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2013---2014上学期高二寒假作业题(五)


2013~2014 学年度上学期高二数学寒假作业(五)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分;在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1..已知△ABC 中, a ? A.135°

x2 y2 8.在椭圆 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 中, F1 , F2 为其左、 右焦点, 以 F1 F2

为直径的圆与椭圆交于 A, B, C , D 四 a b
个点,若 F1 , F2 , A, B, C , D 恰好为一个正六边形的六个顶点,则椭圆的离心率为 ( )

2 , b ? 3 , B ? 60? ,那么角 A 等于
C.45°

( D.30°



A.

2 ?1

B.

2 2

C. 3 ? 1

D.

3 2

B.90°

9.在二面角??l?? 的半平面?内,线段 AB⊥l,垂足为 B;在半平面?内,线段 CD⊥l,垂 ( ) 足为 D;M 为 l 上任一点.若 AB=2,CD=3,BD=1,则 AM +CM 的最小值为 A. 26 B. 23 C. 21 D. 19 ( )

2.在等比数列 {an } 中,若 a4 ? 8 , q ? ?2 ,则 a7 的值为 A. ?64 B. 64 C. ?48 D. 48

3.不等式 A

x?2 ? 0 的解集是 x?2
B

( C



→ 10 如图所示,正方体 ABCD-A′B′C′D’ 中,M 是 AB 的中点,则 sin〈 DB ? ,CM〉的值为( 1 A. 2 C. 2 3 B. D. 210 15 11 15

)

?x | x ? 2?

?x | x ? 2?

?x | ?2 ? x ? 2?

D

?x | ?2 ? x ? 2?

x2 y2 ? ?1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为 4.已知椭圆 25 16
( ) A 2 B 3 C 5 D 7

11.下列命题错误的是

(

)

2 A.命题“若 x 2 ? 3 x ? 2 ? 0, 则x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1, 则x ? 3x ? 2 ? 0 ”

5. 已知等差数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ,若 A.

S3 ? S1 ? 1 ,则数列 {a n } 的公差是 3
D.3





B. “ x ? 2 ”是“ x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”的充分不必要条件 C. 若 p ? q 为假命题,则 p, q 均为假命题

1 2

B.1

C.2

6. 顶点为原点,焦点为 F (0,?1) 的抛物线方程是 A. y ? ?2 x
2

( D. x ? ?4 y
2



D. 对于命题 p:?x ? R, 使得x 2 ? x ? 1 ? 0, 则

?p : ?x ? R, 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0


12.已知 a 、 b 、 c 成等比数列,且 a ? 0 ,若 a ? b ? c ? m , m 为正常数,则 b 的取值范围是( A. [ ?

B. y ? ?4 x
2

C. x ? ?2 y
2

m m , 0) ? (0, ] 3 3
2

B. [ ? m, 0) ? (0,

m ] 3

C. [?

m m , 0) ? (0, ] 3 2

D. [?

m , 0) ? (0, m) 2

7.已知 p : x ? 9 ? 0, q : x ?
2 2

5 1 x ? ? 0, 则 p 是 q 的 6 6
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

(

)

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 4 分,满分 16 分;把正确的答案写在题中的横线上。 13.抛物线 y ? 2 x 上横坐标为 2 的点到其焦点的距离为________

A.充分不必要条件 C.充要条件

?x ? 2 ? 14.若 ? y ? 2 ,则目标函数 z=x+2y 的最小值为________ ?x ? y ? 2 ?
1

15. 数 列

{a n }

中 , 已 知 a1 ? 1, 点(a n , a n ?1 )在直线x ? y ? 2 ? 0 上 , 则

{a n } 的 通 项 公 式 为

20. (12 分) 已知关于 x 的不等式

_____________ x2 y2 5 16.若方程 + =1 所表示的曲线为 C,给出下列四个命题:①若 C 为椭圆,则 1<t<4,且 t≠ ; 2 4-t t-1 3 ②若 C 为双曲线, 则 t>4 或 t<1; ③曲线 C 不可能是圆; ④若 C 表示椭圆, 且长轴在 x 轴上, 则 1<t< . 2 其中正确的命题是________.(把所有正确命题的序号都填在横线上) 三、解答题:本大题 6 个小题,共 74 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(12 分)等比数列{ an }的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , S 3 , S 2 成等差数列 (1)求{ an }的公比 q ; (2)求 a1 - a3 =3,求 S n

(1) 当 a ? 4 时,求集合 M; (2) 若 3 ? M ,且 5 ? M ,求实数 a 的取值范围。

ax ? 5 ? 0 的解集为 M, x2 ? a

21. (12 分)已知圆 C1 的方程为(x-2)2+(y-1)2= 20 ,椭圆 C2 的方程为
3

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,C2 的离 a 2 b2

心率为 2 ,如果 C1 与 C2 相交于 A、B 两点,且线段 AB 恰为圆 C1 的直径,试求:
2

(I)直线 AB 的方程; (II)椭圆 C2 的方程.

18. (12 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c 且 (1)求角 A ; (2)已知 a ?

sin( A ? B) 2c . ? cos A sin B b

7 , bc ? 6 ,求 b ? c 的值. 2

22. (14 分)三棱柱 ABC-A1B1C1,∠BCA=90° ,AC=BC=2,A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D,又知 BA1⊥AC1. (1)求证:AC1⊥平面 A1BC; (2)求二面角 A-A1B-C 的余弦值.

19. (12 分)已知 p:方程 x2+mx+1=0 有两个不等的负根;q:方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围.

2

参考答案
一、选择题: 二、填空题: 13. CADDB DACAB CB 15. an ? 2n ? 1 16. ①②

若方程 4x2+4(m-2)x+1=0 无实根,则 Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0, 解得 1<m<3,即 q:1<m<3. 因 p 或 q 为真,所以 p,q 至少有一为真, 又 p 且 q 为假,所以 p、q 至少有一为假,因此,p、q 两命题应一真一假, 即 p 为真,q 为假或 p 为假,q 为真.
? ? ?m>2, ?m≤2, ∴? 或? ?m≤1或m≥3 ?1<m<3, ? ?

...........6 分

5 2

14. ____2________

...........8 分 ...........10 分 ...............12 分

三、解答题:本大题 6 个小题,共 74 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17. 解: (1)依题意有 a1 ? (a1 ? a1 q) ? 2(a1 ? a1q ? a1q ) ...........2 分
2 2 由于 a1 ? 0 ,故 2q ? q ? 0

...........4 分 ...........6 分

解得 m≥3 或 1<m≤2.

又 q ? 0 ,从而 q ? -

1 2 1 2

2 (2)由已知可得 a1 ? a ( 1 ? ) ? 3 故 a1 ? 4

...........8 分

1 n ( 4 1? (? ) ) 8 1 n 2 从而 S n ? ? ( 1? (? ) ) 1 3 2 1? (? ) 2
18.解:(1)?

4x ? 5 , 即 (4 x ? 5)( x ? 2)( x ? 2) ? 0 .........3 分 x2 ? 4 5 5 所以 x ? ?2, 或 ? x ? 2 ,即原不等式的解集为 x ? (??, ?2) ? ( , 2). .............6 分 4 4
20.解 (1)当 a ? 4 时,不等式化为 (2)因 3 ? M , 得

...........12 分

sin ? A ? B ? cos A sin B

?

2sin C 1 , 在 ?ABC 中, sin ? A ? B ? ? sin C ? 0,? cos A ? . sin B 2
..........................................4 分

? A ? ? 0, ? ? ,? A ?
2

?
3
2

. ................................................6 分
2

3a ? 5 ① ...........8 分 ?0 32 ? a 3a ? 5 因5? M , 得 2 ? 0 或 52 ? a ? 0 ② (补集思想的运用)...........10 分 5 ?a 5 由①、②得, 1 ? a ? , 或 9 ? a ? 25 或 a ? 25 。 3 5 所以 a 的取值范围为: [1, ) ? (9, 25] 。 ...........12 分 3

(2)由余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A, ..................................8 分

7 1 又 a ? , bc ? 6, cos A ? , 2 2 49 2 2 则 ? b2 ? c 2 ? bc ? ? b ? c ? ? 3bc ? ? b ? c ? ? 18, ......................10 分 4 11 解得: b ? c ? . ....................................................12 分 2
19.解:若方程 x2+mx+1=0 有两不等的负根,
?Δ=m2-4>0, ? 则? 解得 m>2,即 p:m>2 ? ?m>0,

c 21、 (I)由 e= 2 ,得 = 2 ,a2=2c2,b2=c2。
2

a

2

...........2 分

2 2 设椭圆方程为 x + y =1。又设 A(x1,y1),B(x2,y2)。由圆心为(2,1),得 x1+x2=4,y1+y2=2。

2b 2

b2

2 2 2 2 x2 ? x2 y2 ? y2 又 x1 + y1 =1, x 2 + y 2 =1,两式相减,得 1 2 2 + 1 2 2 =0。 2b b 2b 2 b 2 2b 2 b 2

∴ ............3 分

y1 ? y 2 x ? x2 ?? 1 ? ?1 x1 ? x 2 2( y1 ? y 2 )

...........5 分

∴直线 AB 的方程为 y-1= -(x-2),即 y= -x+3。
3

...........6 分

2 2 (II)将 y= -x+3 代入 x + y =1,得 3x2-12x+18-2b2=0 2b 2 b 2

m· n 7 故 cos〈m,n〉= =- , |m|· |n| 7 ...........8 分

...........13 分 7 ..........14 分 7

又直线 AB 与椭圆 C2 相交,∴Δ=24b2-72>0。 由|AB|= 2 |x1-x2|= 2 得 2·
2

2 ( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 = 20 , 3

因为二面角 A-A1B-C 为锐角,所以可知二面角 A-A1B-C 的余弦值为

24b 2 ? 72 = 20 。 3 3 解得 b2=8,

...........11 分 ...........12 分

故所求椭圆方程为

x y + =1 16 8

2

2

22.解:(1)证明:如图,设 A1D=t(>0),取 AB 的中点 E,则 DE∥BC, 因为 BC⊥AC,所以 DE⊥AC,又 A1D⊥平面 ABC, 所以 DE,DC,DA1 为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系, ...........3 分 则 A(0,-1,0),C(0,1,0),B(2,1,0),A1(0,0,t),C1(0,2,t), → → AC1=(0,3,t),BA1=(-2,-1,t), ...........5 分 → CB=(2,0,0), → → 由AC1· CB=0,知 AC1⊥CB,

又 BA1⊥AC1,BA1∩CB=B,从而 AC1⊥平面 A1BC; ...........7 分 → → (2)由AC1· BA1=-3+t2=0,得 t= 3 设平面 A1AB 的法向量为 n=(x,y,z), → AA1=(0,1, 3), → AB=(2,2,0), . ...........9 分

→ ? AA1=y+ 3z=0 ?n· 所以? ,设 z=1,则 n=( 3,- 3,1). ...........11 分 → ? AB=2x+2y=0 ?n· → 再设平面 A1BC 的法向量为 m=(u,v,w),CA1=(0,-1, 3), → ?m· CA1=-v+ 3w=0 ? 所以? , → ?m· CB=2u=0 ? 设 w=1,则 m=(0, 3,1), → CB=(2,0,0),

4


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