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08“先学”之后应该“教什么”-以“等比数列的前n项和公式推导”为例


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福建中学数学

2015 年第 1 期

S 2 S3 cos 2

? 23
2

? S3 S 4 cos 2 S ? S1 2

?34
2

? S 4 S 2 cos 2

? 42

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S 4 S1 cos 2

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S3 S 4 cos 2

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S1 S 2 cos 2

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2

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2 ?S.

“先学”之后应该“教什么”
——以“等比数列的前 n 项和公式推导”为例 陈碧珍 福建省尤溪职业中专学校(365100) 生: S3 ? a1 ? a2 ? a3 ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? a1 (1 ? q ? q 2 ) ,
S 4 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? a1q 3 ? a1 (1 ? q ? q 2 ? q 3 ) , …… S n ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n ?1 ? a1 (1 ? q ? q 2 ? ? ? q n ?1 ) .

等比数列的前 n 项和公式的推导历来是教学的 难点,虽然方法灵活,但如何自然地引出这些方法 却是教者费尽心思的地方. 笔者在“先学后教”教学模 式的指引下,先是让学生阅读学习课本“等比数列的 前 n 项和公式”的推导过程(老师察看学生在课本上 圈点的记号,心中明确学生的学习困惑) ,然后是小 组讨论交流学习阅读中的疑点(老师适时地参与并 指导学生的交流学习活动) ,而后是小组派代表提出 小组交流学习中无法解决的问题,继而是老师组织 学生共同探讨这些问题.在这个师生合作探讨过程 中, 针对学生“先学”之后的实际情况,老师到底要教 什么呢? 据笔者的课堂观察,发现多数学生在阅读学习 后, 会知道用“错位相减法”推导等比数列的前 n 项和 公式时,首先是两边同乘以公比 q ,并错开书写,其 次是两式相减,最后是化简.但对推导求和公式时, 为什么要在左右两边同时乘以公比 q 呢?又怎么想 到两式相减的?多数学生对这两个问题的认识感到 茫然,心里有个大大的“?”.其实这两个问题触及了 “错位相减法”的本质, 学生是提不出来的,或是有学 生想到了,却觉得没必要提出来;但老师必须提出 来,而且必须教,把数学教活.下面是我“教”学生探 究思考上面两个问题的过程: 师:已知等比数列 {an } 的首项 a1 ,公比 q ,求前
n 项和 S n ,就是把 S n 用 a1 , q , n 表示出来,从哪里

师生:考察 S3 的式子有 1 ? q ? q 2 ,联想到立方差 公式,便有 1 ? q 3 ? (1 ? q)(1 ? q ? q 2 ) ,若 q ? 1 ,则有
S3 ? a1 (1 ? q3 ) a (1 ? q2 ) a (1 ? q) ,继而有 S2 ? 1 , S1 ? 1 , 1? q 1? q 1? q a1 (1 ? q n ) ,而要证明此式,只需证明 1? q

进而猜想 Sn ?

S n ? qS n ? a1 ? a1q n ,观察左边式子 S n ? qS n 是两项之

差,如何才能得到它(像这样的观察、分析、变形、 猜想, 学生较弱, 教师在日常教学中要多“教”学生经 历,不断积累探究经验,丰富知识联系的通道) ,学 生看到这里便恍然大悟:需要在和式的左右两边同 时乘以 q , 这样得到的新式子与原式子就有若干相同 的项,然后相减就能化简. 生:像刚才那样的考察、联想、变形、猜想, 我实在想不到.而像课本上所说的“由于 an q ? an ?1 , 故将和式两边同时乘以 q ,然后两式相减”,这是怎 么想到的? 师:已知等比数列 {an } 的首项 a1 ,公比 q 以及项 数 n ,关注求解的目标是把前 n 项和 Sn 用 a1 , q , n 表示,因此要想法消去和式中一些项以及和式中的 “…”这些项,而我们知道只有相同的项相减才能消 去, 这样就自然注意到等比数列的定义 an ?1 ? an q(递 推关系) ,故在和式两边同乘以 q 后,新的式子与原

开始思考?我们知道从特殊情况与具体情况入手思 考是常用的思考问题的方法,因此,我们对 n 取具体 的数值进行观察思考: 那么 S3 , S1 ? a1 ,S 2 ? a1 ? a2 ? a1 ? a1q ? a1 (1 ? q ) ,
S 4 ,…, S n 可怎么表示?

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来的式子就有若干相同的项, 做个减法就能化简. 至 此, 学生已能明了“错位相减”的本质是化简, 正如上 一节推导等差数列的前 n 项和公式的 “ 倒序相加 ” 一 样,其本质也是化简. 生: (迫不及待,抢着说)在和式两边同时除以 q ,也可以达到化简目的. 师: (我当时先是一愣,因为以前从没有这样想 过、遇过,但一想“课堂没有生成不精彩”,就情不自 禁地追问)怎么想到的?能否把你的想法说具体些. 生 :受 到课 本 an ?1 ? an q 的 启发 ,把 它改 写成 a an ? n ?1 ,故将和式两边同时除以 q ,然后两式相减 q 就能化简. 师:“好!妙!”,我情不自禁地发出赞叹,为学 生的发现而惊喜.快到黑板这边把思考过程写出来, 其它同学在下面写. 生:当 q ? 1 时, Sn ? a1 ? a1q ? a1q 2 ? ? ? a1q n ?1 ① 两边同时除以 q , S a 得 n ? 1 ? a1 ? a1q ? ? ? a1q n ? 2 ② q q S a 由①-②得 Sn ? n ? a1q n ?1 ? 1 , q q 所以 Sn ?
a1 (1 ? q n ) . 1? q

师:但说无妨,老师期待着,有想法就有成功 的机会. a 生:由等比数列的定义 n ?1 ? q , an an a2 a3 得知 ? ? ? ? ?q, a1 a2 an ?1 a ? a ? ? ? an 再由比例的性质,得 2 3 ?q, a1 ? a2 ? ? ? an ?1 S ?a 于是有 n 1 ? q , S n ? an 解得 Sn ?
a1 ? an q a1 (1 ? q n ) ? (q ? 1) . 1? q 1? q

生:有的喝彩(恍然大悟地) ,有的感叹(惊讶 地) . 师:这一方法确实精彩, (停顿一会儿)不过似 乎有不严密之处, (微笑着,和声细气地)大家看得 出来吗?(这样的细节,学生易疏漏,老师要教, 把思维教严密,教灵活. ) 生: (议论……)需有 a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? 0 条件, 才能用比例的“等比性质”. (学生在一片“哦”声中想 起了这个定理的使用条件) 师:所以,我们在推导时,思维要严密,要注 意定理使用的条件,那么如何完善推导过程呢? 生(自然地) :可对 a1 ? a2 ? ? ? an ?1 是否等于 0 进行讨论. (1)当 a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? 0 时,推导如前所述. (2)当 a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? 0 时, (学生思考讨论, 但没有结果;老师作引导,师生合作完成下面的推 导过程) 因为 an ? 0 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an ? 0 , a a a a 由 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ? q , a1 a2 an ?1 an a2 ? a3 ? ? ? an ? an ?1 ?q, a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? an S ?a ?a 因此 n 1 n ?1 ? q ,即 (1 ? q) Sn ? a1 ? an q , Sn 因为 a1 ? a2 ? ? ? an ?1 ? 0 , 所以 q ? 1 (否则各项和要么是正的,要么是负 的) ,所以 Sn ?
a1 ? an q a1 (1 ? q n ) ? (q ? 1) , 1? q 1? q a1 (1 ? q n ) ; 1? q

生(众) :哇! (面带惊喜) ,原来还可以这样“错 位相减”. 师:由此可见,在等式两边同时除以 q 也能推导 出等比数列的前 n 项和公式.只不过课本上是依 在和式两边同时乘以 q , 这是“向右错位”; an ?1 ? an q , a 而现在是依 an ? n ?1 ,在和式两边同时除以 q ,这是 q “向左错位”而已, “错位”是形式, 化简是本质. 其实, 2 2 用“两边同时乘以 q 或同时除以 q ”的方法,也能达 到“化简”的效果, 但不如前面的简单,同学们可以课 后试一试. (至此,学生已弄清了上面的两个问题,也明 了“错位相减法”的实质是化简, 在接下来的教学安排 中,我想多练习求和公式的使用,可是一位学生却 打断了我的计划,这样的事在我的课堂时有发生, 我想也许是实行“先学后教”的教育效果吧,学生“乐 学”了. ) 生:我有新的想法,但不知道行不行.

综上得,当 q ? 1 时, Sn ?

10 当 q ? 1 时, Sn ? na1 .

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生:有的惊喜(若有所悟) ;有的叹惜(不可思 议) ,叹惜这样的推导思路和推导过程想不到. 师: (学生的叹惜让我有点手足无措,因为事先 没有准备,当时心里也没有走出上面的陌生道路的 方法,但我不想就这样留下缺憾. )于是追问:是否 可以尝试做些适当的改进,就可以避开分类讨论 呢? 生:小组交流讨论 …… ,没有结果(神情疑惑 地) . (借着学生讨论的时间,我整理了一下思考, 已清楚往下的路应当怎么走. ) 师生(再次合作) : a a a a 由 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ? q , a1 a2 an ?1 an 当 q ? 1 时,由分比性质得 a3 an an ?1 a2 q , ? ??? ? ? a2 ? a1 a3 ? a2 an ? an ?1 an ?1 ? an q ? 1 再由等比性质得 a2 ? a3 ? ? ? an ? an ?1 a2 q , ? ? an ?1 ? a1 a2 ? a1 q ? 1 S ?a ?a q 即 n 1 n ?1 ? , an ?1 ? a1 q ?1 S ?a ?a q q 所以 n 1 n ? , an q ? a1 q ?1 所以 Sn ?
a1 ? an q a1 (1 ? q n ) ? (q ? 1) . 1? q 1? q

的主要问题或困难多半是一知半解,不知其所以 然.从知其然到知其所以然是一个深刻理解学习的 过程.知其然是一种理解,它解决“是什么”或“怎么 做”的问题;知其所以然也是一种理解, 它解决“为什 么”或“有什么用”的问题.因此,先学之后一般应该 针对“为什么”或“有什么用”的问题而教. 为了促进学生从知其然向知其所以然发展,教 师必须在学生先学的基础上,进一步提出他们本来 应该自己问自己的问题来指导学习和问题解决.如 在本课例中, 为什么要在和式两边同乘以 q ?为什么 要对 q 分类?如何分类?又为什么要对
a1 ? a2 ? ? ? an ?1 是否等于 0 进行讨论?最后又如何

归纳结论?如果不对 a1 ? a2 ? ? ? an ?1 是否等于 0 进 行讨论,又怎么避开?这些细节问题是学生思维发 展的落脚点,更是思想方法的落脚点,能充分地营 养学生的思维,都将对学生的发展起重要的作用, 像这样的问题老师必须提出来并把它教活.学生相 对缺乏的是对知识的整体认识视野和对问题的综合 分析能力, 因此, 老师要善于“教”学生有效提取题目 的信息,综合贯通相关知识来分析问题和解决问题, 丰富并通畅各部分知识相互联系的通道,培养学生 从定义出发思考分析问题的习惯,关注学生在理解 概念“细节”的过程中的“思想”指引, 这样才能真正把 知识的教学与能力的培养融合在一起,真正发挥数 学教育的“育人”功能(章建跃) . 学生在先学之后,因为哪里会了,哪里还不会, 或者不知其所以然,都心里有数,所以使得课堂上 受“教”之时,学生能够进行反思性学习, 课堂听讲不 再盲目被动了,学生学习主动性的发挥,也大大提 高了课堂学习效益.而“先学”之后老师教的针对性, 以及教与学双边深层的互动性,据我们的课堂观察, 目前都还没有得到充分的落实和体现.因此,结合 具体的课例, 探讨学生“先学”之后要教什么, 怎么教, 怎样才能做到“教的有针对性,以及教与学双边有深 层的互动性”,怎样才能做到“少教多学”,这些都应 该成为我们课堂开展教学活动的着力点和永恒的课 题.
参考文献 [1]李广全,李尚志.中等职业教育课程改革国家规划新教材《数学(基 础模块)下册》[M].高等教育出版社,2009 [2]洪明,余文森.“先学后教”教学模式的理念与及实施条件 [J].中国教 育学刊,2011(3) :47-50

生:很兴奋地回味着(脸上的疑惑消失了,浮 现出轻松的神情、欢快的笑脸) . 像上面那样的解释推导及改进的过程,“教师不 讲,学生不会;教师一讲,学生才会”,这样的解释 活动是针对学生的最近发展区的教学活动,是能有 效促进学生的发展的.而教师做这样的讲解更重要 的目的是让学生体会:改变看问题的角度(如从等 a 比 数 列 的 定 义 n ?1 ? q 出 发 , 或 是 把 它 改 写 成 an a an ?1 ? an q , 或 an ? n ?1 , 从而引发出求和公式推导的 q 不同思考) ,联想应用已有的数学知识与方法进行推 导解释,进而把各部分相关知识联系起来,并领会 其中所蕴含的思想方法. 一点体会 学习不仅要知其然,还要知其所以 然.学生先学一般都能够做到知其然,而先学存在


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