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数列知识点总结及例题讲解


人教版数学必修五 第二章 数列 重难点解析 第二章 课文目录 2.1 数列的概念与简单表示法 2.2 等差数列 2.3 等差数列的前 n 项和 2.4 等比数列 2.5 等比数列前 n 项和 【重点】 1、数列及其有关概念,通项公式及其应用。 2、根据数列的递推公式写出数列的前几项。 3、等差数列的概念,等差数列的通项公式;等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应 用。 4、等差数列 n 项和公式的理解、推导及应用,熟练掌握等差数列的求和公式。 5、等比数列的定义及通项公式,等比中项的理解与应用。 6、等比数列的前 n 项和公式推导,进一步熟练掌握等比数列的通项公式和前 n 项和公式 【难点】 1、根据数列的前 n 项观察、归纳数列的一个通项公式。 2、理解递推公式与通项公式的关系。 3、等差数列的性质,灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题。 4、灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的有关问题。 5、灵活应用求和公式解决问题,灵活应用定义式及通项公式解决相关问题。 6、灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题。 一、数列的概念与简单表示法 ⒈ 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序 不同,那么它们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项: 数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项 (或 首项) ,第 2 项,…,第 n 项,…. ⒊数列的一般形式:

a1 , a2 , a3 ,?, an ,?,或简记为 ?a n ?,其中 a n 是数列的第 n 项
⒋ 数列的通项公式: 如果数列 ?a n ? 的第 n 项 a n 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示, 那 么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 注意:⑴并不是所有数列都能写出其通项公式,如上述数列④; ⑵一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,…它的通项公式

可以是 a n ?

1 ? (?1) n ?1 n ?1 ,也可以是 a n ?| cos ? |. 2 2

⑶数列通项公式的作用:①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项. 数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第 项,又是这个数列中所有各项的 一般表示.通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通项公式,这个数列 便确定了,代入项数就可求出数列的每一项. 5.数列与函数的关系: * 数列可以看成以正整数集 N (或它的有限子集 {1, 2 , 3 ,…, n})为定义域的函数

an ? f (n) ,当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。
反过来,对于函数 y=f(x),如果 f(i)(i=1、2、3、4…)有意义,那么我们可以得到一 个数列 f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…,f(n),… 6.数列的分类: 1)根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6。是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6…是无穷数列 2)根据数列项的大小分: 递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列。 递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列。 常数数列:各项相等的数列。 摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 7.数列的表示方法 (1)通项公式法 如果数列 ?a n ?的第 n 项与序号之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫 做这个数列的通项公式。 如数列 的通项公式为 的通项公式为 ; ;

的通项公式为 (2)图象法



启发学生仿照函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数 项 为纵坐标,即以

为横坐标,相应的

为坐标在平面直角坐标系中做出点(以前面提到的数列

为例,做出一个数列的图象) ,所得的数列的图形是一群孤立的点,因为横坐

标为正整数,所以这些点都在

轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以

直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势. (3)递推公式法 如果已知数列 ?a n ?的第 1 项(或前几项) ,且任一项 a n 与它的前一项 a n ?1 (或前 n 项) 间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。 递推公式也是给出数列的一种方法。 如下数字排列的一个数列:3,5,8,13,21,34,55,89 递推公式为: a1 ? 3, a2 ? 5, an ? an?1 ? an?2 (3 ? n ? 8) 4、列表法 .简记为 .

典型例题: 例 1:根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1) 3, 5, 9, 17, 33,……; (2)

4 2 6 8 10 , , , , , ……; 3 15 35 63 99

(3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……; (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……; (5) 2, -6, 12, -20, 30, -42,……. 解:(1) a n =2n+1; (2) a n =

1 ? (?1) n 2n ; (3) a n = ; 2 (2n ? 1)(2n ? 1)

(4) 将数列变形为 1+0, 2+1, 3+0, 4+1, 5+0, 6+1, 7+0, 8+1, ……, ∴ a n =n+

1 ? (?1) n ; 2

(5) 将数列变形为 1×2, -2×3, 3×4, -4×5, 5×6,……, ∴ a n =(-1)
n ?1

n(n+1)

a1 ? 1 ? ? 例 2:设数列 ?a n ? 满足 ? 写出这个数列的前五项。 1 ?an ? 1 ? a (n ? 1). n ?1 ?
分析:题中已给出 ?a n ? 的第 1 项即 a1 ? 1 ,递推公式: a n ? 1 ?

1 a n ?1

解:据题意可知: a1 ? 1, a 2 ? 1 ?

1 1 2 1 5 8 ? 2, a3 ? 1 ? ? , a4 ? 1 ? ? , a5 ? a1 a2 3 a3 3 5

例 3:已知 a1 ? 2 , a n ?1 ? 2a n 写出前 5 项,并猜想 a n .

解:法一: a1 ? 2 法二:由 a n ?1 ? 2a n

a2 ? 2 ? 2 ? 2 2
∴ a n ? 2a n ?1

a3 ? 2 ? 2 2 ? 23 ,观察可得 an ? 2 n


an ?2 a n ?1



a n a n ?1 a n ?2 a ? ? ? ?? ? 2 ? 2 n?1 a n?1 a n ?2 a n?3 a1
n ?1

∴ an ? a1 ? 2

? 2n

二、等差数列 1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数, 这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示) 。 ⑴.公差 d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求; ⑵.对于数列{ a n },若 a n - a n ?1 =d (与 n 无关的数或字母),n≥2,n∈N ,则此数列 是等差数列,d 为公差。 2.等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d 【或 a n ? am ? (n ? m)d 】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得 若一等差数列 ?a n ? 的首项是 a1 ,公
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?

差是 d,则据其定义可得:

a2 ? a1 ? d 即: a2 ? a1 ? d
a3 ? a2 ? d 即: a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d
a4 ? a3 ? d 即: a4 ? a3 ? d ? a1 ? 3d
…… 由此归纳等差数列的通项公式可得: an ? a1 ? (n ? 1)d ∴已知一数列为等差数列,则只要知其首项 a1 和公差 d,便可求得其通项 a n 。 由上述关系还可得: am ? a1 ? (m ? 1)d 即: a1 ? am ? (m ? 1)d 则: a n ? a1 ? (n ? 1)d = am ? (m ? 1)d ? (n ? 1)d ? am ? (n ? m)d 即等差数列的第二通项公式 3.有几种方法可以计算公差 d

a n ? am ? (n ? m)d

∴ d=

am ? an m?n

① d= a n - a n ?1

② d=

a n ? a1 n ?1

③ d=

an ? am n?m

4.结论: (性质)在等差数列中,若 m+n=p+q,则, am ? an ? a p ? aq 即 m+n=p+q ? am ? an ? a p ? aq (m, n, p, q ∈N ) 但通常 ①由 am ? an ? a p ? aq 推不出 m+n=p+q ,② am ? an ? am? n 典型例题: 例 1:⑴求等差数列 8,5,2…的第 20 项 ⑵ -401 是不是等差数列-5,-9,-13…的项?如果是,是第几项? 解:⑴由 a1 ? 8, d ? 5 ? 8 ? 2 ? 5 ? ?3 ⑵由 a1 ? ?5, d ? ?9 ? (?5) ? ?4 n=20,得 a20 ? 8 ? (20 ? 1) ? (?3) ? ?49 得数列通项公式为: an ? ?5 ? 4(n ? 1)

由题意可知,本题是要回答是否存在正整数 n,使得 ? 401 ? ?5 ? 4(n ? 1) 成立解之得 n=100,即-401 是这个数列的第 100 项。 例 2:已知数列{ a n }的通项公式 an ? pn ? q ,其中 p 、 q 是常数,那么这个数列是否一定 是等差数列?若是,首项与公差分别是什么? 分析:由等差数列的定义,要判定 ?a n ? 是不是等差数列,只要看 a n ? a n ?1 (n≥2)是不 是一个与 n 无关的常数。 解:当 n≥2 时, (取数列 ?a n ? 中的任意相邻两项 a n ?1 与 a n (n≥2) )

an ? an?1 ? ( pn ? q) ? [ p(n ? 1) ? q] ? pn ? q ? ( pn ? p ? q) ? p 为常数
∴{ a n }是等差数列,首项 a1 ? p ? q ,公差为 p。 注:①若 p=0,则{ a n }是公差为 0 的等差数列,即为常数列 q,q,q,… ②若 p≠0, 则{ a n }是关于 n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数 y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差,直线在 y 轴上的截距为 q. ③数列{ a n }为等差数列的充要条件是其通项 a n =pn+q (p、q 是常数),称其为第 3 通项公式。 ④判断数列是否是等差数列的方法是否满足 3 个通项公式中的一个。 例 3:求等差数列 3,7,11,……的第 4 项与第 10 项. 分析:根据所给数列的前 3 项求得首项和公差,写出该数列的通项公式,从而求出所求 项.

解: 根据题意可知: (n-1) ×4,即 a n =4n a n =3+ a1 =3,d=7-3=4.∴该数列的通项公式为: -1(n≥1,n∈N*)∴ a 4 =4×4-1=15, a10 =4×10-1=39. 评述:关键是求出通项公式. 例 4:求等差数列 10,8,6,……的第 20 项. 解:根据题意可知: a1 =10,d=8-10=-2. ∴该数列的通项公式为: (n-1) × (-2) ,即: a n =10+ a n =-2n+12,∴ a 20 =-2×20+12= -28. 评述:要注意解题步骤的规范性与准确性. 例 5:100 是不是等差数列 2,9,16,……的项?如果是,是第几项?如果不是,说明理由. 分析:要想判断一数是否为某一数列的其中一项,则关键是要看是否存在一正整数 n 值,使得 a n 等于这一数. 解:根据题意可得: a1 =2,d=9-2=7. -5. 令 7n-5=100,解得:n=15, 例 6:-20 是不是等差数列 0,-3 明理由. 解:由题意可知: a1 =0,d=-3 令- ∴此数列通项公式为: a n =2+(n-1)×7=7n

∴100 是这个数列的第 15 项.

1 ,-7,……的项?如果是,是第几项?如果不是,说 2 1 2
∴此数列的通项公式为: a n =-

7 7 n+ , 2 2

7 7 7 7 47 n+ =-20,解得 n= 因为- n+ =-20 没有正整数解,所以-20 不是这 2 2 2 2 7 个数列的项. 例 7:如果在 a 与 b 中间插入一个数 A,使 a ,A, b 成等差数列数列,那么 A 应满足什么条 件?
解:由定义得 A- a = b -A 反之,若 A ? ,即: A ?

a?b ,则 A- a = b -A 2 a?b 由此可可得: A ? ? a, b, 成等差数列 2

a?b 2

例 8:在等差数列{ a n }中,若 a1 + a6 =9, a 4 =7, 求 a3 , a9 . 分析:要求一个数列的某项,通常情况下是先求其通项公式,而要求通项公式,必须知 道这个数列中的至少一项和公差,或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公 差) ,本题中,只已知一项,和另一个双项关系式,想到从这双项关系式入手…… 解:∵ {an }是等差数列

∴ a1 + a 6 = a 4 + a3 =9 ? a3 =9- a 4 =9-7=2

∴ d= a 4 - a3 =7-2=5

∴ a9 = a 4 +(9-4)d=7+5*5=32



a3 =2, a9 =32

三、等差数列的前 n 项和 1.等差数列的前 n 项和公式 1: S n ? 证明:

n(a1 ? a n ) 2


S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an

S n ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1 ②
①+②: 2S n ? (a1 ? an ) ? (a2 ? an?1 ) ? (a3 ? an?2 ) ? ? ? (an ? an ) ∵ a1 ? an ? a2 ? an?1 ? a3 ? an?2 ? ?? ∴ 2S n ? n(a1 ? an ) 由此得: S n ?

n(a1 ? a n ) 2
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从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2. 等差数列的前 n 项和公式 2: S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 2

用上述公式要求 S n 必须具备三个条件: n, a1 , a n 但 an ? a1 ? (n ? 1)d 代入公式 1 即得: S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 2

此公式要求 S n 必须已知三个条件: n, a1 , d (有时比较有用) 对等差数列的前 n 项和公式2: S n ? na1 ?

n(n ? 1)d 可化成式子: 2

Sn ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n ,当 d≠0,是一个常数项为零的二次式 2 2

3. 由 S n 的定义可知,当 n=1 时, S1 = a1 ;当 n≥2 时, a n = S n - S n ?1 , 即 an = ?

?S1 (n ? 1) . ?S n ? S n ?1 (n ? 2)

4. 对等差数列前项和的最值问题有两种方法: (1) 利用 a n :

当 a n >0,d<0,前n项和有最大值 可由 a n ≥0,且 a n ?1 ≤0,求得n的值
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当 a n <0,d>0,前n项和有最小值 可由 a n ≤0,且 a n ?1 ≥0,求得n的值
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(2) 利用 S n : 由 Sn ?

d 2 d n ? (a 1 ? )n 利用二次函数配方法求得最值时 n 的值 2 2

典型例题: 例 1:如图,一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放 1 支铅笔,往上每一层都比它下面一层 多放 1 支,最上面一层放 120 支. 这个 V 形架上共放了多少支铅笔? 解:由题意知,这个 V 型架自下而上是个由 120 层的铅笔构成 的等差数列,记为{an} ,

? S120 ?

120(1 ? 120) ? 7260. 2

答:V 型架上共放着 7260 支铅笔 例 2:等差数列-10,-6,-2,2,·······前 9 项的和多 少? 解:设题中的等差数列为{an} 则 a1=-10,d=4, n=9 例 3:等差数列前 10 项的和为 140,其中,项数为奇数的各项的和为 125,求其第 6 项. 解 依题意,得

10(10 ? 1) ? d = 140 ?10a1+ 2 ? ? ?a 1+a 3 +a 5 +a 7 +a 9 = 5a 1+ 20d = 125
解得 a1=113,d=-22.∴ 其通项公式为 an=113+(n-1)·(-22)=-22n+135 ∴a6=-22×6+135=3 说明 本题上边给出的解法是先求出基本元素 a1、d,再求其他的.这种先求 出基本元素,再用它们去构成其他元素的方法,是经常用到的一种方法.在本课中 如果注意到 a6=a1+5d,也可以不必求出 an 而

?2a 1 +9d = 28 直接去求a 6 ,所列方程组化简后可得 ? 相减即得a 1 +5d = 3, ?a 1 +4d = 25
即 a6=3.可见,在做题的时候,要注意运算的合理性.当然要做到这一点,

必须以对知识的熟练掌握为前提. 例 4:在 1 和 2 之间插入 2n 个数,组成首项为 1、末项为 2 的等差数列,若这个数列的 前半部分的和同后半部分的和之比为 9∶13,求插入的数的个数. 解 依题意 2=1+(2n+2-1)d ①

( n ? 1) n d 2 ( n ? 1) n 后半部分的和S′ · ( -d) n+1 = (n+1) · 2 + 2 前半部分的和S n+1 = (n+1) +
nd ( n ? 1)(1 ? ) S n ?1 2 ? 9 由已知,有 ? nd S′ 13 n ?1 ( n ? 1)(2 ? ) 2 nd 1? 2 ? 9 化简,得 nd 13 2? 2 5 解之,得 nd = ④ 11 由①,有(2n+1)d=1 ⑤

② ③

由④,⑤,解得d =
∴ 共插入 10 个数.

1 ,n = 5 11

例 5: 在等差数列{an}中, 设前 m 项和为 Sm, 前 n 项和为 Sn, 且 Sm=Sn, m≠n, 求 Sm+n.

1 解 ∵S m+n = (m+n)a 1 + (m+n)(m+n-1)d 2 1 = (m+n)[a 1 + (m+n-1)d] 2
且 Sm=Sn,m≠n

1 1 ∴ma 1 + m(m-1)d=na 1 + n(n-1)d 2 2 d 整理得 (m-n)a 1 + (m-n)(m+n-1) = 0 2

1 即 (m-n)[a 1+ (m+n-1)d] = 0 2 1 由m≠n,知a 1+ (m+n-1)d= 0 2
∴Sm+n=0 例 6:已知等差数列{an}中,S3=21,S6=64,求数列{|an|}的前 n 项和 Tn.
分析 等差数列前n项和S n = na 1 + n( n ? 1) d,含有两个未知数a 1 , 2

d,已知 S3 和 S6 的值,解方程组可得 a1 与 d,再对数列的前若干项的正负性 进行判断,则可求出 Tn 来.

解 设公差为d,由公式S n =na 1 + ?3a 1 + 3d = 21 得? ?ba 1 +15d = 24
解方程组得:d=-2,a1=9 ∴an=9+(n-1)(n-2)=-2n+11

n( n ? 1) d 2

由a n =-2n+11>0 得n<

11 = 5.5,故数列{a n }的前5项为正, 2

其余各项为负.数列{an}的前 n 项和为:

S n =9n+

n( n ? 1) ( -2) = -n 2 +10n ∴当 n≤5 时,Tn=-n2+10n 2

当 n>6 时,Tn=S5+|Sn-S5|=S5-(Sn-S5)=2S5-Sn ∴Tn=2(-25+50)-(-n2+10n)=n2-10n+50
2 ? ?Tn = -n +10n 即? 2 ? ?n -10n+50

n≤5 n>6

n∈N *

说明 根据数列{an}中项的符号,运用分类讨论思想可求{|an|}的前 n 项 和. 例 7: 在等差数列{an}中,已知 a6+a9+a12+a15=34,求前 20 项之和. 解法一 由 a6+a9+a12+a15=34 得 4a1+38d=34

又S 20 =20a 1 +

20×19 d 2

=20a1+190d=5(4a1+38d)=5×34=170

解法二 S 20 =

(a 1 + a 20 ) ×20 = 10(a 1 +a 20 ) 2

由等差数列的性质可得:a6+a15=a9+a12=a1+a20 ∴a1+a20=17 S20=170

例 8:已知等差数列{an}的公差是正数,且 a3·a7=-12,a4+a6=-4,求它的前 20 项的和 S20 的值. 解法一 设等差数列{an}的公差为 d,则 d>0,由已知可得

?(a 1 +2d)(a 1 +bd) =-12 ? ?a 1 +3d+a 1 +5d = -4

① ②

由②,有 a1=-2-4d,代入①,有 d2=4 再由 d>0,得 d=2 ∴a1=-10 最后由等差数列的前 n 项和公式,可求得 S20=180 解法二 由等差数列的性质可得:a4+a6=a3+a7 即 a3+a7=-4 又 a3·a7=-12,由韦达定理可知:a3,a7 是方程 x2+4x-12=0 的二根 解方程可得 x1=-6,x2=2∵ ∴a3=-6,a7=2 d>0 ∴{an}是递增数列

d=

a7 ? a3 = 2 ,a 1 =-10,S 20 =180 7?3

例 9:等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn 和 Tn,若

Sn a 2n ? ,则 100 等于 [ Tn 3n ? 1 b100

]

A.1 C. 199 299
分析 该题是将

B.

2 3 200 D. 301

a 100 S 2n 与 n ? 发生联系,可用等差数列的前n项 b 100 Tn 3n ? 1 n(a 1 + a n ) 和公式S n = 把前n项和的值与项的值进行联系. 2

n( a 1 ? a n ) n( b1 ? b n ) ,Tn ? 2 2 S a ? an a ? an 2n ∴ n ? 1 ∴ 1 ? Tn b1 ? b n b1 ? b n 3n ? 1 解法一 ∵S n ?

∵2a100=a1+a199,2b100=b1+b199



a 100 a 1 ? a 199 2 ×199 199 = = = 选C. b100 b1 ? b199 3×199 + 1 299

解法二 利用数列{an}为等差数列的充要条件:Sn=an2+bn



Sn 2n ? Tn 3n ? 1

可设 Sn=2n2k,Tn=n(3n+1)k

a n S n ? S n ?1 2 n 2 k ? 2( n ? 1) 2 k ? ? b n Tn ? Tn ?1 n(3n ? 1) k ? ( n ? 1)[3( n ? 1) ? 1]k 4n ? 2 2n ? 1 ? ? 6n ? 2 3n ? 1 a 2 ×100 ? 1 199 ∴ 100 ? ? b 100 3×100 ? 1 299 ∴
说明 该解法涉及数列{an}为等差数列的充要条件 Sn=an2+bn,由

已知

Sn 2n ? ,将S n 和Tn 写成什么?若写成S n = 2nk,Tn = (3n+1)k, Tn 3n ? 1

k 是常数,就不对了. 例 10: 解答下列各题: (1)已知:等差数列{an}中 a2=3,a6=-17,求 a9; (2)在 19 与 89 中间插入几个数,使它们与这两个数组成等差数列,并且此数 列各项之和为 1350,求这几个数; (3)已知:等差数列{an}中,a4+a6+a15+a17=50,求 S20; (4)已知:等差数列{an}中,an=33-3n,求 Sn 的最大值. 分析与解答

(1)a 6 = a 2 +(6-2)d d=

? 17 ? 3 = -5 4

a9=a6+(9-6)d=-17+3×(-5)=-32 (2)a1=19,an+2=89,Sn+2=1350

(a 1 + a n+2 )(n + 2) 2 2 ×1350 ∴n+ 2 = = 25 n = 23 19 + 89 35 a n+2 = a 25 = a 1+ 24d d = 12 ∵S n+2 =
故这几个数为首项是21 11 1 35 ,末项是86 ,公差为 的23个数. 12 12 12

(3)∵a4+a6+a15+a17=50 又因它们的下标有 4+17=6+15=21 ∴a4+a17=a6+a15=25

S 20 =

(a 1 + a 20 ) ×20 ? 10×(a 4 ? a 17 ) ? 250 2

(4)∵an=33-3n ∴a1=30

Sn =

(a 1 + a n ) ·n (63 ? 3n) n 3 63 ? ? ? n2 ? n 2 2 2 2 2 3 21 3× 21 ? ? (n ? ) 2 ? 2 2 8

∵n∈N,∴当 n=10 或 n=11 时,Sn 取最大值 165. 例 11:等差数列{an}的前 n 项和 Sn=m,前 m 项和 Sm=n(m>n),求前 m+n 项和 Sm+n. 解法一 设{an}的公差 d 按题意,则有

n( n ? 1) ? S n =na 1 + d=m ① ? ? 2 ? ?S =ma + m( m ? 1) d=n ② 1 ? 2 ? m ( m ? n)( m ? n ? 1) ①-②,得 (m-n) ·a 1 + ·d = n-m 2

即a 1 + ∴S m? n

m ? n ?1 d = -1 2 ( m ? n)( m ? n ? 1) ? ( m ? n) a 1 ? ·d 2 m ? n ?1 ? ( m ? n)(a 1 ? ·d ) 2

=-(m+n)

解法二 设 Sx=Ax2+Bx(x∈N)
2 ? ?Am +Bm=n ? 2 ? ?An +Bn=m

① ②

①-②,得 A(m2-n2)+B(m-n)=n-m ∵m≠n ∴ A(m+n)+B=-1 故 A(m+n)2+B(m+n)=-(m+n) 即 Sm+n=-(m+n) 说明 a1,d 是等差数列的基本元素,通常是先求出基本元素,再

解决其它问题,但本题关键在于求出了a 1 +

m ? n ?1 d=-1,这种设而不 2

解的“整体化”思想,在解有关数列题目中值得借鉴.解法二中,由于是等 差数列,由例 22,故可设 Sx=Ax2+Bx.(x∈N) 例 12: 在项数为 2n 的等差数列中,各奇数项之和为 75,各偶数项之和为 90,末 项与首项之差为 27,则 n 之值是多少? 解 ∵S 偶项-S 奇项=nd ∴nd=90-75=15 又由 a2n-a1=27,即(2n-1)d=27

?nd=15 ? ? (2n-1)d= 27

∴n = 5

例 13:在等差数列{an}中,已知 a1=25,S9=S17,问数列前多少项和最大,并求 出最大值. 解法一 建立 Sn 关于 n 的函数,运用函数思想,求最大值.

根据题意:S17 = 17a 1 +

17 ×16 9 ×8 d,S9 =9a 1 + d 2 2

∵a1=25,S17=S9 解得 d=-2

∴S n =25n+

n( n ? 1) ( -2) = -n 2 +26n = -(n-13) 2 +169 2

∴当 n=13 时,Sn 最大,最大值 S13=169 解法二 因为 a1=25>0,d=-2<0,所以数列{an}是递减等

?a n ≥0 差数列,若使前n项和最大,只需解 ? ,可解出n. ?a n+1 ≤0
∵a1=25,S9=S17

∴9 ×25+

9 ×8 17 ×16 d = 17 ×25+ d,解得d = -2 2 2

∴an=25+(n-1)(-2)=-2n+27

?-2n+27 ≥0 ?n≤13.5 ∴? ?? ∴n = 13 ?-2(n+1) +27 ≥0 ?n≥12.5
即前 13 项和最大,由等差数列的前 n 项和公式可求得 S13=169. 解法三 利用 S9=S17 寻找相邻项的关系. 由题意 S9=S17 得 a10+a11+a12+…+a17=0 而 a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14 ∴a13+a14=0,a13=-a14 ∴a13≥0,a14≤0 ∴S13=169 最大. 解法四 根据等差数列前 n 项和的函数图像,确定取最大值时的 n. ∵{an}是等差数列 ∴可设 Sn=An2+Bn 二次函数 y=Ax2+Bx 的图像过原点,如图 3.2-1 所示

∵S9=S17,

∴ 对称轴x =

9 + 17 = 13 2

∴取 n=13 时,S13=169 最大

四、等比数列 1.等比数列: 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这 个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比; 公比通常用字母 q 表示 (q≠0) , 即:

an =q(q≠0) a n ?1
1?“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) { a n }成等比数列 ?

a n ?1 ? =q( n ? N ,q≠0) an

2? 隐含:任一项 an ? 0且q ? 0

“ a n ≠0”是数列{ a n }成等比数列的必要非充分条件. 3? q= 1 时,{an}为常数。 2.等比数列的通项公式 1: an ? a1 ? q 由等比数列的定义,有:
n ?1

(a1 ? q ? 0)

a2 ? a1q ;
a3 ? a2 q ? (a1q)q ? a1q 2 ; a4 ? a3 q ? (a1q 2 )q ? a1q 3 ;
… … … … … … …

an ? an?1q ? a1 ? q n?1 (a1 ? q ? 0)
3.等比数列的通项公式 2: an ? am ? q
m ?1

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(a1 ? q ? 0)

4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列 5.等比数列与指数函数的关系: 等比数列 { an } 的通项公式 an ? a1 ? q (q>0)上的一些孤立的点。 当 a1 ? 0 ,q >1 时,等比数列{ a n }是递增数列; 当 a1 ? 0 , 0 ? q ? 1 ,等比数列{ a n }是递增数列; 当 a1 ? 0 , 0 ? q ? 1 时,等比数列{ a n }是递减数列; 当 a1 ? 0 ,q >1 时,等比数列{ a n }是递减数列; 当 q ? 0 时,等比数列{ a n }是摆动数列;当 q ? 1 时,等比数列{ a n }是常数列。 6.等比中项: 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G,使 a,G,b 成等比数列,那么称这个数 G 为 a 与 b 的 等比中项. 即 G=± ab (a,b 同号) 如 果 在 a 与 b 中 间 插 入 一 个 数 G , 使 a,G , b 成 等 比 数 列 , 则
n ?1

(a1 ? q ? 0) ,它的图象是分布在曲线 y ?

a1 x q q

G b ? ? G 2 ? ab ? G ? ? ab , a G
反之,若 G =ab,则
2

G b ? ,即 a,G,b 成等比数列 a G
2

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∴a,G,b 成等比数列 ? G =ab(a·b≠0)

7.等比数列的性质: 若 m+n=p+k,则 a m a n ? a p a k 在等比数列中,m+n=p+q, a m , a n , a p , a k 有什么关系呢? 由定义得: am ? a1q
m?1

an ? a1q n?1

a p ? a1q p ?1
2 p ? k ?2

ak ? a1 ? q k ?1

am ? an ? a1 q m? n?2
2

, a p ? ak ? a1 q

则 am an ? a p ak 8.判断等比数列的方法:定义法,中项法,通项公式法 9.等比数列的增减性:当 q>1, a1 >0 或 0<q<1, a1 <0 时, { a n }是递增数列;当 q>1, a1 <0, 或 0<q<1, a1 >0 时, { a n }是递减数列;当 q=1 时, { a n }是常数列;当 q<0 时, { a n }是摆动数列; 10.证明数列为等比数列的方法: (1)定义法:若

a n ?1 ? q(n ? N ? ) ? 数列?a n ?为等比数列 an
2 ?

(2)等比中项法:若 an ?1 ? an ? an ? 2 ? 0,(n ? N ) ? 数列?an ?为等比数列 (3)通项法:若 an ? cq (c, q均是不为0的常数,n ? N ) ? 数列?an ? 为等比数列
n ?

(4)前 n 项和法:若 Sn ? Aq n ? A( A, q为常数, 且q ? 0, q ? 1) ? 数列 ?an ? 为等比数列。 典型例题: 例 1:求下列各等比数列的通项公式: (1) a1 =?2, 解: (1)解: a3 ? a1q ? q ? 4 ? q ? ?2
2

a 3 =?8; (2) a1 =5, 且 2 a n ?1 =?3 a n ; (3) a1 =5, 且

an?1 n ? an n ?1

? an ? (?2)2 n?1 ? ?2 n 或an ? (?2)(?2) n?1 ? (?2) n
(2)解: q ?

an?1 3 ?? an 2

3 又:a1 ? 5 ? an ? 5 ? (? ) n?1 2 a3 2 a n ?1 ? , ??, n ? a2 3 an?1 n

(3)解:?

an?1 a n 1 ? ? 2 ? , an n ?1 a1 2

以上各式相乘得: an ?

1 3 a1 ? n n

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例 2:求下面等比数列的第 4 项与第 5 项: (1)5,-15,45,……; (2)1.2,2.4,4.8,……;

2 1 3 2 (3) , . ,??; ( 4) 2 ,1, ,……. 3 2 8 2 ? 15 n ?1 n ?1 解: (1)∵q= =-3, a1 =5 ∴ a n = a1 q =5· (-3) 5
∴ a 4 =5· (-3) =-135, a 5 =5· (-3) =405. (2)∵q=
3 4

2 .4 n ?1 n ?1 =2, a1 =1.2 ∴ a n = a1 q =1.2×2 1 .2
3

∴ a 4 =1.2×2 =9.6, (3)∵q=

a 5 =1.2×2 4 =19.2

1 2 3 2 2 3 n ?1 n ?1 ∴ a n = a1 q = ×( ) ? ? , a1 ? 2 3 4 3 3 4 2 3 3 9 2 3 27 ∴ a 4 = ×( ) = , a 5 = ×( ) 4 = 2 4 3 4 32 128
(4)∵q=1÷ 2 ?

1 1 2 n ?1 n ?1 , a1 = 2 ∴ a n = a1 q = 2 · ( ) = 2 2 ( 2 ) n?2

∴ a4 =

1 1 2 ? , a5 ? ? . 3 2 4 ( 2) ( 2)
2

1

例 3:一个等比数列的第 9 项是 解:由题意得 a 9 =

4 1 ,公比是- ,求它的第 1 项. 9 3

4 1 ,q=- 9 3 4 1 8 ∵ a 9 = a1 q8,∴ = a1 (- ) ,∴ a1 =2916 9 3 答:它的第 1 项为 2916. 例 4:一个等比数列的第 2 项是 10,第 3 项是 20,求它的第 1 项与第 4 项.
解:由已知得 a 2 =10, a 3 =20.在等比数列中 ∵q ?

a a3 ? 2 , ∴ a1 = 2 =5, a 4 = a 3 q=40. a2 q

答:它的第 1 项为 5,第 4 项为 40. 例 5:已知:b 是 a 与 c 的等比中项,且 a、b、c 同号, 求证:

a ? b ? c ab ? bc ? ca 3 , , abc 也成等比数列 3 3
得:

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证明:由题设:b2=ac

a?b?c 3 a ? b ? c 3 3 ab ? b 2 ? bc ab ? bc ? ca 2 ? abc ? ? b ? ?( ) 3 3 3 3


a ? b ? c ab ? bc ? ca 3 , , abc 也成等比数列 3 3

例 6:已知 ?a n ?, ?bn ?是项数相同的等比数列,求证 ?an ? bn ?是等比数列. 证明:设数列 ?a n ? 的首项是 a1 ,公比为 q1 ; ?bn ? 的首项为 b1 ,公比为 q 2 ,那么数列

?an ? bn ?的第 n 项与第 n+1 项分别为:
a1 ? q1
n ?1

? b1 ? q2 与a1 ? q1 ? b1 ? q2 即为a1b1 (q1q2 ) n?1 与a1b1 (q1q2 ) n
n n

n ?1

a n?1 ? bn ?1 a1b1 (q1 q 2 ) n ? ? ? q1 q 2 . a n ? bn a1b1 (q1 q 2 ) n?1
它是一个与 n 无关的常数,所以 ?an ? bn ?是一个以 q1q2 为公比的等比数列. 例 7:(1) 已知{ a n }是等比数列,且 an ? 0 ,
2

a2 a4 ? 2a3 a5 ? a4 a6 ? 25 , 求 a3 ? a5
2

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(2) a≠c,三数 a, 1, c 成等差数列, a ,1, c 成等比数列,求 解:(1) ∵{ a n }是等比数列, ∴ a 2 a 4 +2 a 3 a 5 + a 4 a 6 =( a 3 + a 5 ) =25, 又 a n >0, ∴ a 3 + a 5 =5; (2) ∵a, 1, c 成等差数列, ∴ a+c=2, 又 a , 1, c 成等比数列, ∴a
2 2 2 2

a?c a2 ? c2

c =1, 有 ac=1 或 ac=-1,

2

当 ac=1 时, 由 a+c=2 得 a=1, c=1,与 a≠c 矛盾, ∴ ac=-1, ∴

a 2 ? c 2 ? (a ? c) 2 ? 2ac ? 6

a?c 1 ? . 2 2 3 a ?c
0 5 1 5 2 5 n ?1 5

例 8:已知无穷数列 10 ,10 ,10 ,??10 求证: (1)这个数列成等比数列

,?? ,

(2)这个数列中的任一项是它后面第五项的

1 , 10
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(3)这个数列的任意两项的积仍在这个数列中

n ?1

a 10 5 证明: (1) n ? ? 10 5 (常数)∴该数列成等比数列 n?2 a n ?1 10 5
n ?1

1

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a 1 10 5 1 (2) n ? ? 10 ?1 ? ,即: a n ? a n ?5 n?4 a n ?5 10 10 10 5
(3) a p a q ? 10
p ?1 5

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10

q ?1 5

? 10

p ? q ?2 5

,∵ p, q ? N ,∴ p ? q ? 2

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∴ p ? q ? 1 ? 1 且 ? p ? q ? 1? ? N , ∴ 10
p ? q ?2 5 ?1 ? n5 ? (第 p ? q ? 1项) ? ?10 ? , ? ?

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例 9:在等比数列 ?bn ?中, b4 ? 3 ,求该数列前七项之积 解: b1b2 b3b4 b5 b6 b7 ? ?b1b7 ??b2 b6 ??b3b5 ?b4 ∵? b4 ? b1b7 ? b2 b6 ? b3b5 , ∴前七项之积 3
2

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? ? ?3 ? 3
2 3

7

? 2187

例 10:在等比数列 ?a n ?中, a 2 ? ?2 , a5 ? 54 ,求 a8 , 解: a8 ? a5 q ? a5 ?
3

a5 54 ? 54 ? ? ?1458 a2 ?2
2

另解:∵ a 5 是 a 2 与 a8 的等比中项,∴ 54 ? a8 ? (?2) ∴ a8 ? ?1458 五、等比数列的前 n 项和 1、 等比数列的前 n 项和公式:

a1 (1 ? q n ) 当 q ? 1 时, S n ? ① 1? q
当 q=1 时, S n ? na1

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当已知 a1 , q, n 时用公式①;当已知 a1 , q, a n 时,用公式②. 公式的推导方法一: 一般地,设等比数列 a1 , a2 ? a3 ,?an ?它的前 n 项和是

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an
由?

?S n ? a1 ? a 2 ? a3 ? ? a n
n ?1 ?a n ? a1 q

2 n?2 n ?1 ? ?S n ? a1 ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q 得? 2 3 n ?1 n ? ?qS n ? a1 q ? a1 q ? a1 q ? ? a1 q ? a1 q

? (1 ? q)S n ? a1 ? a1q n
∴当 q ? 1 时, S n ?

a1 (1 ? q n ) ① 1? q

或 Sn ?

a1 ? a n q 1? q



当 q=1 时, S n ? na1 公式的推导方法二: 有等比数列的定义,

a a 2 a3 ? ??? n ? q a1 a 2 a n ?1 a 2 ? a3 ? ? ? a n S ? a1 ? n ?q a1 ? a 2 ? ? ? a n?1 S n ? a n

根据等比的性质,有



S n ? a1 ? q ? (1 ? q)S n ? a1 ? an q (结论同上) S n ? an

围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式. 公式的推导方法三:

S n ? a1 ? a2 ? a3 ? ?an = a1 ? q(a1 ? a2 ? a3 ? ?an?1 )
= a1 ? qS n ?1 = a1 ? q( S n ? an )

? (1 ? q)S n ? a1 ? an q (结论同上)
2、重要结论 {an}成等比数列,公比为 q

1? 1 ? 1? n ? ? ?1? a ? q ? 1 1 ? qn ? (1) ? ? 也为等比数列,且公比为 , S n ? 1 1 a1q n ?1 (1 ? q) q ? an ? 1? q
(2) a

? ? 也成等比数列,且公比为 q
2 n

2

(3) ?an ? 成等比,且 an>0,则 lga1,lga2,lga3…成等差

[注](1) {an }成等比 ? {lg an }成等差 (2) {an }成等差 ? {a an }成等比 典型例题: 例 1:求和: 分析:当 时, 来的,所以用错位相减法来求和. 是由数列 . 与数列 的相应的项相乘而

解:当 当 时,

时, ,① 得: ,②

左右两边分别乘以

①、②相减得:

于是

.

说明:求和问题要分析数列的项的结构,当通项是一个等差数列与等比数列的乘积时, 用错位相减法求和,此时要注意等比数列的公比是否为 1(用字母表示公比时). 例 2:已知 是等比数列 的前 项和,且有 求 的值.

分析:由两个方程不能求出确定的 的方法. 解:设等比数列的首项为 ,公比为

,只能得到一个关系,所以应采用整体代入

, 由

可知

,故

两式相除得 于是有

,即

.

说明:本题强调的是基本量思想与整体思想,整体思想往往是设而不求,整体替换.

例 3: 求数列

的 24 项的和.

分析:

,可用裂项法求和.

解:

. 说明:裂项法是求和的重要方法之一,要把数列的每一项分裂为两项之差,求和时使得 中间的大多数项互相抵消了. 例 4:设 是由正数组成的等比数列, . 分析: 先比较 证明:设等比数列 与 的大小, 再根据对数函数的单调性得到所要证明的不等式. 的首项为 ,公比为 . 是其前 项和.求证:



时,



时, , ,

故有

.

说明:解题中注意等比数列前 项和公式要对公比进行分类;注意比较两数大小的基 本方法是比较法,特别是作差比较法,还要注意结合函数的有关知识. 例 5: 已知数列 (1)求 中, 的通项公式; 且当 时, .

(2)求证: 分析:该数列从第二项开始,每一项是其前面所有项之和,于是通项 所以引入前 解:(1)设 所以当 公比为 2. 因为 所以 ,故当 时, , 时有 , 于是 项和. , ,同时又 ,两式相减得 所以 是等比数列, 与一个和有关,

所以 证明:(2)

说明:在解题中注意项数的初始值,以及数列通项与和的相互转化.

第二章 数列 检测题 一、选择题(每题 5 分,共 50 分) 1、在数列 ?a n ? 中, a1 ? 2, 2an?1 ? 2an ? 1 ,则 a101 的值为( ) A.49 B.50 C.51 D.52 2、数列 3,5,9,17,33,…的通项公式 a n 等于( A. 2
n
2


n ?1

B. 2 ? 1
n

C. 2 ? 1
n

D. 2

3、 ac ? b 是 a、b、c 成等比数列的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 要条件
2

C.充要条件

D.既不充分也不必

4、若数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ? n ,则( ) A. a n ? 2n ? 1 B. a n ? 2n ? 1
a b c

C. an ? ?2n ? 1

D. an ? ?2n ? 1 )

5、已知实数 a、b、c 满足 2 ? 3, 2 ? 6, 2 ? 12 ,那么实数 a、b、c 是( A.等差非等比数列 B.等比非等差数列 C.既是等比又是等差数列 D.既非等差又非等比数列 6、若 a、b、c 成等比数列,则关于 x 的方程 ax ? bx ? c ? 0 ( A.必有两个不等实根 B.必有两个相等实根 C.必无实根 D.以上三种情况均有可能
2



7、已知 a ? A. 3

1 3? 2

,b ?

1 3? 2 1 3

, 则 a, b 的等差中项为(
D.



2 8、数列 ?a n ? 、?bn ?都是等差数列,其中 a1 ? 25, b1 ? 75, a100 ? b100 ? 100 ,那么 ?a n ? bn ?
前 100 项的和为( ) A.0 B.100 C.10000 D.102400

B. 2 C.

1

1 2 1 A. n 2 1 D. ? n ?1 2

9、数列 1 ,2 ,3 ,4

1 1 1 ,? 前 n 项的和为( ) 4 8 16 1 n2 ? n n2 ? n ? ?1 B. ? n ? 2 2 2 n2 ? n ? 2

C



?

1 n2 ? n ? 2 2n

10、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案:

。 。 。
第1个 第2个 第3个

则第 n 个图案中有白色地面砖的块数是 A. 4n ? 2 B. 4n ? 2 二、填空题(每题 4 分,共 16 分) C. 2n ? 4 D. 3n ? 3

11、在等差数列 ?a n ? 中,已知 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? 20 ,那么 a 3 等于____________; 12、某厂在 1995 年底制定生产计划,要使 2005 年底的总产量在原有基础上翻两番, 则年平均增长率为_________________, 13 、已知等差数列 ?a n ? 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a9 成等比数列,则

a1 ? a3 ? a9 的值是 a 2 ? a 4 ? a10

__________, 14、等差数列 ?an ? 前 n 项和为 S n ,已知 a1 ? 13, S3 ? S11 , n 为________时, S n 最大. 三、解答题(共 84 分) 15、等差数列 ?a n ?中,已知 a1 ?

1 , a 2 ? a5 ? 4, a n ? 33 ,试求 n 的值 3

16、各项都是正数的等比数列{an}的公比 q≠1,且 a2,

a ? a4 1 a3,a1 成等差数列,求 3 a4 ? a5 2

17、已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n 满足 S n?1 ? kS n ? 2 ,又 a 1 ? 2,a 2 ? 1 . (1)求 k 的值; (2)求 S n ;

18、已知公比为 3 的等比数列 ?bn ? 与数列 ?a n ? 满足 bn ? 3 n , n ? N ,且 a1 ? 1 ,
a *

(1)判断 ?a n ? 是何种数列,并给出证明; (2)若 C n ?

1 ,求数列 ?C n ? 的前 n 项和 a n a n ?1

19、已知等差数列 ?a n ?的第二项为 8,前 10 项和为 185。 (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2)若从数列 ?a n ?中,依次取出第 2 行,第 4 项,第 8 项,……,第 2 项,……按原来顺
n

序组成一个新 ?bn ?数列,试求数列 ?bn ? 的通项公式和前 n 项的和

20、已知数列 ?an ? 的首项 a1 ? 5, 前 n 项和为 S n ,且 Sn?1 ? Sn ? n ? 5(n ? N * )

(I)证明数列 ?an ? 1? 是等比数列; ( II )令 f ( x) ? a1x ? a2 x 2 ?

? an x n ,求函数 f ( x) 在点 x ? 1 处的导数 f ?(1) 并比较

2 f ? (1)与 23n2 ? 13n 的大小.
答案 一、 题 号 答 案 1 D 2 B 3 B 4 A 5 A 6 C 7 A 8 C 9 B 10 C

二、11、4 12、 10 4 ? 1 13、

13 16

14、7

1 2 1 2 2 1 a 2 ? a5 ? a1 ? d ? 4d ? 2a1 ? 5d ? 4, 又a1 ? ? d ? , a n ? ? (n ? 1) ? ? n ? 3 3 3 3 3 3 三、15、 2 1 a n ? 33, ? n ? ? 33得n ? 50 3 3 1 16、解:∵a2, a3,a1 成等差数列 2
∴ a3=a1+ a2 ∵an 等比数列 ∴a1q2=a1+a1q (∵a1≠0) ∴q2-q-1=0 又 an>0 ∴q=

1? 5 2



a3 ? a4 1 5 ?1 = = a4 ? a5 q 2

17、

1 2 n n ?1

18、等差数列, S n ?

19、解: (1)依题意 ?

? ?

a1 ? d ? 8

? ?10a1 ? 45d ? 185

解得 ?

a ?5 ? ? 1 ? ?d ? 3

? an ? 3n ? 2

(2)由(1)得

b ? a ? 3 ? 2n ? 2 n 2n

? b1 ? b2 ? ?? ? bn ? ?3 ? 2 ? 2? ? 3 ? 2 2 ? 2 ? ?? ? 3 ? 2 n ? 2
2 n

?

?

?

?

2?2 n ? 1? ? 3?2 ? 2 ? ?? ? 2 ? ? 2n ? 3 ? ? 2n ? 3 ? 2 n?1 ? 2n ? 6 2 ?1
20、解:由已知 Sn?1 ? Sn ? n ? 5(n ? N * ) 可得 n ? 2, Sn ? 2Sn?1 ? n ? 4 两式相减得

Sn?1 ? Sn ? 2 ? Sn ? Sn?1 ? ? 1 即 an?1 ? 2an ? 1 从 而 an?1 ? 1 ? ? 2an ?

? 1当

n ?1 时

S2 ? 2S1 ? 1 ? 5 所以 a2 ? a1 ? 2a1 ? 6 又 a1 ? 5 所以 a2 ? 11 从而 a2 ? 1 ? 2 ? a1 ? 1?
故总有 an?1 ? 1 ? 2(an ? 1) ,n ? N * 又 a1 ? 5, a1 ? 1 ? 0 从而 比数列; (II)由(I)知 an ? 3 ? 2n ? 1 因为 f ( x) ? a1x ? a2 x 2 ? 从而 f ?(1) ? a1 ? 2a2 ? = 3 2 ? 2 ? 22 ?

an?1 ? 1 ? 2 即数列 ?an ? 1? 是等 an ? 1

? an x n 所以 f ?( x) ? a1 ? 2a2 x ?

? nan x n?1

? nan = ? 3 ? 2 ? 1? ? 2 ? 3 ? 22 ? 1? ?

? n(3 ? 2n ? 1)

?

? n ? 2n ? - ?1 ? 2 ?

? n ? = 3 ? n ? 1? ? 2n?1 ?

n(n ? 1) ?6 2

由上 2 f ?(1) ? 23n2 ? 13n ? 12 ? n ? 1? ? 2n - 12 2n2 ? n ? 1 =
n 12 ? n ? 1? ? 2n ? 12 ? n ? 1? (2n ? 1) =12 (n ? 1) ? ? 2 ? (2n ? 1) ? ?①

?

?

?

?

当 n ? 1 时,①式=0 所以 2 f ?(1) ? 23n ? 13n ;
2

当 n ? 2 时,①式=-12 ? 0 所以 2 f ?(1) ? 23n ? 13n
2

当 n ? 3 时, n ? 1 ? 0 又 2 ? ?1 ? 1? ? Cn ? Cn ?
n n 0 1

n?1 n ? Cn ? Cn ? 2n ? 2 ? 2n ? 1

2 n 所以 ? n ? 1? ? ?2 ? ? 2n ? 1?? ? ? 0 即① ? 0 从而 2 f ?(1) ? 23n ? 13n

附:等差数列与等比数列的有关知识比较一览表 等 定 每一项与它的前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫做等差数列.这个 义 常数叫公差. ① an?1 ? an ? a2 ? a1 递 推 关 系 ③ an?1 ? an ? an ? an?1 ③ ( n ? 2, n ? N )
*

差 数 列



比 数 列

一般地,如果一个数列从第 2 项起,

一般地,如果一个数列从第 2 项起,每 一项与它的前一项的比等于同一个常数, 那 么这个数列就叫等比数列.这个常数叫公 比.

( n? N )
*



② an?1 ? an ? d

( n? N )
*

an ?1 a2 ? an a1 an ?1 ?q an an ?1 a ? n an an ?1
n ?1

( n? N )
*



( q ? 0, n ? N )
*

( n ? 2, n ? N )
*

通 项 公 式

① an ? a1 ? (n ? 1)d ② an ? pn ? q

( n? N )
*

① an ? a1 ? q

(n? N )
*

( p, q为常数, n ? N ) ② a n ? p ? q
*

n

( p, q是常数, q ? 0, p ? 0, n ? N )
*

① 2Sn ? n(a1 ? an ) 求 和 公 式
2

( n? N )
*

①求积公式 ? ?

?

? n * ai ? ? ? ? (a1 a n ) ( n ? N ) ? i ?1 ?
n

2

② Sn ? na1 ?

n(n ? 1) d 2

( n? N )
*

?na1 , q ? 1 ? ② S n ? ? a1 (1 ? q n ) ? 1? q , q ? 1 ?
③ Sn ? ?

(n? N )
*

③ Sn ? An ? Bn ( A, B是常数, n ? N )
*

?na1 , q ? 1 ? A ? Aq , q ? 1
n

( n ? N ,A ? 0 )
*

①若 p+q=s+r, p、q、s、r ? N*,则

①若 p+q=s+r, p、q、s、r ? N*,则

a p ? aq ? as ? ar .
②对任意 c>0,c ? 1, c 主

a p aq ? as ar .
an

? ? 为等比数列.

②对任意 c>0,c ? 1, 若 an 恒大于 0 ,则

?logc an ? 为等差数列.

③ an?1 ? an?1 ? 2an , n ? N , n ? 2 .
*

③ an?1an?1 ? an , n ? N , n ? 2 .
2

?

④若 ?an ? 、 ?bn ? 分别为两等差数列,则 要

④若 ?an ? 、 则 ?a n bn ?为 ?bn ? 为两等比数列, 等比数列. ⑤若 an 恒大于 0,则数列 ?n

?an ? bn ? 为等差数列.
?S ? ⑤数列 ? n ? 为等差数列. ?n?
⑥若 ?bn ? 为正项等差自然数列,则 abn

? ? ? ?

为等比 ?a ? ?
i i ?1

n

? ? ?

? ?

数列. ⑥若 ?bn ? 为正项等差自然数列,则 abn 为 等比数列. ⑦ S n , S 2 n ? S n , S 3n ? S 2 n ,?为等比数列. ⑧



为等差数列. ⑦ S n , S 2 n ? S n , S 3n ? S 2 n , ? 为 等 差 数 列.

? ?





Sn Sn ?m ? Sm * ,n>2m,m、n ? N . ? n n ? 2m

n

? ai ? n ? 2 m
i ?1
*

n

i ? m ?1

?a

n?m

i

, n>2m , m 、
*

⑨ Sm? n ? Sm ? Sn ? mnd . ⑩若 Sm ? Sn , m ? n, 则 Sm? n ? 0 .

n ? N , a p ? 0, p ? N . ⑨ Sm ? n ? Sm ? q Sn ? Sn ? q Sm .
m n

⑩若 a1a2 ?am ? a1a2 ?an , m ? n, 则

?a
i ?1

m? n

i

? 1.

此外, 还要了解一些等差数列与等比数列中的重要结论, 这些结论之间不具有对偶关系: 等 差 数 列
*



比 数 列
m 2m

重 要 结 论

① 若 a p ? q, aq ? p, p 、 q ? N , 且

① S mn ? S m (1 ? q ? q = S n (1 ? q ? q
n

? ? ? q ( n?1) m )

p ? q,
则 a p?q ? 0 . ② 若 S p ? q, S q ? p, 且 p ? q , 则

2n

? ? ? q ( m?1) n ) .

②若|q|<1,则 lim S n
n ??

?S?

a1 . 1? q

S p ?q ? ?( p ? q),

p、q ? N .
*


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