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2.1 离散型随机变量及其分布列


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?1?

第二章 概 率 2.1 离散型随机变量及其分布列 课标考纲解读 1.了解离散型随机变量的概念. 2.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念. 3.掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质,并会用它来解决一些简单问题. 状元学习方案 1.求随机变量的分

布列,首先要明确随机变量,确定随机变量的取值,然后计算随机变量每个取值的概率, 最后列出分布列. 2.随机变量的每个取值的概率和为 1,这个结论既可以用于求概率,也可以用来检验概率是否求对. 要点核心解读 1.随机变量 (1)一般地,如果随机试验的结果,可以用一个变量来表示,那么这样的变量叫做随机变量.通常用大写 拉丁字母 X,Y,Z(或小写希腊字母ξ ,η ,ζ )等表示,而用小写拉丁字母 x,y,z(加上适当下标)等表示 随机变量取的可能值. (2)引入随机变量后,随机试验中的各种事件就可以通过随机变量的取值表示出来了. (3)说明: ①课本在介绍随机变量的概念时,不加定义地引入了“随机试验”的概念,一般地,一个试验如果满足下列 条件:a.试验可以在相同的情形下重复进行.b,试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个.c.每次 试验总是恰好出现这些可能结果中的一个, 但在试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 这种试验就是 一个随机试验,为了方便起见,也简称试验. ②所谓随机变量,就是随机试验的试验结果与实数之间的一个对应关系,这种对应关系是人为建立起来的, 但又是客观存在的.这与函数概念的本质是一样的,只不过在函数概念中,函数 f ( x ) 的自变量是实数,而在随 机变量的概念中,随机变量的自变量是试验结果. (4)知识拓展: ①一般情况下,我们所说的随机变量有以下两种: 如果随机变量所有可能的取值都能一一列举出来, 这样的随机变量叫做离散型随机变量. 如果随机变量可以 取其一区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. ②离散型随机变量和连续型随机变量的区别: 离散型随机变量和连续型随机变量都用来刻画随机试验出现的结果, 但在二者之间又有着根本的区别: 对于 离散型随机变量来说,它所可能取的值为有限个或至多可列个,或者说能将它的可能取值按一定次序一一列出, 而连续性随机变量可取某一区间内的一切值,我们无法将其中的值一一列举.例如,抛掷一枚骰子,可能出现的 点数孝是一个离散型随机变量; 某人早晨在出租车站等出租车的时间竹 (单位: 秒) 就不是一个离散型随机变量. 2.随机变量概率分布的性质 (1)对于随机变量的研究,我们不仅要知道随机变量取哪些值,随机变量所取的值表示的随机试验的结果, 而且需要进一步了解随机变量取这些值的概率. 对于离散型随机变量,它的分布列指出了随机变量ξ 取这些值的概率,掌握离散型随机变量的分布列,我们 就对离散型随机变量取哪些值及取这些值的概率情况有了本质的认识,即掌握了离散型随机变量取值的统计规 律. (2)我们知道,随机事件 A 的概率满足 0≤P(A)≤1,必然事件 U 的概率 P(U)=1,若离散型随机变量 X 所有可能取的值为 x1,x2,?,xn. X 取每一个值 xi(i=1,2,?,n)的概率为 P(X=xi)=pi,则可列表如下:
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X P

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?2?

x1 p1

x2 p2

x3 p3

? ?

xn pn

上表有以下两条性质: ①0≤pi≤1,i=1,2,3,?,n;②p1+p2+p3+?+pn=1. 满足上述两条性质的分布列一定是错误的,即分布列满足上述两条性质是该分布列正确的必要不充分条件. (3)由离散型随机变量分布列的概念可知,离散型随机变量各个可能的取值表示的事件是互斥的,因此, 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 例如:已知随机变量ξ 的分布表为 ξ P 1 0.25 2 0.2 3 0.3 4 0.1 5 0.05 6 0.1

则 P(2<ξ ≤5)=P(ξ =3)+P(ξ =4)+P(ξ =5)=0.3+0.1+0.05=0.45. 3.求随机变量概率分布的步骤及综合运用 (1)求随机变量的概率分布有以下几步:①明确随机变量的取值范围,即找出随机变量 X 的所有可能的取 值 xi(i=1,2,?) ;②求出随机变量取每一个值的概率 P(X=xi)=pi;③列成表格. (2)随机变量的概率分布的求解要注意以下几点:①搞清楚随机变量每个取值对应的基本随机事件;②计 算必须准确无误;③注意运用概率分布的两条性质检验所求的概率分布是否正确. (3)随机变量的概率分布是以后学习随机变量的数学期望、方差的基础,而求概率分布需要综合运用排列 组合和概率的相关知识,是高考考查的重点内容之一,题目类型可以是小题,也可以是大题,以中档题为主. (4)随机变量的概率分布和排列组合:要求随机变量 X 的概率分布,就要求出概率 P(X=xi) (i=1,2,?) , 而 P(X=xi)=P(Ai) ,要求基本事件 Ai 发生的概率就要运用等可能事件的概率、排列组合、分类计数原理、分 步计数原理等知识和方法,因此求随机变量的概率分布的问题往往需要综合运用排列组合、概率等知识和方法. 例:袋中有 1 个白球和 4 个黑球,每次从中任取一个球,每次取出的黑球不再放回,直到取出白球为止,求 取球次数 X 的概率分布表. 解:X 的可能取值为 1,2,3,4,5,则第 1 次取到白球的概率为 P( P ( X ? 1) ? 率为 P ( X ? 2) ?

1 ,第 2 次取到白球的概 5

4 1 1 4 3 1 1 ? ? ,第 3 次取到白球的概率为 P ( X ? 3) ? ? ? ? ,第 4 次取到白球的概率为 5 4 5 5 4 3 5 4 3 2 1 1 4 3 2 1 1 1 P ( X ? 4) ? ? ? ? ? ,第 5 次取到白球的概率为 P( X ? 5) ? ? ? ? ? ? ,所以 X 的概率分 5 4 3 2 5 5 4 3 2 1 5
X P 1 2 3 4 5

布表是

1 5

1 5

1 5

1 5

1 5

本题在求概率时要注意题中的条件,每次从中任取一球,而且取出的黑球不再放回. 4.对“两点分布”的理解 如果随机变量 X 的分布列是两点分布列,即 ξ P 0 1-p 1 p

则称随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布. (1)两点分布又称 0~1 分布.由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验,所以这种分布还称为伯努 利分布.并称 p=P(X=1)为成功概率. (2)两点分布的应用非常广泛,如抽取的彩券是否中奖;买回的一件产品是否为正品;新生婴儿的性别; 投篮是否命中等等,都可以用两点分布来研究. 典例分类剖析
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考点 1 离散型随机变量的概念 命题规律 离散型随机变量的取值及其实际意义. [例 1] 写出下列随机变量可能取的值,并说明随机变量所取的值和所表示的随机试验的结果. (1)袋中有大小相同的红球 10 个,白球 5 个,从袋中每次任取 1 个球,每次取到的红球不放回,直到取出 的球是白球为止所需要的取球次数; (2)从标有 1,2,3,4,5,6 的 6 张卡片中任取 2 张,所取卡片上的数字之和. [解析] 要根据随机变量的定义考虑所有情况. [解] (1)设所需的取球次数为 x,则 x=1,2,3,4,?,10,11, X=i 表示前(i-1)次取到红球,第 i 次取到白球,这里 i=1,2,?,11. (2)设所取卡片的数字之和为ξ ,则ξ 可取 3,4,?,11,其中: {ξ =3}表示取出标有 1,2 的两张卡片; {ξ =4}表示取出标有 1,3 的两张卡片; {ξ =5}表示取出标有 1,4 或 2,3 的两张卡片; {ξ =6}表示取出标有 1,5 或 2,4 的两张卡片; {ξ =7}表示取出标有 1,6 或 2,5 或 3,4 的两张卡片: {ξ =8}表示取出标有 2,6 或 3,5 的两张卡片; {ξ =9}表示取出标有 3,6 或 4,5 的两张卡片; {ξ =10}表示取出标有 4,6 的两张卡片; {ξ =11}表示取出标有 5,6 的两张卡片. [点拨] 随机变量并不一定要取整数值,它的取值一般来源于实际问题,且有特定的含义,因此,可以是 R 中的任意值.但这并不意味着可以取任何值,它只能取分布列中的值。且随机变量取某值时,其所表示的某一试 验发生的概率必须符合 p1+p2+p3+?+pn=1. [误区指津] 应具体理解ξ 的实际意义,并将取值按从小到大的顺序排列,以防出现遗漏与重复. 母题迁移 1.投掷均匀硬币一次,随机变量为( ) . A.出现正面的次数 B.出现正面或反面的次数 C.掷硬币的次数 D.出现正、反面次数之和 考点 2 离散型随机变量的分布列 命题规律 依据分布列,考查离散型随机变量的分布列. [例 2]袋中有 3 个白球,3 个红球和 5 个黑球.从中抽取 3 个球,若取得 1 个白球得 1 分,取得 1 个红球扣 1 分,取得 1 个黑球得 0 分.求所得分数 X 的概率分布. [解析] 本题中的 X 指的是分数. [解] 得分 X 的取值为-3,-2,-1,0,1,2,3. X=-3 时表示取得 3 个红球,∴ P( X ? ?3) ?
3 C3 1 . ? 3 C11 165 1 C32C5 15 . ? 3 C11 165 1 1 C32C3 ? C3C52 39 . ? 3 C11 165

X=-2 时表示取得 2 个红球和 1 个黑球,∴ P( X ? ?2) ?

X=-1 时表示取得 2 个红球和 1 个白球,或 1 个红球和 2 个黑球,∴ P( X ? ?1) ?

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3 1 1 1 C5 ? C3C3C5 55 . ? 3 C11 165

?4?

X=0 时表示取得 3 个黑球或 1 个红球、1 个黑球和 1 个白球,∴ P( X ? 0) ?

X=1 时表示取得 1 个白球和 2 个黑球,或 2 个白球和 1 个红球,∴ P( X ? 1) ?
1 C32C5 15 . ? 3 C11 165

1 1 C3C52 ? C32C3 39 . ? 3 C11 165

X=2 时表示取得 2 个白球和 1 个黑球,∴ P( X ? 2) ?

X=3 时表示取得 3 个白球,∴ P( X ? 3) ? ∴所得分数 X 的概率分布为 X P -3 -2 -1

3 C3 1 . ? 3 C11 165

0

1

2

3

1 165

15 165

39 165

55 165

39 165

15 165

1 165

[点拨] 确定随机变量的可能取值和每一个可能取值的概率是求概率分布列的关键. [例 3] 从一批有 10 个合格品与 3 个次品的产品中,一件一件地抽取产品,设各个产品被抽取到的可能性相 同,在下列两种情况下,分别求出取到合格品为止所需抽取次数ξ 的分布列. (1)每次取出的产品都不放回该批产品中; (2)每次取出的产品都立即放回该批产品中,然后再取另一件产品. [解] (1)ξ 的取值分别为 1,2,3,4.

10 , 13 3 10 5 P(? ? 2) ? ? ? , 13 12 26 3 2 10 5 P(? ? 3) ? ? ? ? , 13 12 11 143 3 2 1 10 1 P(? ? 4) ? ? ? ? ? . 13 12 11 10 286 P (? ? 1) ?
故ξ 的分布列为 ξ P 1 2 3 4

1 286 10 3 10 ? , (2) =1, ξ 即第 1 次取到合格品, P (? ? 1) ? 故 ; =2, ξ 即第 2 次取到合格品, P(? ? 2) ? 故 ?; 13 13 12

10 13

5 26

5 143

?3? ξ =n,即第 n 次取到合格品,则前(n-1)次均抽到次品,故 P(? ? n) ? ? ? ? 13 ?
ξ P 1 2 3 ? ? n
2 n?1

n ?1

?
?

10 .故ξ 的分布列为 13

10 13

3 10 ? 13 13

? 3 ? 10 ? ? ? ? 13 ? 13

?3? ? ? ? 13 ?

?

10 13

?

[点拨] (1)不放回地抽取,ξ 可能的取值为有限的数值,然后分别求出相应的概率即可.
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?5?

(2)产品有放回,则每次抽取前的产品都是一样的,故ξ 取的可能值是无限的. 母题迁移 2.一批零件中有九个合格品,三个废品.安装机器时,从这批零件中随机抽取,取出的是废品则不放回, 求在第一次取到合格品之前取到废品数ξ 的分布列. 考点 3 分布列的性质 命题规律 利用分布列的性质 p1+p2+p3+?+pn=1 检验所求分布列的正确与否,或利用此性质求参数. [例 4] (1)随机变量孝的概率分布规律为 P(? ? n) ?

a (n=1,2,3,4) ,其中 a 是常数,则 n(n ? 1)

5? ?1 P ? ? ? ? ? 的值为( 2? ?2
A.

) .

2 3

B.

3 4

C.

4 5

D.

5 6
1 q2

(2)设ξ 是一个离散型随机变量,其分布列如下表,求 q 的值。 X P -1 0 1-2q

1 2

[解]

(1)因为 P(? ? n) ?

a a a a 5 a ? ? 1 ,所以 a ? ,因为 (n=1,2,3,4) ,所以 ? ? 2 6 12 20 4 n(n ? 1)

5? 5 1 5 1 5 ?1 P ? ? ? ? ? ? P(? ? 1) ? P(? ? 2) ? ? ? ? ? 。故选 D。 2? 4 2 4 6 6 ?2
(2)离散型随机变量的分布列满足①0≤pi≤1,i=1,2,3,?,n。

?1 2 ? 2 ? 1 ? 2q ? q ? 1 ? 2 ②p1+p2+p3+?+pn=1。所以 ?0 ? 1 ? 2q ? 1 ,解得 q ? 1 ? 。 2 ?0 ? q 2 ? 1 ? ?
[点拨] 由随机变量分布列的两条性质求 q。 母题迁移 3.设随机变量ξ 的分布列如下: ξ P 求 k 的值。 考点 4 两点分布 命题规律 投篮是否命中,抽取的一件产品是否为正品。 [例 5] 一个袋中有形状、大小完全相同的 3 个白球和 4 个红球。 1 k 2 2k ? ? 2 n
n-1

·k

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?6?

(1)从中任意摸出一球,用 0 表示摸出白球,用 1 表示摸出红球,即 X ? ?

?0, 摸出白球 ,求 X 的分布列; ?1, 摸出红球

(2)从中任意摸出两个球,用“X=0”表示两个球全是白球,用“X=1”表示两个球不全是白球,求 X 的 分布列。 [解析] (1)从任意摸一球,只有两种结果,或是红球,或不是红球(即白球) ,符合两点分布。 (2)从中 任意摸两个球,要么“全是白球” ,要么“不全是白球” ,只有这两种结果,故符合两点分布。 [解] (1)X 的分布列如下表: X P 0 1

3 7
0

4 7
1

(2)X 的分布列如下表: X P

C32 1 ? 2 C7 7

6 7

[点拨] (1)两点分布是一种常见的分布,它的特点是:X 的取值只有两种可能; (2)列两点分布列时要注意:保证其概率和为 1。 母题迁移 4.若离散型随机变量 X 的概率分布为 X P 0 9n -n
2

1 3-8n

试求出常数 n,并写出 X 的概率分布。

母题迁移答案 1.A 2.由题意知ξ 可知 0,1,2,3,则

P(? ? 0) ?

1 C9 3 ? , 1 C12 4 1 1 C3 C9 9 ? 1 ? , 1 C12 C11 44 1 1 1 C3 C2 C9 9 , ? 1 ? 1 ? 1 C12 C11 C10 220

P(? ? 1) ?

P(? ? 2) ?

1 1 1 1 C3 C2 C1 C9 1 。 P(? ? 3) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? C12 C11 C10 C9 220

ξ 的分布列如下: ξ P 0 1 2 3

3 4

9 44

9 220

1 220

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n ?1

?7?

3. 1 ? k ? 2k ? 4k ? ? ? 2

k ? k (1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2n ?1 ) ? k ?

1 1 ? 2n ? (2n ? 1)k ,∴ k ? n 。 2 ?1 1? 2

?(9n 2 ? n) ? (3 ? 8n) ? 1 ? 1 4.由题意得 ?1 ? 9n 2 ? n ? 0 ,解得 n ? ,从而 X 的概率分布为 3 ?1 ? 3 ? 8n ? 0 ?
X P 0 1

2 3

1 3

优化分层测训 学业水平测试 1.下列 X 是离散型随机变量的是( ) ①某座大桥一天经过的车辆数 X;②某无线寻呼台一天内收到寻呼的次数 X;③一天之内的温度 X;④一射 手对目标进行射击,击中目标得 1 分,未击中目标得 0 分,用 X 表示该射手在一次射击中的得分. A.①②③④ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 2.设离散型随机变量ξ 的概率分布如下: ξ P 则 p 的值为( A. ) . B. 1 2 3 4 p

1 6
1 4
C.

1 3
1 3
D.

1 6
1 6

1 2

3.已知随机变量ξ 的分布列为 P (? ? k ) ? A.

3 16

B.

1 4

C.

1 16

1 ,k=1,2,?,则 P(2<ξ ≤4)为( 2k 5 D. 16

) .

4.设袋中有 80 个红球,20 个白球,若从袋中任取 10 个球,则其中恰有 6 个红球的概率为(
4 6 C80C10 A. 10 C100 6 4 C80C10 B. 10 C100 4 6 C80C20 C. 10 C100 6 4 C80C20 D. 10 C100

) .

5.甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ 与η ,且ξ 与η 的分布列分别为 ξ P η P 1 a 1 0.3 2 0.1 2 b 3 0.6 3 0.3

则 a=________,b=________. 6.设某运动员投篮命中率为 0.7,求一次投篮中投中次数 X 的分布列.
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?8?

7.将一枚骰子掷 2 次,求下列随机变量的概率分布. (1)两次掷出的最大点数; (2)第一次掷出点数减去第二次掷出点数的差.

答案: 1.B [解析] 由离散型随机变量的定义知③中 X 的取值是一个范围,不能一一列举出来。 2.C [解析] 概率和为 1。 3.A [解析]

1 1 3 P(2 ? ? ? 4) ? P(? ? 3) ? P(? ? 4) ? ? ? 。 8 16 16

4.D

[解析]

P( X ? 6) ?

6 4 C80 ? C20 。 10 C100

5.0.3 0.4 [解析] ∵a+0.1+0.6=1,∴a=0.3。 ∵0.3+b+0.3=1,∴b=0.4。 6.X 的分布列为 X P X P (2)概率分布如下: X P -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 0 0.3 1 1 0.7 2 3 4 5 6

7. (1)概率分布如下:

1 36

1 12

5 36

7 36

1 4

11 36

1 36

1 18

1 12

1 9

5 36

1 6

5 36

1 9

1 12

1 18

1 36

高考能力测试 (测试时间:90 分钟 测试满分:120 分) 一、选择题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 1.①某机场候机室中一天的旅客数量 X;②某寻呼台一天内收到的寻呼次数 X;③某篮球下降过程中离地面的 距离 X;④某立交桥一天内经过的车辆数 X.其中不是离散型随机变量的是( ) . A.①中的 X B.②中的 X C.③中的 X D.④中的 X 2.抛掷 2 颗骰子,所得点数之和记为ξ ,那么ξ =4 表示的随机试验结果是( A.2 颗都是 4 点 B.1 颗是 1 点,另 1 颗是 3 点 C.2 颗都是 2 点 D.1 颗是 1 点、另 1 颗是 3 点,或 2 颗都是 2 点
i

) .

3.设随机变量 X 的分布列为 P( X ? i) ? a ? ? ? ,i=1,2,3,则 a 的值为(

?1? ? 3?

) .

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A.1 B.

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?9?

9 13

C.

11 13

D.

27 13

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 4.已知随机变量ξ 的分布列为 ξ P 0 0.16 1 0.22 2 0.24 3 4 0.10 5 0.06 6 0.01

则 P(ξ =3)________. 5.有以下三个随机变量: ①某无线寻呼台 1 分钟内接到的呼叫次数ξ ; ②一个沿数轴进行随机运动的质点,它在数轴上的位置对应的坐标ξ ; ③某人射击一次,中靶的环数ξ . 其中是离散型随机变量的是________. 6. (2010 年黄冈模拟题)袋中有 5 个白球和 3 个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个,取出后记下球的颜 色,然后放回,直到红球出现 10 次时停止,设停止时总共取了 X 次球,则 P(X=12)=________. (用式子表示) 三、解答题(共 90 分) 7. 分)写出下列各随机变量可能的取值,并说明随机变量所取的值所表示的随机试验的结果. (9 (1)从一个装有编号为 1 号到 10 号的 10 个球的袋中,任取 1 个球,被取出的球的编号为 X; (2)一个袋中装有 10 个红球,5 个白球,从中任取 4 个球,其中含红球的个数为 X; (3)投掷两枚均匀的骰子,所得点数之和为 X. 8. (10 分)盒子中有大小相同的球 10 个,其中标号为 1 的球有 3 个,标号为 2 的球有 4 个,标号为 5 的球有 3 个.第一次从盒子中任取 1 个球,放回后再任取 1 个球(每个球等可能取到) .记第一次与第二次取到球的标号 之和为 x,求 x 的概率分布. 9. (11 分)现有 10 张人民币,其中 8 张 2 元,2 张 5 元,从中同时任取 3 张,求所得金额的概率分布. 10. (12 分)从 4 名男生和 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛. (1)求所选 3 人都是男生的概率; (2)求所选 3 人中恰有 1 名女生的概率; (3)求所选 3 人中至少有 1 名女生的概率.

11. (12 分)袋内有 5 个白球,6 个红球,从中任意摸出两球,记 X ? ?

?0, 两球全红 ,求 X 的概率分布. ?1, 两球非全红

12. (12 分) (2011 年广东高考题)为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产 品中分别抽取 14 件和 5 件,测量产品中微量元素 x,y 的含量(单位:毫克) ,下表是乙厂的 5 件产品的测量数 据: 编号 x y 1 169 75 2 18 80 3 166 77
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4 175 70

5 180 81

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? 10 ?

(1)已知甲厂生产的产品共有 98 件,求乙厂生产的产品数量; (2)当产品中的微量元素 x,y,满足 x≥175 且 y≥75 时,该产品为优等品,用上述样本数据估计乙厂生 产的优等品的数量; (3)从乙厂抽出的上述 5 件产品中,随机抽取 2 件,求抽取的 2 件产品中优等品数ξ 的分布列.

13. (12 分)设随机变量ξ 的分布列为 P ? ? ? (1)求常数 a 的值; (2)求 P ? ? ?

? ?

k? . ? ? ak (k=1,2,3,4,5) 5?

? ?

3? ?; 5?

(3)求 P ?

7? ?1 ?? ? ? . 10 ? ? 10

14. (12 分) (2009 年四川高考题)为振兴旅游业,四川省 2001 年面向国内发行总量为 2000 万张的熊猫优惠卡, 向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡) ,向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡) .某旅游公司组织了一个 有 36 名游客的旅游团到四川名胜旅游,其中 内游客中有

3 1 是省外游客,其余是省内游客.在省外游客中有 持金卡,在省 4 3

2 持银卡. 3

(1)在该团中随机采访 3 名游客,求恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率; (2)在该团的省内游客中随机采访 3 名游客,设其中持银卡人数为随机变量ξ ,求ξ 的分布列.

答案: 1.C [解析] ①②④中的随机变量 X 可能取的值,我们都可以按一定次序一一列出,因此,它们都是离散型随 机变量。而③中 X 的可能取值无法按一定次序一一列出,故③中的 X 不是离散型随机变量。 2.D [解析] 由于抛掷 1 颗骰子可能出现的点数是 1,2,3,4,5,6 这 6 种情况之一,而ξ 表示抛掷 2 颗骰 子所得到的点数之和,所以ξ =4=1+3=2+2 表示的随机试验结果是:1 颗是 1 点、另一颗是 3 点,或者 2 颗都是 2 点,故选 D。 3.D [解析] 由分布列的性质有: P( X ? 1) ? P( X ? 2) ? P( X ? 3) ? a ? ? a ? ? ? a ? ? ? ?

1 3

?1? ? 3?

2

?1? ? 3?

3

13a ? 1,∴ 27

a?

27 13

4.0.21 [解析] P(ξ =3)=1―0.16―0.22―0.24―0.10―0.06―0.01=0.21。 5.①③ [解析] 考查离散型随机变量的概念。

? 5? ? 3? 6. C ? ? ? ? ? ? ?8? ?8?
2 11

2

10

7.解: (1)X 的可能取值为 1,2,3,?,10,X=k(k=1,2,?,10)表示取出 k 号球。 (2)X 的可能取值为 0,1,2,3,4,X=k 表示取出 k 个红球, (4―k)个白球,其中 k=0,1,2,3,4。 (3)X 的可能取值为 2,3,4,?,12。若以(i,j)表示投掷甲、乙两枚均匀骰子后骰子甲得 i 点且骰子
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? 11 ?

乙得 j 点,则 X=2 表示(1,1) ;X=3 表示(1,2)(2,1) , ;X=4 表示(1,3,, )(2,2)(3,1) , ;??;X=12 表示(6,6) 。 8.解:由题意得,随机变量 X 的取值是 2,3,4,6,7,10。概率分布列为 X P 2 0.09 3 0.24 4 0.16 6 0.18 7 0.24 10 0.09

9.解:设所得金额为 X,X 的可能取值为 6,9,12。

P( X ? 6) ?

3 C8 7 ? , 3 C10 15

1 C82C2 7 P( X ? 9) ? 3 ? , C10 15 1 2 C8C2 1 ? , 3 C10 15

P( X ? 12) ?

故 X 的概率分布为 X P 6 9 12

7 15

7 15
3 C4 1 ? 。 3 C6 5

1 15

10.解: (1)所选 3 人都是男生的概率为

1 2 C2C4 3 (2)所选 3 人恰有 1 名女生的概率为 ? 。 3 C6 5 1 2 2 1 C2C4 ? C2 C4 4 ? 。 3 C6 5

(3)所选 3 人中至少有 1 名女生的概率为

11.解:显然 X 服从两点分布, P( X ? 0) ? 所以 P( X ? 1) ? 1 ?

2 C6 3 ? , 2 C11 11

3 8 ? , 11 11
0 1

所以 X 的概率分布表为 X P

3 11

8 11 14 5 ? ,∴m=35。 98 m 2 ? 14 5

12.解: (1)设乙厂生产的产品数量为 m 件,依题意得

(2)∵题述样本数据中满足 x≥175,且 y≥75 的只有 2 件,∴估计乙厂生产的优等品的数量为 35 ? 件。 (3)依题意,ξ 可取值 0,1,2。则

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? 12 ?

P(? ? 0) ?

C32 3 C1C1 3 C2 1 ? , P(? ? 1) ? 2 2 3 ? , P(? ? 2) ? 2 ? 。 C52 10 C5 5 C52 10
0 1 2

∴ξ 的分布列为 ξ P

3 10 1 5
a

3 5 2 5
2a

1 10 3 5
3a

13.解:由已知分布列为: ξ P

4 5
4a

1 5a

(1)由 a+2a+3a+4a+5a=1,得 a ? (2) P ? ? ?

1 ; 15

? ?

3? 3? 4? 3 4 5 4 ? ? ? ? P ? ? ? ? ? P ? ? ? ? ? P(? ? 1) ? ? ? ? , 5? 5? 5? 15 15 15 5 ? ?

或 P ?? ?

? ?

3? 2? ? ?1 2? 4 ? ? 1? P ?? ? ? ? 1? ? ? ? ? ; 5? 5? ? ? 15 15 ? 5
1 7 1 2 3 ? ? ? ,所以只有 ? ? , , 满足, 10 10 5 5 5

(3)因为

故 P?

7? 1? 2? 3? 1 2 3 2 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? P ?? ? ? ? P ?? ? ? ? P ?? ? ? ? ? ? ? 。 10 ? 5? 4? 5 ? 15 15 15 5 ? 10 ? ? ?

14.解:由题意得,省外游客有 27 人,其中 9 人持金卡;省内游客有 9 人,其中 6 人持银卡。 (1)设事件 B 为“采访该团 3 人中,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人” , 事件 A1 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,0 人持银卡” , 事件 A2 为“采访该团 3 人中,1 人持金卡,1 人持银卡” 。 则 P( B) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ?
1 2 1 1 1 C9C21 C9C6C21 9 27 36 ? ? ? ? 。 3 3 C36 C36 34 170 85

所以在该团中随机采访 3 人,恰有 1 人持金卡且持银卡者少于 2 人的概率是 (2)ξ 的可能取值为 0,1,2,3。

36 。 85

P(? ? 0) ?

3 C3 C1C 2 3 1 ? , P(? ? 1) ? 6 3 3 ? , 3 C9 84 C9 14 2 1 C6 C3 15 C3 5 , P(? ? 3) ? 6 ? , ? 3 3 C9 28 C9 21

P(? ? 2) ?

所以ξ 的分布列为 ξ P 0 1 2 3

1 84

3 14

15 28

5 21

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