( , ( )的解集 ) ) R 二、题型探究 [探究一]二次函数的最值问题 例 1:已知 求函数 f(x)= 的最大值与最小值。 [探究二] 二次函数与一元二次方程 2 例 2.若函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 4 ? a 是偶函数,则函数 f ( x ) 的最小值为 . 例 3:【2014 高考江苏卷第 13 题】已知 f ( x ) 是定义在 R 上且周期为 3 的函数,当 x ??0,3? 时, f ( x) ? x 2 ? 2 x ? 1 , 若函数 y ? f ( x) ? a 在区间 ? ?3, 4? 上有 10 个零 2 . 点(互不相同),则实数 a 的取值范围是 [探究三] 二次函数与导数 2 例 4. 已知函数 f ( x ) 在 R 上满足 f ( x) ? 2 f (2 ? x) ? x ? 8x ? 8 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程是 . 2 例 5.设函数 f ( x) ? g ( x) ? x ,曲线 y ? g ( x) 在点 (1, g (1)) 处的切线方程为 y ? 2 x ? 1 ,则曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处切线的斜率为 . [探究四] 二次函数与恒成立问题 例 6.若函数 f ( x) ? ln(ax2 ? 2ax ? 1) 的定义域为一切实数,则实数 a 的取值范围是 . 练习:若函数 f ( x) ? . ex 的定义域为一切实数,则实数 a 的取值范围是 ax 2 ? 2ax ? 1

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