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2014世纪金榜二轮专题检测卷(九) 专题三 第二讲


专题检测卷 (九)
函数 y=Asin( ω x+φ)的图象与性质 (40 分钟) 一、选择题 1.已知函数 f(x)=sin 错误!未找到引用源。(ω >0)的最小正周期为π ,则该函 数的图象 ( A.关于点错误!未找到引用源。对称 B.关于直线 x=错误!未找到引用源。对称 C.关于点错误!未找到引用源。对称 D.关于直线 x=错误!未找到引用源。对称 2.(2013 ·浙江高考)函数 f(x)=sinxcosx+错误!未找到引用源。cos2x 的最小 正周期和振幅分别 是( A.π ,1 C.2π ,1 ) B.π ,2 D.2π ,2 )

3. (2013·济南模拟)已知 f(x)=sin 2x+sinxcosx, 则 f(x)的最小正周期和一个单 调增区间分别为 ( A.π ,[0,π ] ) B.2π ,错误!未找到引用源。 D.2π ,错误!未找到引用源。

C.π ,错误!未找到引用源。

4.(2013 ·兰州模拟)已知函数 f(x)=sin( ω x+φ)-错误!未找到引用源。cos(ω

x+φ) 错误!未找到引用源。,其图象相邻的两条对称轴方程为 x=0 与 x=错误!未找到 引用源。,则( )

A.f(x) 的最小正周期为 2π ,且在(0,π )上为单调递增函数 B.f(x) 的最小正周期为 2π ,且在(0,π )上为单调递减函数 C.f(x) 的最小正周期为π ,且在错误!未找到引用源。上为单调递增函数 D.f(x) 的最小正周期为π ,且在错误!未找到引用源。上为单调递减函数 5.(2013 ·潍坊模拟)把函数 y=sin(ω x+φ) 错误!未找到引用源。的图象向左平移错误!未找到引 用源。个单位后,所得曲线的一部分如图所示,则ω ,φ的 值分别为 ( ) B.1,-错误!未找到引用源。 D.2,-错误!未找到引用源。 C.2,

A.1,错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

6.为了得到函数 y=sin2x+cos2x 的图象,只需把函数 y=sin2x-cos2x 的图象 ( A.向左平移错误!未找到引用源。个单位长度 B.向右平移错误!未找到引用源。个单位长度 C.向左平移错误!未找到引用源。个单位长度 D.向右平移错误!未找到引用源。个单位长度 二、填空题 7.(2013 ·江西高考)设 f(x)=错误!未找到引用源。sin3x+cos3x,若对任意实数 x 都有|f(x)| ≤a,则实数 a 的取值范围是 . )

8.已知函数 f(x)=3sin 错误!未找到引用源。(ω >0)和 g(x)=2cos(2x+ φ)+1 的图象的对称轴完全相同.若 x∈错误!未找到引用源。 ,则 f(x)的取值范围 是 .

9.关于函数 f(x)=sin2x-cos2x 有下列命题: ①函数 y=f(x)的周期为π ; ②直线 x=错误!未找到引用源。是 y=f(x)的一条对称轴; ③点错误!未找到引用源。是 y=f(x)的图象的一个对称中心; ④将 y=f(x) 的图象向左平移错误!未找到引用源。个单位,可得到 y=错误!未 找到引用源。sin2x 的图象.其中真命题的序号是 题的序号都写上) 三、解答题 10.已知函数 f(x)=4cosxsin 错误!未找到引用源。-1. (1)求 f(x)的最小正周期. (2)求 f(x)在区间错误!未找到引用源。上的最大值和最小值. 11.已知函数 f(x)=2acos 2x+bsinxcosx-错误!未找到引用源。,且 f(0)=错误! 未找到引用源。,f 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. (1)求 f(x)的单调递减区间. (2)函数 f(x)的图象经过怎样的平移才能使所得图象关于原点对称? 12.(2013·泰安模拟)设函数 f(θ )=错误!未找到引用源。sinθ +cosθ ,其中, 角θ 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终边经过点 P(x,y), 且 0 ≤θ ≤π . (1)若点 P 的坐标为错误!未找到引用源。,求 f(θ )的值. .(把你认为是真命

(2)若点 P(x,y)为平面区域Ω :错误!未找到引用源。上的一个动点,试确定角 θ 的取值范围,并求函数 f(θ )的最小值和最大值.

答案解析
1. 【解析】选 B.由 T=错误!未找到引用源。=π,得ω=2,f(x)=sin 2x+错误! 未找到引用源。 ,令 2x+错误!未找到引用源。 =kπ+错误!未找到引用源。(k ∈Z),x=错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。(k∈Z),故当 k=0 时,该 函数的图象关于直线 x=错误!未找到引用源。对称. 2.【解析】选 A.f(x)=sinxcosx+错误!未找到引用源。cos2x=错误!未找到引 用源。 sin2x+错误! 未找到引用源。 cos2x=sin 错误! 未找到引用源。 ,所以 A=1,T= π. 3. 【解析】选 C.f(x)=错误!未找到引用源。 sin2x+错误!未找到引用源。 (1-cos2x) =错误!未找到引用源。,该函数的最小正周期是π. 当 2kπ-错误!未找到引用源。≤2x-错误!未找到引用源。≤2kπ+错误!未找 到引用源。,k∈Z, 即 kπ-错误!未找到引用源。≤x≤kπ+错误!未找到引用源。,k∈Z 时,函数 f(x)是增函数, 即函数 f(x)的单调增区间是错误!未找到引用源。 ,其中 k∈Z.

由 k=0 得到函数 f(x)的一个单调增区间是错误!未找到引用源。 . 4.【解析】选 C.f(x)=2sin 错误!未找到引用源。,由题意知函数 f(x)的周期为 T=π,则ω=错误!未找到引用源。=2,由 x=0 为 f(x)的对称轴,f(0)=2sin 错误! 未找到引用源。且|φ|<错误!未找到引用源。知φ=-错误!未找到引用源。 , 因此,f(x)=2sin 错误!未找到引用源。=-2cos2x,故选 C. 5.【解析】选 D.由图可知 T=4×错误!未找到引用源。 =π,所以 T=错误!未找 到引用源。=π,所以ω=2. 又由图象可知 y=sin(ωx+φ)过点错误!未找到引用源。, 所以 2×错误!未找到引用源。+φ=π+2kπ,k∈Z, 所以φ=2kπ-错误!未找到引用源。,k∈Z, 因为|φ|<错误!未找到引用源。,所以φ=-错误!未找到引用源。. 6. 【解析】选 A.y=sin2x+cos2x=错误!未找到引用源。sin 错误!未找到引 用源。,y=sin2x-cos2x=错误!未找到引用源。sin 错误!未找到引用源。,只需 把函数 y=sin2x-cos2x 的图象向左平移错误!未找到引用源。个单位长度,即可 得到 y=sin2x+cos2x 的图象.

【变式备选】为了使变换后的函数的图象关于点错误!未找到引用源。成中心 对称,只需将原函数 y=sin 2x+错误!未找到引用源。 的图象( A.向左平移错误!未找到引用源。个单位长度 B.向左平移错误!未找到引用源。个单位长度 C.向右平移错误!未找到引用源。个单位长度 D.向右平移错误!未找到引用源。个单位长度 )

【解析】选 C.函数 y=sin 错误!未找到引用源。的图象的对称中心为错误!未 找到引用源。 (k∈Z),其中离点错误!未找到引用源。最近的对称中心为错误! 未找到引用源。,故只需将原函数的图象向右平移错误!未找到引用源。个单位 长度即可. 7.【解析】由于 f(x)=错误!未找到引用源。sin3x+cos3x=2sin 错误!未找到 引用源。,则|f(x)|=2 错误!未找到引用源。≤2,要使|f(x)|≤a 恒成立,则 a ≥2. 答案:[2,+≦) 8. 【解析】ωx-错误!未找到引用源。=kπ+错误!未找到引用源。,k∈Z, 所以 x=错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。,k∈Z, 2x+φ=mπ,m∈Z, 所以 x=错误!未找到引用源。 -错误!未找到引用源。 ,m∈Z. 因为{x|x=错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。 ,k∈Z}={x|x=错误! 未找到引用源。 -错误!未找到引用源。,m∈Z}, 所以ω=2,所以 f(x)=3sin 错误!未找到引用源。 , 因为 x∈错误!未找到引用源。,所以错误!未找到引用源。∈错误!未找到引 用源。 , 所以 sin 错误!未找到引用源。∈错误!未找到引用源。 , 所以 f(x)∈错误!未找到引用源。 . 答案:错误!未找到引用源。 9. 【解析】 f(x)=sin2x-cos2x=错误! 未找到引用源。 sin 错误! 未找到引用源。 , 所以周期 T=π,所以①正确.当 x=错误!未找到引用源。时,f 错误!未找到引
? 2

用源。=错误!未找到引用源。sin 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 sin 错误!未找到引用源。不是最值,所以②不正确.f 错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。sin 错误!未找到引用源。 =0,所以③正确.将 y=f(x) 的图象向左平移错误! 未找到引用源。 个单位,得到 y=错误! 未找到引用源。 sin 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。sin 错误!未找到引用源。,所以 ④不正确,综上正确的命题为①③. 答案:①③ 10. 【解析】(1)因为 f(x)=4cosxsin 错误!未找到引用源。-1 =4cosx 错误!未找到引用源。-1=错误!未找到引用源。sin2x+2cos 2x-1=错误! 未找到引用源。 sin2x+cos2x=2sin 错误!未找到引用源。, 所以 f(x)的最小正周期为π. (2)因为-错误!未找到引用源。≤x≤错误!未找到引用源。,所以-错误!未找 到引用源。≤2x+错误!未找到引用源。≤错误!未找到引用源。 . 于是,当 2x+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即 x=错误!未找到 引用源。时,f(x)取得最大值 2; 当 2x+错误!未找到引用源。=-错误!未找到引用源。,即 x=-错误!未找到引 用源。时,f(x)取得最小值-1. 11.【解析】(1)由 f(0)=错误!未找到引用源。 ,得 2a-错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。,故 a=错误!未找到引用源。. 由 f 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 ,得错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。 -错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。,所以 b=1.

可得 f(x)=错误!未找到引用源。 cos2x+sinxcosx-错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。cos2x+错误!未找到引用源。 sin2x=sin 错误!未找到 引用源。. 由错误!未找到引用源。 +2kπ≤2x+错误!未找到引用源。≤错误!未找到引 用源。 +2kπ,k∈Z, 得错误!未找到引用源。 +kπ≤x≤错误!未找到引用源。+kπ,k∈Z. 所以 f(x)的单调递减区间是错误!未找到引用源。 (k∈Z). (2)因为 f(x)=sin2 错误!未找到引用源。,所以由奇函数 y=sin2x 的图象向左 平移错误!未找到引用源。个单位即得到 y=f(x)的图象,故函数 f(x)的图象向 右平移错误!未找到引用源。+错误!未找到引用源。π(k∈Z)个单位或向左平 移错误!未找到引用源。 +错误!未找到引用源。π(k∈Z)个单位后,对应的函 数即成为奇函数,图象关于原点对称. 【方法总结】三角函数的性质问题的解题策略 (1)三角函数的性质问题,往往都要先化成 f(x)=Asin(ωx+φ)的形式再求解. (2)要正确理解三角函数的性质 ,关键是记住三角函数的图象 ,根据图象并结合 整体代入的基本思想即可求三角函数的单调性、最值与周期. 12. 【解析】(1)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得错误!未找到引用源。于 是 f(θ)=错误!未找到引用源。 sinθ+cosθ=错误!未找到引用源。×错误! 未找到引用源。 +错误!未找到引用源。=2. (2)作出平面区域Ω(即三角形区域 ABC)如图所示,其中 A(1,0),B(1,1),C(0,1).

于是 0≤θ≤错误!未找到引用源。 . 又 f(θ)=错误!未找到引用源。sinθ+cosθ=2sin 错误!未找到引用源。 , 且错误!未找到引用源。≤θ+错误!未找到引用源。≤错误!未找到引用源。, 故当θ+错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。,即θ=错误!未找到引 用源。时,f(θ)取得最大值,且最大值等于 2; 当θ+错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。,即θ=0 时,f(θ)取得最小 值,且最小值等于 1.


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