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高中数学三角函数专题复习(试题)


三角函数知识点与常见习题类型解法
1. 任意角的三角函数: (1) 弧长公式: l ? a R (2) 扇形的面积公式: S ? (3) 同角三角函数关系式: ①倒数关系: tan a cot a ? 1 ③平方关系: sin 2 a ? cos2 a ? 1 (4) 诱导公式: (奇变偶不变,符号看象限)k· ? /2+ a 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性
函 数

R 为圆弧的半径, a 为圆心角弧度数, l 为弧长。

1 lR 2

R 为圆弧的半径, l 为弧长。

②商数关系: tan a ?

sin a , cos a

cot a?

cos a sin a

x
?a 2? ? a
?
2 ?a

sin x ? sin a ? sin a

cos x cosa cosa
? sin a

tan x ? tan a

cot x

? cot a

? tan a
? cot a

? cot a
? tan a

cosa

2.两角和与差的三角函数: (1)两角和与差公式:

cos(? ? ? ) ? cosa cos ? ? sin a sin ?

s i na(? ? ) ? s i n ac o ? s ?c oa ss i n ?
注:公式的逆用或者变形 .........

tana(a ? ? ) ?

tana ? tan ? 1 ? tana tan ?

(2)二倍角公式:

sin 2a ? 2 sin a cos a
tan 2a ? 2 tan a 1 ? tan 2 a

cos2a ? cos2 a ? sin 2 a ? 1 ? 2 sin 2 a ? 2 cos2 a ? 1
从二倍角的余弦公式里面可得出
2 降幂公式: cos a ?

1 ? cos 2a , 2

sin 2 a ?

1 ? cos 2a 2

3.三角函数的图像和性质: (其中 k ? z ) y ? sin x 三角函数
定义域 值域 最小正周期 奇偶性
[ 2k? ?

y ? cos x
(-∞,+∞) [-1,1]

y ? tan x
x ? k? ?

?
2

(-∞,+∞) [-1,1]

(-∞,+∞)

T ? 2?

?
2 ,2k? ?

T ? 2?


T ??

?
2

?
2

]

[(2k ? 1)? ,2k? ]
单调递增 [(2k? , (2k ? 1)? ]

单调性

单调递增

( k? ?

, k? ?

?
2

)

单调递增

[2k? ?

?
2

,2k? ?

3? ] 2

单调递减

单调递减 对称性

x ? k? ?

?
2

x ? k?

(k? ,0)
零值点

? (k? ? ,0) 2
x ? k? ?

(

k? ,0 ) 2

x ? k?
x ? k? ?

?
2

x ? k?

?
2

x ? 2k? ,
ymax ? 1 ;

最值点

ymax ? 1
x ? k? ?



?
2

x ? (2k ? 1)? ,
ymin ? ?1

ymin ? ?1

4.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像与性质: (本节知识考察一般能化成形如 y ? A sin(?x ? ? ) 图像及性质) (1) 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 和 y ? A cos(?x ? ? ) 的周期都是 T ?

2?

?
? ?

(2) 函数 y ? A tan( ?x ? ? ) 和 y ? A cot( ?x ? ? ) 的周期都是 T ? (3) 五点法作 y ? A sin(?x ? ? ) 的简图,设 t ? ?x ? ? ,取 0、 及对应的 y 值再描点作图。 5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。

? 3? 、? 、 、 2? 来求相应 x 的值以 2 2

(1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos θ +sin θ =tanx·cotx=tan45°等。 2 2 2 2 2 2 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x;配凑角:α =(α +β )-β ,β =

2

2

???
2



???
2

等。

(3)降次与升次。 (4)化弦(切)法。 (4)引入辅助角。asinθ +bcosθ = a ? b sin(θ + ? ),这里辅助角 ? 所在象限由 a、b 的符号确
2 2

定, ? 角的值由 tan ? =

b 确定。 a

类题:
1.已知 tanx=2,求 sinx,cosx 的值.

2.求

tan(?120? ) cos(210? ) sin(?480? ) tan(?690? ) sin(?150? ) cos(330? )

的值.

3.若

sin x ? cos x ? 2, ,求 sinxcosx 的值. sin x ? cos x

4.求证:tan2x· sin2x=tan2x-sin2x.

5.求函数 y ? 2 sin(

x π ? ) 在区间[0,2??]上的值域. 2 6

6.求下列函数的值域. (1)y=sin2x-cosx+2;

2)y=2sinxcosx-(sinx+cosx).

7.若函数 y=Asin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象的一个最高点为 (2, 2 ) ,它到其相邻的最低点之间的图 象与 x 轴交于(6,0),求这个函数的一个解析式.

8.已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x. (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若 x ? [0, ], 求 f(x)的最大值、最小值.

π 2

练习: 1. 已知 tan? ?

2 ,求(1)

cos ? ? sin ? ; (2) sin 2 ? ? sin ? . cos? ? 2 cos2 ? 的值. cos ? ? sin ?

2. 求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)2 的值域。

3.已知函数 f ( x) ? 4sin x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。
2

(1)求 f ( x ) 的最小正周期、 f ( x ) 的最大值及此时 x 的集合; (2)证明:函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ?

π 对称。 8

4. 已知函数 y=

1 3 2 cos x+ sinx·cosx+1 (x∈R), 2 2

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?


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