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高二数学2013北师大版高中数学选修4-4模块检测题及答案解析


模块学习评价
一、选择题 ?x=2cos θ, 1.直线 3x-4y=0 与圆? (θ 为参数)的位置关系是( ?y=2sin θ A.相切 C.直线过圆心 B.相离 D.相交但直线不过圆心 )

1 x=x0+2t, ? ? 2.若一直线的参数方程为? 3 ? ?y=y0- 2 t

(t 为参数),则此直线的倾斜角为

>
( A.60° C.300° B.120° D.150°

)

2 ? ?x=-4+ 2 t, 5.设直线的参数方程为? 2 ? ?y= 2 t

(t 为参数),点 P 在直线上,且

?x=-4+t, 与点 M0(-4,0)的距离为 2, 如果该直线的参数方程改写成? (t 为参 ?y=t 数),则在这个方程中点 P 对应的 t 值为( A.± 1 1 C.± 2 8.参数方程 ?x= 1+sin θ, ? ? π θ y=cos2?4-2? ? ? A.椭圆的一部分 B.双曲线的一部分 1 C.抛物线的一部分,且过点(-1,2) B.0 3 D.± 2 )

(θ 为参数,(0≤θ<2π)所表示的曲线是(

)

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1 D.抛物线的一部分,且过点(1,2) y y 10. 已知集合 A={(x, y)|(x-1)2+y2=1}, B={(x, y)|x· =-1}, C={(ρ, x-2 ?x=1+cos θ kπ θ)|ρ=2cos θ,θ≠ 4 ,k∈Z},D={(x,y)|? ,θ≠kπ,k∈Z}, ?y=sin θ 下列等式成立的是( A.A=B C.A=C ) B.B=D D.B=C

二、填空题 12.(2013· 广东高考)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ=2cos θ.以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系,则曲线 C 的参 数方程为________. 14.在直角坐标系 xOy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标 ?x=3+cos θ, 系,设点 A,B 分别在曲线 C1:? (θ 为参数)和曲线 C2:ρ=1 上, ?y=4+sin θ 则|AB|的最小值为________. ?x=t+1, 15.(2012· 湖南高考)在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C1:? (t 为 ?y=1-2t ?x=asin θ, 参数)与曲线 C2:? (θ 为参数,a>0)有一个公共点在 x 轴上,则 a= ?y=3cos θ ________. 17.(本小题满分 12 分)(2012· 辽宁高考)在直角坐标系 xOy 中,圆 C1:x2+ y2=4,圆 C2:(x-2)2+y2=4. (1)在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆 C1、C2 的 极坐标方程,并求出圆 C1、C2 的交点坐标(用极坐标表示); (2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程. 【解】 (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ=2,

圆 C2 的极坐标方程为 ρ=4cos θ.

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?ρ=2, π 解? 得 ρ=2,θ=± 3, ?ρ=4cos θ π π 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为(2,3),(2,-3). 注:极坐标系下点的表示不唯一. (2)法一 (1,- 3). ?x=1, 故圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程为? - 3≤t≤ 3. ?y=t, ?x=1, (或参数方程写成? - 3≤y≤ 3) ?y=y, 法二 ?x=ρcos θ, 1 将 x=1 代入? 得 ρcos θ=1,从而 ρ=cos θ. ?y=ρsin θ ?x=ρcos θ, 由? 得圆 C1 与圆 C2 交点的直角坐标分别为(1, 3), ?y=ρsin θ

?x=1, 于是圆 C1 与圆 C2 的公共弦的参数方程为? ?y=tan θ, π π -3≤θ≤3. 18 . ( 本小题满分 12 分 )(2013· 课标全国卷Ⅱ ) 已知曲线 C1 的参数方程为 ?x=4+5cos t, ? (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐 ?y=5+5sin t 标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 【解】 ?x=4+5cos t, (1)将? 消去参数 t,化为普通方程(x-4)2+(y-5)2 ?y=5+5sin t

=25,即 C1:x2+y2-8x-10y+16=0. xKb 1. Com ?x=ρcos θ, 将? 代入 x2+y2-8x-10y+16=0 得 y = ρ sin θ ? ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0. 所以 C1 的极坐标方程为 ρ2-8ρcos θ-10ρsin θ+16=0.
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(2)C2 的普通方程为 x2+y2-2y=0.
2 2 ?x +y -8x-10y+16=0, ?x=1, ?x=0, 由? 2 2 解得? 或? ?x +y -2y=0, ?y=1 ?y=2.

π? ? π? ? 所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为? 2,4?,?2,2?. ? ? ? ? 19.(本小题满分 13 分)(2013· 福建高考)在平面直角坐标系中, 以坐标原点 π? ? 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点 A 的极坐标为? 2,4?, ? ? ? π? 直线 l 的极坐标方程为 ρcos?θ-4?=a,且点 A 在直线 l 上. ? ? (1)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程; ?x=1+cos α, (2)圆 C 的参数方程为? (α 为参数), 试判断直线 l 与圆 C 的位 ?y=sin α 置关系. 【解】 π? ? ? π? (1)由点 A? 2,4?在直线 ρcos?θ-4?=a 上,可得 a= 2, ? ? ? ?

所以直线 l 的方程可化为 ρcos θ+ρsin θ=2, 从而直线 l 的直角坐标方程为 x+y-2=0. (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为(x-1)2+y2=1, 所以圆 C 的圆心为(1,0),半径 r=1. 因为圆心 C 到直线 l 的距离 d= 所以直线 l 与圆 C 相交. π 20.(本小题满分 13 分 )已知某圆的极坐标方程为 ρ2-4 2ρcos(θ-4)+6= 0. 求:(1)圆的普通方程和参数方程; (2)在圆上所有的点(x,y)中,x· y 的最大值和最小值. 【解】 π π (1)原方程可化为 ρ2-4 2ρ(cos αcos4+sin αsin4)+6=0, 1 2 = 2 <1, 2

即 ρ2-4ρcos α-4ρsin α+6=0.① 因为 ρ2=x2+y2,x=ρcos α,y=ρsin α,所以①可化为 x2+y2-4x-4y+6=

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0,即(x-2)2+(y-2)2=2,此方程即为所求圆的普通方程,设 cos α= sin α= 2?y-2? , 2

2?x-2? , 2

?x=2+ 2cos α, 所以参数方程为? (α 为参数). ?y=2+ 2sin α (2)由(1)可知 xy=(2+ 2cos α)· (2+ 2sin α) =4+2 2(cos α+sin α)+2cos α· sin α =3+2 2(cos α+sin α)+(cos α+sin α)2.② 设 t=cos α+sin α, π 则 t= 2sin(α+4),t∈[- 2, 2]. 所以 xy=3+2 2t+t2=(t+ 2)2+1.
w W w .x K b 1.c o M

当 t=- 2时,xy 有最小值为 1;当 t= 2时,xy 有最大值为 9. 21.(本小题满分 13 分)过抛物线 y2=4x 的焦点作一条倾斜角为 α 的弦 AB, 若要同时满足: (1)AB 弦长不超过 8; (2)AB 弦所在直线与椭圆 3x2+2y2=2 相交.求倾斜角 α 的取值范围. 【解】 因为 F(1,0),所以直线 AB:

?x=1+tcos α, ? (t 为参数).① ?y=tsin α 将①代入 y2=4x,得 t2sin2α-4tcos α-4=0. 直线与抛物线有两个公共点应满足: ?sin α≠0 ?sin α≠0 ? ?? 2 ?sin α≠0?α≠0. 2 ?Δ>0 ?sin α+cos α>0 因为|AB|=|t1-t2|= ?t1+t2?2-4t1t2 = 4cos α 16 4 ? sin2α ?2+sin2α=sin2α,

4 2 所以sin2α≤8,即|sin α|≥ 2 . 将①代入 3x2+2y2=2,
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得(2+cos2α)t2+6tcos α+1=0. 由 Δ≥0,即 9cos2α-(2+cos2α)≥0, 1 所以 cos2α≥4.

? ?|sin α|≥ 22 由? 1 |cos α|≥2 ? ?0≤α≤π

sin α≠0

π π 2π 3π ?4≤α≤3或 3 ≤α≤ 4 .

π π 2π 3π 由此可得倾斜角 α 的取值范围4≤α≤3或 3 ≤α≤ 4 .

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