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高中数学数列求和专题复习


数列求和例题精讲
1. 公式法求和 (1)等差数列前 n 项和公式 (2)等比数列前 n 项和公式

3.并项法求和 例 5.数列 ?an ? 中, an ? (?1) n?1 n 2 ,求 S100 。

Sn ?

n(a1 ? a n ) n(a k ?1 ? a n ? k ) n(n ? 1) ? ? na1 ? d 2 2 2

q ? 1时
q ? 1时

S n ? na1
a1 (1 ? q n ) a1 ? a n q Sn ? ? 1? q 1? q
n(n ? 1) 2
2

例 6.数列 ?an ? 中, an ? (?1) n 4n ,求 S 20 及 S 35 。 ,

(3)前 n 个正整数的和

1? 2 ? 3 ??? n ?
2 2 2

4.错位相减法求和

n(n ? 1)( 2n ? 1) 前 n 个正整数的平方和 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? 6 n(n ? 1) 2 3 3 3 3 ] 前 n 个正整数的立方和 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? [ 2 公式法求和注意事项 (1)弄准求和项数 n 的值; (2)等比数列公比 q 未知时,运用前 n 项和公式要分类。

若 ?a n ?为等差数列,?b n ?为等比数列,求数列 ?a n b n ?(差比数列)前n项 和,可由Sn ? qSn 求Sn ,其中q为?b n ?的公比。

例 7.求和 1 ? 2 x ? 3x ? ? ? nx
2

n ?1

(x ? 0) 。

,7?3 例 1.求数列 1 4,, ,n ? 1 的所有项的和
5.裂项法求和:把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项。 例 8.求和 例 2.求和 1 ? x ? x ? ? ? x
2 n?2

1 1 1 1 ? ? ??? 。 1? 3 3 ? 5 5 ? 7 (2n ? 1)(2n ? 1)

( n ? 2, x ? 0 )

2.分组法求和 例 3.求数列 1, 1 ? 2 , 1 ? 2 ? 3 ,…, 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n 的所有项的和。

例 9.求和

1 2 ?1

?

1 3? 2

?

1 2? 3

???

1 n ?1 ? n



例 4.已知数列 ?an ? 中, a n ? ?

?5n ? 1 (n为奇数) ? ,求 S 2 m 。 ?( 2 ) n (n为偶数) ?

[练习]

求和:1 ?
1

1 1 1 ? ? …… ? 1? 2 1? 2 ? 3 1 ? 2 ? 3 ? …… ? n

(a n ? …… ? ……,S n ? 2 ?

1 ) n ?1

2 2 2 3、已知数列 {an } 的前 n 项和 S n ? 2 n ? 1 ,则 a1 ? a2 ? ?an 等于

(

)

A. (2n ? 1) 2

B. (2 ? 1)
n

1 3

C. 4 ? 1
n

D. (4 ? 1)
n

1 3

6 . 倒序相加法:把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加。

4、数列 {an } 的通项公式 an ? A.11 B.99

1 n ? n ?1

(n ? N * ) ,若前 n 项和为 10,则项数 n 为
D.121

(

)

S n ? a 1 ? a 2 ? …… ? a n ?1 ? a n ? ? ?相加 S n ? a n ? a n ?1 ? …… ? a 2 ? a 1 ? ?

C.120

2Sn ? ?a1 ? a n ? ? ?a 2 ? a n?1 ? ? …… ? ?a1 ? a n ?……
[练习]

5、在数列 {an } 中, a1 ? 1, a2 ? 2 且 an?2 ? an ? 1 ? (?1) n (n ? N * ) ,则 S100 ? 6、已知 S n ? 1 ? 5 ? 9 ? 13 ? 17 ? 21? ? ? (?1) n?1 (4n ? 3) ,则 S15 ? S 22 ?

. .

已知f ( x) ?

x2 ? 1? ? 1? ? 1? ,则f (1) ? f (2) ? f ? ? ? f (3) ? f ? ? ? f (4) ? f ? ? ? 2 ? 2? ? 3? ? 4? 1? x

x ? 1? (由f ( x) ? f ? ? ? ? ? x? 1 ? x2
2

x2 1 ? ? ?1 2 2 1? x 1 ? x2 ? 1? 1? ? ? ? x?

? 1? ? ? ? x?

2

2 7、已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 m ? 1, m ? N , am?1 ? am?1 ? am ? 0, S 2m?1 ? 38 ,则 m




2

8、已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,当 n ? 2 时,其前 n 项和 S n 满足 S n ? a n ( S n ? ) 。 (1)求 S n 的表达式; (2)设 bn ?

1 2

? ? 1? ? ? ? 1? ? ? ? 1? ? ∴原式 ? f (1) ? ?f (2) ? f ? ? ? ? ?f (3) ? f ? ? ? ? ?f (4) ? f ? ? ? ? 2? ? ? ? 3? ? ? ? 4? ? ?
? 1 1 ?1?1?1 ? 3 ) 2 2

Sn ,求 {bn } 的前 n 项和 Tn . 2n ? 1

9、等比数列 {an } 同时满足下列条件:① a1 ? a6 ? 33,② a3 a4 ? 32 ,③三个数 4a2 ,2a3 , a4 依次成 专题训练 数列求和练习 等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)记 bn ? ( )

1 ,则数列 {an } 的前 n 项和为 1? 2 ? 3 ??? n 2n 2n n?2 n A. B. C. D. n ?1 2n ? 1 n ?1 2n ? 1 1 1 1 1 2、数列 1 ,2 ,3 ,4 ,? 的前 n 项和可能为 2 4 8 16 1 2 1 1 2 1 A. (n ? n ? 2) ? n B. ( n ? n) ? 1 ? n ?1 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 C. (n ? n ? 2) ? n D. (n ? n) ? 2(1 ? n ) 2 2 2 2
1、数列 {an } 的通项 a n ?

n ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn. an

(

)

10、等差数列 {an } 各项均为正整数, a1 ? 3 ,前 n 项和为 S n ,在等比数列 {bn } 中, b1 ? 1 且

b2 S 2 ? 64 ,公比为 8。
(1)求 an 和 bn ; (2)证明:
2

1 1 1 3 ? ??? ? 。 S1 S 2 Sn 4


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