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立体几何(经典题目总结)


立体几何
By Ada 南京师范大学 50.如图, 四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形, O 为底面中心, A1O ⊥平 面 ABCD , AB ? AA1 ? 2 . (Ⅰ) 证明: A1C ⊥平面 BB1 D1 D ; (Ⅱ) 求平面 OCB1 与平面 BB1 D1 D 的夹角 ? 的大小.
D1 A1 B1 C1

D A O B

C

/ / / 51. 如图 , 直三棱柱 ABC ? A B C , ?BAC

? 90 AB ? AC ? 2, AA? ? 1, 点 M , N 分

/ / / 别为 A B 和 B C 的中点.
/ / (Ⅰ)证明: MN ∥平面 A ACC ;

(Ⅱ)求三棱锥 A? ? MNC 的体积.

/ / / 52.如图,直三棱柱 ABC ? A B C , ?BAC ? 90 ,

AB ? AC ? ? AA/ , 点 M , N 分别为 A/ B 和 B / C / 的中点.
/ / (Ⅰ)证明: MN ∥平面 A ACC ;
/ (Ⅱ)若二面角 A ? MN ? C 为直二面角,求 ? 的值.

1

立体几何
53. 在 如 图 所 示 的 几 何 体 中 , 四 边 形 A B C D 是等 腰梯 形 ,

AB ∥ CD , ?DAB ? 60 , FC ? 平 面

ABCD, AE ? BD, CB ? CD ? CF .
(Ⅰ)求证: BD ? 平面 AED ; (Ⅱ)求二面角 F ? BD ? C 的余弦值.

54.如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 平面 PAD ? 平面 ABCD ,

AB ? AD, ?BAD ? 60? , E, F 分别是 AP, AD 中点,求证:
(1)直线 EF // 平面 PCD ; (2)平面 BEF ? 平面 PAD .

(第16题图)

55.下列四个正方体图形中,A、B 为正方体的两个顶点,M、N、P 分别为其所在棱的中点, 能得出 AB∥面 MNP 的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号).

2

立体几何
56.如图,在斜三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,点 O, E 分别是 A1C1 , AA 1 的中点, A ? O 平面

A1 B1C1 .已知 ?BCA ? 90, AA1 ? AC ? BC.

(1)证明: OE // 平面 AB1C1 ;(2)求异面直线 AB1 与 A1C 所成的角;

(3)求 A1C1 与平面 AA 1 B1 所成角的正弦值.

57.如图, 已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,AB ? 5, AC ? 4, BC ? 3, AA 点 D 在 AB 1 ? 4, 上. (1)若 D 是 AB 中点,求证: AC1 // 平面 B1CD ;

(2)当

= 时,求二面角 B ? CD ? B1 的余弦值.

58.如图,在棱长均为 4 的三棱柱 ABC ? A1 B1C1 1 中, D, D1 分别是 BC 和 B1C1 的中点. (1)求证: A1 D1 // 平面 AB1 D ; (2)若平面 ABC ⊥平面 BCC1 B1 , ?B1 BC ? 60 ,求三棱锥 B1 ? ABC 的体积.
?

3

立体几何

9 59.已知三棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧棱与底面垂直,体积为 4 ,底面是边长为 3 的正三角形.
若 P 为底面 为
O

A1B1C1 的中心,则 PA 与平面 ABC 所成角的大小
B

5? A. 12

? B. 3

? C. 4

? D. 6
A M

N

60. 已知平面 ? 截一球面得圆 M , 过圆心 M 且与 ? 成 60 ? 二面角的平面 ? 截该球面得圆

N .若该球面的半径为 4,圆 M 的面积为 4? ,则圆 N 的面积为 (A) 7? (B) 9? (C) 11? (D) 13?

61.如图,直四棱柱

ABCD ? A1 B1C1 D1 , AB // CD, AD ? AB, AB ? 2, AD ? 2, AA1 ? 3, E 为 CD 上一点,
DE ? 1, EC ? 3.
(1)证明: BE ? 平面 BB1C1C ;

4

立体几何
(2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离.

62.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB // CD, AB ? AD, CD ? 2 AB, 平面 PAD ? 底面

ABCD , PA ? AD . E , F 分别是 CD, PC 的中点,求证:
(Ⅰ) PA ? 底面 ABCD ; (Ⅱ) BE // 平面 PAD ; (Ⅲ)平面 BEF ? 平面 PCD .

63.如图,已知三棱锥 P ? ABC, ? ACB ? 90 , CB ? 4, AB ? 20, D 为 AB 中点, M 为
?

PB 的中点,且 ?PDB 是正三角形, PA ? PC .
(1)求证: DM // 平面 PAC ; (2)求证:平面 PAC ⊥平面 ABC ; (3)求二面角 D ? AP ? C 的正弦值. (4)求三棱锥 M ? BCD 的体积.

5

立体几何

64.如图, 四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, 侧棱 A1 A ? 底面 ABCD , AB // CD, AB ? AD,

AD ? CD ? 1, AA1 ? AB ? 2, E 为棱 AA1 的中点.
(Ⅰ) 证明 B1C1 ? CE ; (Ⅱ) 求二面角 B1 ? CE ? C1 的正弦值. (Ⅲ) 设点 M 在线段 C1 E 上, 且直线 AM 与平面 ADD1 A1 所成角的正弦值为

2 , 求线段 6

AM 的长.

65.已知 m, n 为异面直线, m ? 平面 ? , n ? 平面 ? .直线 l 满足 l ? m, l ? n, l ? ? , l ? ? , 则 A. ? // ? ,且 l // ? C. ? 与 ? 相交,且交线垂直于 l B. ? ? ? ,且 l ? ? D. ? 与 ? 相交,且交线平行于 l

6

立体几何
66. 已知矩形 ABCD, AB ? 1, BC ? 着,在翻着过程中, A.存在某个位置,使得直线 AC 与直线 BD 垂直 B.存在某个位置,使得直线 AB 与直线 CD 垂直 C.存在某个位置,使得直线 AD 与直线 BC 垂直 D.对任意位置,三直线“ AC, BD ”,“ AB, CD ”,“ AD, BC ”均不垂直

2, 将 ?ABD 沿矩形的对角线 BD 所在的直线进行翻

67. 在 如 图 所 示 的 几 何 体 中 , 四 边 形 ABCD 是 等 腰 梯 形 ,

AB



CD

,

?DAB ? 60 , FC ?





ABCD, AE ? BD, CB ? CD ? CF .
(Ⅰ)求证: BD ? 平面 AED ; (Ⅱ)求二面角 F ? BD ? C 的余弦值.

68.如图 5 所示,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为矩形, PA ? 平面 ABCD ,点 E 在线段

PC 上, PC ? 平面 BDE .
(Ⅰ)证明: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ)若 PA ?1 , AD ? 2 ,求二面角 B ? PC ? A 的正切值.

69.(1)如图,证明命题“ a 是平面 ? 内的一条直线, b 是 ? 外的一条直线( b 不垂直于 ? ), c 是直线 b 在 ? 上的投影,若 a ? b ,则 a ? c ”为真. (2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假 (不需要证明)

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立体几何
70.如图 , 在三棱锥 S ? ABC 中 , 平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB , 过 A 作 AF ? SB ,垂足为 F ,点 E,G 分别是棱 SA ,SC 的中点.求证: (1)平面 EFG // 平面 ABC ; (2) BC ? SA .

S
E
F

G C

A B

71.如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C 中,侧棱 AA1 ? 底面 ABC, AB ? AC ? 2 AA 1

?BAC ? 120 , D, D1 分别是线段 BC, B1C1 的中点, P 是线段

AD 的中点.
(Ⅰ)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1 BC 平行的直线 l ,说明理由,并证明直线 l ? 平 面 ADD1 A1 ; (Ⅱ)设(Ⅰ)中的直线 l 交 AB 于点 M ,交 AC 于点 N ,求二面角 A ? A1M ? N 的余弦值.

C A C1 A1 P

D B D1 B1

? 72.如图,三棱柱 ABC ? A1B1C 中, CA ? CB, AB ? AA 1 , ?BAA 1 ? 60 .

(1)证明: AB ? A1C (2) 若平面 ABC ? 平面 AA 1C 与平面 BB 1 B1 B, AB ? CB, 求直线 A 1C1 C 所成角的正弦值.

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立体几何

73.如图 1,在等腰直角三角形 ABC 中, ?A ? 90? , BC ? 6 , D, E 分别是 AC , AB 上的 点, CD ? BE ? 2 , O 为 BC 的中点.将 ?ADE 沿 DE 折起,得到如图 2 所示的四棱锥

A? ? BCDE ,其中 A?O ? 3 . (Ⅰ) 证明: A?O ? 平面 BCDE ; (Ⅱ) 求二面角 A? ? CD ? B 的平面角的余弦值.

C D

O . E

B

A?

C A 图1 D

O E 图2

B

? 74.在等腰梯形 ABCD 中, AD ? BC, AD ? 2BC, ?ABC ? 60 , N 是 BC 的中点.将梯

形 ABCD 绕 AB 旋转 90°,得到梯形 AB C ?D ? (如图). (Ⅰ)求证: AC ? 平面 AB C ? ; (Ⅱ)求证: C ?N // 平面 AD D ? ; (Ⅲ)求二面角 A ? C ?N ? C 的余弦值.

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立体几何
75. 如图所示,在直角梯形 ABCP 中, AP // BC , AP ? AB , AB ? BC ?

1 AP ? 2, D 是 2

AP 的中点, E , F , G 分别为 PC, PD, CB 的中点,将 ?PCD 沿 CD 折起,使得 PD ? 平面
ABCD .
(1)求证: AP // 平面 EFG ; (2)求二面角 G ? EF ? D G-EF-D 的大小. (3)求三棱锥 D ? PAB 的体积.

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