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必修1-1-12 函数的单调性(2)


必修1 P30~31

单调性、最值

函数的单调性(2)
学习目标:
理解函数的单调性的性质,理解增函数、减函数的定 义及图象特征,能够用定义证明(或判断)某些函数的单调 性(增减性),培养数形结合、化归转化等能力.

学习重点:
用定义证明函数的单调性,用单调性求值域.

复习巩固:
1.增函数、减函数 (1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区 间D上是增函数; 即 增函数: x1<x2 ? f(x1)<f(x2); (2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量 x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区 间D上是减函数; 即 减函数: x1<x2 ? f(x1)>f(x2);
2.用定义证明函数单调性的五个步骤? 设任意x1,x2 →作差(商) →变形 →判断符号 →结论

自主探究: P30

自主探究: P30

1 1.画出反比例函数 f ( x) ? 的图象. x

(1)这个函数的定义域I是什么?

y

(2)指出它在定义域I上的单调性是怎样的?
∞,0)∪(0,+∞) 解:(1)定义域I是(_________________.

减 函数; (2)函数在区间(-∞,0)上是___
减 函数; 在区间(0,+∞)上是___
1 注意:反比例函数 f ( x) ? x 在

y2
x1
0 x2

x

y1

,也不是增函数 定义域I上不是减函数 _______________________.

2.最大值(max),最小值(min)

重点关注: 最值
2.最大值(max),最小值(min) 定义域中最大的函数值称为最大值;
定义域中最小的函数值称为最小值.
2

y

模仿学习: P31例4 深入探究:例5
例5.利用绘图软件先作出
函数 f ( x) ? ?1 ?
2 的图象, x ?1

x o 1 o1 ?1
-2 5

2 f(x) = -1+ x-1

然后证明函数f(x)在(1,+∞) 上的单调性.

-4

x∈(-∞,1)∪(1,+∞) ; 分析:函数f(x)的定义域____________________ y∈(-∞,-1)∪(-1,+∞) 值域_______________________.

深入探究:例5

2 例5.证明函数 f ( x) ? ?1 ? x ? 1 在(1,+∞)上的单调性.

分析:根据图象知:函数f(x)在(1,+∞)上是减函数, 证明: 设x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则
2 2 ? 2 ? ? 2 ? ? ? f(x1)-f(x2)= ? ? ?1 ? x ?1 ? ??? ? ?1? x ?1 ? ? x ?1 x ?1 2 1 2 ? ? ? ? 1 2?x2 ? 1? ? 2?x1 ? 1? 2?x2 ? x1 ? ? ? ?x1 ? 1??x2 ? 1? ?x1 ? 1??x2 ? 1?

∵x2>x1>1

∴x2-x1>0, x1-1>0, x2-1>0,
即 f(x1)>f(x2),

∴ f(x1)-f(x2)>0,

故 函数f(x)在(1,+∞)上是减函数.

合作学习: 1、2、3
1.求函数y=2x+5,(0≤x<4)的值域. 解: ∵函数y=2x+5在x∈[0,4)上↗, f(4)=13(取不到) ∴ymin=______ f(0)=5 , ymax=_______________, y∈[5,13) 故 值域为___________.

y

y=2x+5
x
0

2 2.求函数 y ? ? x ,(1≤x<4)的值域. x 2 解:∵ y ? 在[1,4)上为减函数 ______, y ? ? x在[1,4)上为减函数 ______, x 2 f ( x ) ? ? x在[1,4)上为_______, ∴函数 减函数 x 7 f (4) ? ? (取不到) ∴ ymax=________ f(1)=1 , ymin=_________________, 2



? 7 ? ? ? ,1? 值域为y∈_______. ? 2 ?

合作学习: 3题

y
1

2 3.求函数 f ( x) ? ?1 ? , x ?1

x∈(-∞,0]∪[2,3)的值域.

x

注意:利用单调性, 分区间求值域.
f (2) ? 1,

o 1 2 3 o1 ?1

?3 (取不到) , 解: f (0) ? ?3, f (??) ? ?1

f (3) ? 0, (取不到)

∵f(x)在(-∞,0]上↘,

-3≤f(x)<-1 ∴x∈(-∞,0]时,_____________;
0<f(x)≤1 同理f(x)在[2,3)上↘, ∴x∈[2,3)时,__________;

故函数f(x)的值域为___________________. y∈[-3,-1)∪(0,1]

勇攀高峰:例6
例6.已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1在(-∞,1]上是↘, 求实数a的取值范围. 解:二次函数f(x)=(x-a)2 -1的对称轴为直线 _________. x=a
∴二次函数f(x)的减区间为________ (-∞,a] 依题意知: (-∞,1] ? (-∞,a] 即 a≥1
a
x

巩固练习:
P 39 B1 P 、 5 39 A4

学后反思:
1.本节课的主要内容是什么? 2.通过本节课的探究学习,有什么体会?

巩固作业:
1.课堂作业:P39 A2 2.家庭作业:P

y

?R

? ?

? P1 P

谢谢同学们认真上课!

积极思考!

加油!


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