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4.2一次函数与正比例函数(峄城古邵中学周刚)


课时课题:第四章

第2节

一次函数与正比例函数

授课人:峄城古邵中学 周刚 课型:新授课 授课时间:2013 年 10 月 31 日 星期四 第 1、2 节课 教学目标:
1.理解一次函数和正比例函数的概念;能根据所给条件写出简单的一次函数关系式; 2.经历一般规律的探索过程,在探索过程中体验成功的喜悦,

树立学习的自信心;经历从 实际问题中得到函数关系式这一过程,发展学生的数学应用能力; 3.体验生活中的数学的应用价值,感受数学与人类生活的密切联系,激发学生学数学、用 数学的兴趣.

教学重点与难点:
重点:理解一次函数和正比例函数的概念. 难点:理解一次函数和正比例函数的概念;能根据所给条件写出简单的一次函数关系式.

教法与学法指导:
教法: 本节课的教学借助生活中的实际背景, 让学生经历一般规律的探究过程来理解一次函 数和正比例函数的概念,思路灵活多样,充分调动学生的积极性,引导学生从问题出发再通 过典型的例题讲解进一步巩固所学知识,增强学生对知识的综合应用能力.发扬学生的自主 探究、合作交流的意识,培养学生自学能力及参与意识. 学法指导:本节课的教学,注重以学生自主活动为主,并强调小组之间的合作与交流,强化 应用意识,培养学生多方面的能力.学生多动手、动口、动脑,自主探究,提高学习的兴趣, 进一步体会数学的地位和作用.

课前准备:多媒体、课件、实物投影、电脑. 教学过程:
一、创设情境,引入新课 师:同学们都知道龟兔赛跑的故事,哪位同学能讲一讲这个故事? 生 1:是一则寓言故事。很久以前,兔子和乌龟赛跑,兔子嘲笑乌 龟爬的慢,乌龟说,总有一天他会赢.于是它们决定通过比赛来一决雌 雄。 确定了路线之后, 它们就开始跑了起来.兔子一个箭步冲到了前面, 并且一路领先,看到乌龟被远远抛在了后面,兔子觉得自己应该先在 树下休息一会儿,然后再继续比赛.于是,它在树下坐了下来,并且很 快睡着了.乌龟慢慢的超过了它,并且完成了整个赛程,当兔子醒来的 时候乌龟已经到达终点了,乌龟无可争辩的当上了冠军. 师:同学们讲的太棒了!这个故事告诉我们,虚心使人进步,骄傲使人落后,我们要踏 踏实实地做事情,不要半途而废,才会取得成功! 师:同学们,在这个故事中就有函数问题,你能找出来吗?

【学生活动】学生兴致很高,争先恐后的讲故事;接着思考问题,并寻找问题答案. 生 2:若知道乌龟速度,则它所走的路程与时间之间的关系可以归结为函数问题. 生 3:若知道兔子速度,则它所走的路程与时间之间的关系可以归结为函数问题. 生 4:兔子休息时,则它所走的路程与时间之间的关系也可以归结为函数问题. 生 5:知道比赛的路程,则乌龟与兔子所走的速度与时间之间的关系都可以归结为函数 问题. ?? 【设计意图】从一个有趣的故事引入,能够吸引学生的兴趣,激发学生的求知欲望,吸引 同学们的注意力,使学生迅速进入学习状态. 师:同学们说的都很好.请完成下面问题. 1.函数的概念? 2.常见的函数表示方法有哪些? 【学生活动】学生思考问题,并回答,为进一步学习新知作准备. 生 6: 一般地, 如果在一个变化过程中有两个变量 x 和 y, 并且对于变量 x 的每一个值, 变量 y 都有唯一的值与它对应,那么我们称 y 是 x 的函数,其中 x 自变量. 生 7:常见的函数表示方法有:列表法、关系式法和图象法. 【设计意图】复习旧知识,为学习新知识作好铺垫. 师:同学们回答的很好!说明对上节课的内容已经掌握。本节课我们继续探究函数的有 关知识. (板书课题:4.2 一次函数) 二、合作学习,自主探究 【自主探究】根据所给条件写出简单的一次函数关系式. 师:请同学们完成下列题目的解答: (多媒体展示) 1. 某弹簧的自然长度为 3cm,在弹性限度内,所挂物体的质量 x 每增加 1kg,弹簧长度 y 增加 0.5cm. (1)计算所挂物体的质量分别为 1kg、2kg、3kg、4kg 、5kg 时的弹簧的长度,并填入下表:

x /kg
y /cm

0

1

2

3

4

5

(2)你能写出 y 与 x 之间的关系式吗? 【学生活动】学生理解题意,填写表格,写出函数关系式,并进行展示答案。 【教师活动】教师巡视,指导学生解决问题,并对个别学习辅导。 生:我们是这样理解的: (1)弹簧的自然长度为 3cm; (2)两个变量:所挂物体的质量 x,弹簧长度 y; (3)所挂物体的质量 x 每增加 1 千克,弹簧长度 y 增加 0.5cm。 生:我的小组答案是这样的:(实物投影展示答案).

x /kg
y /cm

0

1

2 4

3 4.5

4 5

5 5.5

3 3.5 (2)关系式:y=3+0.5x.

师:同学们完成的很棒!请接着完成下面的问题. 【合作探究】做一做 2.某辆汽车油箱中原有汽油 60L,汽车每行驶 50km 耗油 6L. (1)完成下表:

汽车行驶路程 x/km 耗油量 y /L

0

50

100

150

200

300

(2)你能写出耗油量 y(L)与汽车行驶路程 x(km)之间的关系式吗? (3)你能写出油箱剩余油量 z(L)与汽车行驶路程 x(km)之间的关系式吗? 【学生活动】让学生独立思考理解题意,填写表格,并写出函数关系式,小组交流后选 代表分享收获. 【教师活动】教师巡视学生解决问题情况,并对个别学习指导. 生:(1)原有油 60 升;

6 L; 50 (3)第二问中两个变量:汽车行使路程 x/千米, 油箱耗油量 y(L) ; 第三问中两个变量:汽车行使路程 x/千米, 油箱剩余油量 z(L) ;
(2)汽车每行驶 50 千米耗油 6 升可知汽车每行驶 1 千米耗油 (4)耗油量 y(L)等于汽车行驶路程 x(km)与每行驶 1 千米耗油 剩余油量 z(L)等于原有油量 60(L)减去已消耗油量. 生:我的小组答案是这样的: (借助实物投影展示) 汽车行驶路程 x /km 耗油量 y /L 0 0 50 6 100 12 150 18 200 24 300 36

6 L 的积; 50

(2)y 与 x 之间的关系式为 y ?

3 x; 25
3 x. 25

(3) z 与 x 之间的关系式为 z ? 60 ?

【温馨提醒】 我们在写关系式的时候, 将函数值单独写在等号的左边, 将含有自变量的代数式写在等 号的右边. 【设计意图】从生动有趣的问题情景(弹簧的长度、汽车油箱中的耗油量)出发,使学生 亲身参加探索发现 ,主动的获取知识和技能,通过对一般规律的探索过程,从实际问题中抽 象出一次函数和正比例函数的概念. 【合作探究】一次函数的概念: 师:同学们都解答的很好!现在请同学们仔细观察这几个关系式: y = 3 + 0.5x 、 3 3 y? x , z ? 60 ? x ,它们都有什么共同点? 25 25 【学生活动】积极观察,寻找共同点,并归纳一次函数的概念. 生 1:都是左边是函数值 y,右边是含自变量 x 的代数式. 生 2:自变量和函数值的指数都是一次. 师:由此我们归纳出一次函数的概念: (板书) 一般地,若两个变量 x,y 间的关系式可以表示成 y=kx+b(k,b 为常数,k≠0)的形式, 则称 y 是 x 的一次函数(x 是自变量). 特别地,当 b=0 时,称 y 是 x 的正比例函数,即表示 为 y=kx(k 为常数,k≠0)的形式. 师:一次函数与正比例函数之间有什么关系? 生:正比例函数是一次函数的一种特殊情形, 一次函数包含了正比例函数. 【温馨提醒】 (1)等式左边是函数值 y,右边是关于自变量 x 的整式; (2)自变量 x 的次数为 1,系数不为 0。

【设计意图】从具体问题的函数关系式出发,学生互相讨论,教师在教学上恰当地设疑 立障,引导学生大胆猜想,勇于探索,鼓励学生积极思维,总结出一次函数的定义, 提高学生的 分析问题、解决问题、总结归纳的能力. 【小试身手】 师:为了我们能更好的掌握一次函数与正比例函数的概念,我们来看下面的题目.(多 媒体展示) 1. 在函 数 (1) y = (6) y =
3 , (2) y = x - 5 , (3) y = - 4 x , (4) y = 2 x2 - 3x , (5) y = x
x- 2

1 中是一 次函数的是_______,是正比例函数的是_______. x- 2

2.若函数 y = (6 + 3m) x + 4n - 4 是一次函数,则 m, n 应满足的条件是_______;若是正 比例函数,则 m, n 应满足的条件是_______. 3.当 k =_______时,函数 y = (k + 3) xk
2

-8

- 5 是关于 x 的一次函数.

【学生活动】积极主动的解题,完成后进行代表讲解,校正答案. 【教师活动】教师巡视学生的做题情况,对个别学习辅导;并对学生的讲解及时点评、 鼓励,强调一次函数与正比例函数的概念的理解.尤其强调第(3)题的讲评,学生易忘记 k+3≠0 的条件,而错误的将答案写成± 3. 【设计意图】设计本部分,主要了解学生对知识的掌握情况和对知识的应用能力,以便 查缺补漏,也使以后师生互动具有针对性. 三、乘胜追击,讲解例题 师: 为了我们能更好的掌握一次函数与正比例函数的概念, 我们来完成下面的题目. (多 媒体展示) 例 1 写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式,并判断: y 是否为 x 的一次函数?是否为正 比例函数? (1)汽车以 60km /h 的速度匀速行驶,行驶路程 y (km)与行驶时间 x(h)之间的关系; (2)圆的面积 y (cm? )与它的半径 x( cm)之间的关系; (3)某水池有水 15m? ,现打开进水管进水,进水速度为 5m?/h,xh 后这个水池内有水为 y m? . 【学生活动】认真分析题意,列出函数表达式,通过小组交流讨论,学生口答,师生共 同评析. 教师板书示范: 解(1):由路程=速度×时间,得 y = 60 x ,y 是 x 的一次函数,也是 x 的正比例函数; 2 (2)由圆的面积公式,得 y =πx ,y 不是 x 的一次 函数,也不是 x 的正比例函数; (3)这个水池每时增加 5m? 水, xh 增加 5xm? 水,因而 y =15+5x,y 是 x 的一次函数,但 不是 x 的正比例函数. 师:下面,我们来完成例 2 的解答. 例 2:我国自 2011 年 9 月 1 日起,个人工资、薪金所得税征收办法规定:月收入低于 3500 元 的部分不收税;月收入超过 3500 但低于 5000 元的部分征收 3%的所得税??如某人 某月收入 3860 元,他应缴个人工资、薪金所得税为(3860-3500)×3%=10.8(元). (1)当月收入大于 3500 元而又小于 5000 元时,写出应缴纳个人工资、薪金所得税 y (元)与月收入 x(元)之间的关系式;

(2)某人 月收入为 4160 元,他应缴纳个人工资、薪金所得税多少元? (3)如果某人本月缴纳个人工资、薪金所得税 19.2 元,那么此人本月工资、薪金收入 是多少元? 师:根据例 1 的做题经验,请先独立思考,再与同学讨论后,将答案展示在黑板上. 【学生活动】学生认真分析题意,列出函数表达式,解答问题,然后小组交流讨论,学 生展示答案,进行讲评. 解: (1)当月收入大于 3500 元而小于 5000 元时,y=3%×(x-3500),即 y=0.03x-105; (2)当 x=4160 时,y=0.03× 4160-105=19.8( 元); (3)因为(5000-3500)× 3%=45(元) ,19.2<45,所以此人本月工资、薪金收入低于 5000 元。设此人本月工资、薪金收入是 x 元,则 19.2=0.03x-105,解得 x=4140. 即此人月工资、薪金收入是 4140 元. 【教师活动】 教师巡视学生的做题情况, 并对个别学习辅导; 并对学生的讲解及时点评、 鼓励. 在例 2 中的(1)中,易错解为 y=3%x.让学生应仔细审题,找准等量关系;(2)、(3)两问 是给定自变量的值,求函数数值,这类问题的实质就是解方程. 【设计意图】通过丰富的现实背景的例题,进一步理解一次函数和正比例函数的概念 , 根据所给的条件写出简单的一次函数的表达式 ,让学生体会数学的广泛应用,发展学生的抽 象思维能力.充分加强数学与现实的联系,促进学生新的认知结构的建立和数学应用能力的 发展. 四、练习巩固,深化提高 师:同学们都解决的很好!现在我们来巩固一下. 1.某种大米的单价是 2.2 元/千克,当购买 x 千克大米时,花费为 y 元。y 是 x 的一次 函数吗?是正比例函数吗? 2.甲、乙两地相距 100 千米,现有一列火车从乙地出发,以 80 千米/时的速度向丙地 行驶.设 x(时)表示火车行驶的时间,y(千米)表示火车与甲地的距离,y 与 x 之间的关系:

【学生活动】各组选派两名学生到各自黑板完成,其余同学自主完成. 【教师活动】 教师巡视学生的答题情况, 并对个别学习辅导; 然后学生的讲解及时点评、 鼓励. 【设计意图】心理学研究成果说明:一个人只要体验到成功的欣慰与快乐,便会激起再 一次追求成功胜利的信念和力量.因此我设计了两道练习,以小组比赛的形式,努力为学生 创造成功的条件. 五、归纳总结,知识沉淀 师:这节课大家通过自己的努力和小组的合作,相信每个同学都有所收获.整理一下本 节课的所学,写下来。 我掌握的概念_______; 我学会了_______; 我还知道了_______. 【学生活动】写完后,全班交流各自的收获和心得. 【教师活动】教师巡视学生的答题情况,及时点评、鼓励. 【设计意图】课堂总结是知识沉淀的过程,使学生对本节课所学进行梳理,养成反思与 总结的习惯,培养自我反馈,自主发展的意识,写下来更能加深印象. 六、课堂检测,体验成功

师:现在是你个人的用武之地了,用“信心“二字来获取胜利吧! A类 1.下列语句中,具有正比例函数关系的是_______. A.长方形花坛的面积不变,长 y 与宽 x 之间的关系; B.正方形的周长不变,边长 x 与面积 S 之间的关系; C.三角形的一条边不变,这条边上的高 h 与面积 S 之间的关系; D.圆的面积为 S,半径为 r ,S 与 r 之间的关系. 3 2.在函数(1) y = ;(2) y = x - 5 ;(3) y = - 4 x ;(4) y = 2 x2 - 3x ;(5) y=100-0.18x 中 x 是正比例函数的是_______.是一次函数的是_______. B类 1.当 m=___ _____时,y=(m-1)x m 是正比例函数. 2.当 k =________ 时,y=(k+1)x k +k 是一次函数. 3.某地区电话的月租费为 25 元,在此基础上,可免费打 50 次市话(每次 3 分钟),超过 50 次后,每次 0.2 元. (1)写出每月电话费 y (元)与通话次数 x (x>50)的函数关系式; (2)求出月通话 150 次的电话费; (3)如果某月通话费为 53.6 元,求该月通话的次数. 【学生活动】学生独立完成,完成后进行校正答案. 【设计意图】通过检测纠错,提高认识知识的效率,使学生能运用所学知识技能解决问 题,同时又为学生提供了充分发挥创造力的空间,吧进一步发现和弥补教与学的不足,强化 基本技能的训练,培养学生的良好的学习习惯和思维品质. 七、分层作业,发展个性 必做题:课本第 82 页 习题 4.2 知识技能 第 2 题. 选做题:课本第 82 页 习题 4.2 问题解决 第 3、4、5 题. 【设计意图】作业层次化,使学生根据自身的实际学习情况选择不同的作业.既满足了 不同层次学生的需求,又提高作业的实效性,促进学生学习兴趣与质量的提高.
2 2

板书设计:
4.2 一次函数 情境引入 1. y = 3 + 0.5x 2. z ? 60 ? 例1 一次函数、正比例函数的概念: y=kx+b(k, b 为常数, k≠0) y=kx(k 为常数,k≠0) 例2 投影区

3 x 25

学生展示区

教学反思:
我的收获: 函数是初中阶段数学学习的一个重要内容, 学生又是第一次接触函数, 充分考虑学生的 接受能力,本节从生动有趣的问题情景出发,通过对一般规律的探索过程,从实际问题中抽 象出一次函数和正比例函数的概念.又通过具有丰富的现实背景的例题,进一步理解一次函 数和正比例函数的概念,为下一 步学习《一次函数图象》奠定基础,并形成用函数观点认 识现实世界的能力与意识.为此,本课教学注意挖掘教材,体现学生的主体地位;同时以问 题为载体,探究为主线,有意识地留给学生适度的思维空间,从不同视角上展示不同层次学 生的学习水平,使传授知识与培养能力融为一体. 教学建议: 1.教学过程中,注意要给予学生足够的思考时间,必要的时候可组织学生交流讨论,而 不能是简单的“告诉”. 2.教师对小组讨论给予适当的指导,包括知识的启发引导、学生交流合作中注意的问 题及对困难学生的帮助等,使学生自主探究、小组合作学习更具实效性. 3.在学习过程中,教师巡视学生并予以个别指导,关注学生的个体发展.


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