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高考新课标数学(理)课时作业:2.8 函数模型及其应用


2.8

函数模型及其应用

厦门模拟)下列函数中, 1.(2012· 随 x(x>0)的增大, 增长速度最快的是( ) A.y=1,x∈Z B.y=x x C.y=2 D.y=ex 解:指数函数模型增长速度最快,并且 e>2,因 而 y=ex 增长速度最快,故选 D. 2.已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同 一路线(假定为直线)行驶

,甲、乙车的速度曲线分别 为 v 甲和 v 乙,如图所示,那么对于图中给定的 t0 和 t1,

?c=60, ? 解得? 故选 D. ?A=16. ? 5.已知 A、B 两地相距 150 km,某人开汽车以 60 km/h 的速度从 A 地到达 B 地,在 B 地停留 1 h 后 再以 50 km/h 的速度返回 A 地.把汽车离 A 地的距离 x(km)表示为时间 t(h)的函数表达式是( ) A.x=60t B.x=60t+50t ?60t,0≤t≤2.5, ? C.x=? ? ?150-50t,t>3.5 ?60t,0≤t≤2.5,

D.x=?150,2.5<t≤3.5,

?

? ?150-50(t-3.5),3.5<t≤6.5

下列判断中一定正确的是( ) A.在 t1 时刻,甲车在乙车前面 B.t1 时刻后,甲车在乙车后面 C.在 t0 时刻,两车的位置相同 D.t0 时刻后,乙车在甲车前面 解:由图象可知,曲线 v 甲比 v 乙在 0~t0,0~t1 与 t 轴所围成的图形面积大,则在 t0,t1 时刻,甲车均 在乙车前面.故选 A. 3.某学校开展研究性学习活动,某组同学获得了 下面的一组实验数据: x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些 数据的规律,其中最接近的一个是( ) x 1? A.y=2x-2 B.y=? ?2? 1 C.y=log2x D.y= (x2-1) 2 1 2 解:通过描点可知,y= (x -1)最符合要求.故 2 选 D. 4.根据统计,一名工人组装第 x 件某产品所用的 c ,x<A, x 时间(单位:min)为 f(x)= (A,c 为常数). c ,x≥A A 已知工人组装第 4 件产品用时 30 min,组装第 A 件产 品用时 15 min,那么 c 和 A 的值分别是( ) A.75,25 B.75,16 C.60,25 D.60,16 c =30, 2 ?f(4)=30, ? 解:由? 即 c ? ?f(A)=15, =15, A

150 解:∵ =2.5,∴当 0≤t≤2.5 时,汽车离 A 地的 60 距离 x=60t; 然后在 B 地停留 1 h, 故当 2.5<t≤3.5 时, 150 x=150;又知返回速度为 50 km/h,且 =3,所以当 50 3.5<t≤6.5 时,x=150-50(t-3.5).故选 D. 武汉模拟)如图所示,将桶 1 中的水缓慢 6.(2012· 注入空桶 2 中,开始时桶 1 中有 a 升水,t min 后剩余 的水符合指数衰减曲线 y1=ae-nt,那么桶 2 中的水就 是 y2=a-ae-nt.假设过 5 min 后, 桶 1 和桶 2 的水量相 a 等,则再过 m min 后桶 1 中的水只有 升,则 m 的值 8 为( )

? ? ?

D.10 1 1 ?5 解:由题意得 ae-5n=a-ae-5n?e-n=? ?2? .再经过 a a m min 后,桶 1 中的水只有 升,则有 ae-n(5+m)= ,即 8 8 5+m 3 1? 5 m+5 - ?1? e-n(5+m)=2 3,亦即? ?2? =?2? ,∴ 5 =3,解得 m =10.故选 D. 7.某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间 段进行分时计价,该地区的电网销售电价表如下: 高峰时间段用电价格表 高峰月用电量 (单位: 千瓦时) 高峰电价 (单位:元/ 千瓦时) 0.568 0.598 低谷时间段用电价格表 低谷月用 低谷电价 电量(单 (单位:元/ 位:千瓦 千瓦时) 时) 50 及以下 0.288 部分 超过 50 至 0.318

A.7

B.8

C.9

? ? ?

50 及以下部分 超过 50 至 200

200 的部 分 超过 200 的部 超过 200 0.668 0.388 分 的部分 若某家庭 5 月份的高峰时间段用电量为 200 千瓦 时,低谷时间段用电量为 100 千瓦时,则按这种计费 方式该家庭本月应付电费为 元(用数字作答). 解: 高峰时段电费 a=50× 0.568+(200-50)× 0.598 = 118.1( 元 ) ;低谷时段电费 b = 50× 0.288 + (100 - 50)× 0.318=30.3(元).故该家庭本月应付的电费为 a+b=148.4(元).故填 148.4. 8.为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进 行消毒.已知药物释放过程中, 室内每立方米空气中的 含药量 y(毫克)与时间 t(小时)成正比;药物释放完毕 1 ?t-a 后,y 与 t 的函数关系式为 y=? 16 ? ? (a 为常数),如图 所示.

的部分

(1)求这个容器的体积 V(x); (2)求使 V(x)为最大值时的 x 及 V(x)的对应值.

据图中提供的信息,回答下列问题: (1) 从药物释放开始,每立方米空气中的含药量 y( 毫 克 ) 与 时 间 t( 小 时 ) 之 间 的 函 数 关 系 式 为 ; (2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到不 高于 0.25 毫克时,学生方可进教室,那么从药物释放 开始,至少需要经过 小时后,学生才能回到 教室. 解: (1)由题意和图示, 当 0≤t≤0.1 时, 可设 y=kt(k 为待定系数),由于点(0.1,1)在直线上,∴k=10;同 1 ?0.1-a 1 理,可得 1=? ?16? ?0.1-a=0?a=10, ?10t,0≤t≤0.1,
1 故所求的函数关系式为 y=? 1 t-10 ? ? ? ??16? ,t>0.1. t- ? ?? 1 ? 10≤1, 1 4 ? (2)由题意可得 y≤0.25= ,即??16? 4 ? ?t>0.1 1

解:(1)容器底边长为 a-2x,高 h 可以由原图形 中求得, x h=x· tan30° = , 3 3 x 故 V(x)= (a-2x)2· 4 3 1 2 = (a-2x) · x 4 1 a =x3-ax2+ a2x,0<x< . 4 2 1 (2)∵V ′(x)=3x2-2ax+ a2. 4 a a 令 V ′(x)=0,得 x= 或 x= (舍去), 6 2 a 即 x= 时,V(x)取得极大值,也是最大值,最大 6 a3 值为 . 54 a a3 ∴当截取的线段为 时,容器有最大容积为 . 6 54 2012· 山东模拟 10.( )某公司计划投资 A,B 两种 金融产品,根据市场调查与预测,A 产品的利润与投 资金额成正比,其关系如图 1;B 产品的利润与投资 金额的算术平方根成正比,其关系如图 2(注:利润与 投资金额单位:万元).

?

t≥0.6,至少需要经过 0.6 小时后,学生才能回到教室. ?10t,0≤t≤0.1,
1 故填(1)y=? 1 t-10 (2)0.6. ? ? , t > 0.1 ; ? ??16? 9.如果从边长为 a 的正三角形的各顶点出发,在 各边上截取长度为 x 的线段,以这些线段为边做成有 两个角是直角的四边形有三个, 把这三个四边形剪掉, 用剩下部分折一个底为正三角形的无盖柱形容器.

?

(1)分别将 A,B 两种产品的利润表示为投资金额 的函数关系式; (2)该公司已有 10 万元资金,并全部投入 A,B 两 种产品中.问怎样分配这 10 万元投资,才能使公司获 得最大利润?其最大利润为多少万元? 解:(1)设投资 x 万元,A 产品的利润为 f(x)万元, B 产品的利润为 g(x)万元, 依题意可设 f(x)=k1x,g(x)=k2 x. 1 由图 1,得 f(1)=0.2,即 k1=0.2= , 5 由图 2,得 g(4)=1.6,即 k2× 4=1.6,所以 4 k2= . 5 1 4 故 f(x)= x(x≥0),g(x)= x(x≥0). 5 5 (2)设 B 产品投入 x 万元, 则 A 产品投入 10-x 万 元,设企业利润为 y 万元, 1 4 由 (1) 得 y = f(10 - x) + g(x) = - x + x+ 5 5

2(0≤x≤10). 1 4 1 14 因为 y=- x+ x+2=- ( x-2)2+ ,0≤ x 5 5 5 5 ≤ 10, 14 所以当 x=2,即 x=4 时,ymax= =2.8. 5 因此当 A 产品投入 6 万元, B 产品投入 4 万元时, 该企业获得最大利润为 2.8 万元. 11.研究表明: 使全球气候逐年变暖的一个重要因 素是人类在能源利用与森林砍伐中使 CO2 浓度增加. 据测,2007 年、2008 年、2009 年大气中的 CO2 浓度 分别比 2006 年增加了 1 个可比单位、3 个可比单位、 6 个可比单位.若用一个函数模拟每年 CO2 浓度增加的 可比单位数与年份增加数 x 的关系,模拟函数可选用 二次函数 f(x)=px2+qx+r 或函数 y=a· bx+c(其中 a, b, c 为常数), 且又知 2011 年大气中的 CO2 浓度比 2006 年增加了 16 个可比单位, 请问用以上哪个函数作为模 拟函数较好? 解: 若以 f(x)=px2+qx+r 作模拟函数, 则依题意 ?p+q+r=1, 得:?4p+2q+r=3,

m-45. n ∵- <0, ∴当 x<m-45 时, 函数 y 是递增的 ; 50 当 x>m-45 时,函数 y 是递减的. ∵该公司正常运转所需人数不得少于现有职员 3 的 , 4 3 m ∴2m-x≥ × 2m,∴0<x≤ . 4 2 m ∵m 为偶数,∴ 为整数. 2 又∵160<2m<630,∴80<m<315. m (1)当 0<m-45≤ , 2 解得 45<m≤90, ∴80<m≤90 时 , x=m-45 时, y 取最大值. m (2)当 m-45> , 2 m 即 90<m<315 时,x= 时,y 取到最大值. 2 综上所述,当 80<m≤90 时,应裁员(m-45)人; m 当 90<m<315 时, 应裁员 人, 公司才能获得最大的 2 经济效益.

?

? ?9p+3q+r=6.

1 1 1 1 解得 p= ,q= ,r=0,所以 f(x)= x2+ x. 2 2 2 2 ab + c =1, ?
2 若以 g(x)=a· bx+c 作模拟函数,则?ab +c=3,

?

? ?ab3+c=6.

8 3 解得 a= ,b= ,c=-3. 3 2 8 ?3?x 所以 g(x)= · -3. 3 ?2? 利用 f(x),g(x)对 2011 年的 CO2 浓度作估算,则 其数值分别为:f(5)=15 可比单位,g(5)=17.25 可比 单位, 1 1 ∵|f(5)-16|<|g(5)-16|,故选 f(x)= x2+ x 作为 2 2 模拟函数较好. 有一家公司准备裁减人员 . 已知这家公 司现有职员 2m(160<2m<630,且 m 为偶数)人,每 人每年可创利 n(n>0)万元.据评估, 在经营条件不变的 前提下,每裁员 1 人,则留岗职员每人每年多创利 0.02n 万元,但公司需付下岗职员每人每年 0.8n 万元 的生活费,并且该公司正常运转所需人数不得少于现 3 有职员的 .为获得最大的经济效益,该公司应裁员多 4 少人? 解:设裁员 x 人,可获得的经济效益为 y 万元, 则 y=(2m-x)(n+0.02nx)-0.8nx. n 整理得 y=- [x2-2(m-45)x]+2mn,则二次函 50 n 数 y=- [x2-2(m-45)x]+2mn 的对称轴方程为 x= 50


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