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【步步高】2015届高考数学总复习


数学

R B(理)

§4.2 同角三角函数基本关 系及诱导公式
第四章 三角函数、解三角形

基础知识·自主学习
要点梳理
知识回顾 理清教材

1.同角三角函数的基本关系
2 2 sin α + cos α=1 . (1)平方关系: sin α =tan

α cos α (2)商数关系: .

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要点梳理
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2.下列各角的终边与角 α 的终边的关系 2kπ+α 角 π+α (k∈Z) 图示 与角 α 终边的 关系

-α

相同

关于原点对称

关于x轴对称

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要点梳理
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角 图示 与角 α 终边的 关系

π-α

π -α 2

π +α 2

关于y轴 对称

关于直线 y=x对称

基础知识·自主学习
要点梳理
3.诱导公式 组数 角 正弦 余弦 正切 口诀 一 2kπ+α (k∈Z) 二 三 (2k+1)π+ α(k∈Z) 四 π +α 2
cos α
-sin α
知识回顾 理清教材

五 π -α 2

–α
-sin α
cos α
-tan α

sin α
cos α tan α

-sin α
-cos α tan α

cos α
sin α

-cot α cot α

函数名不变 符号看象限

函数名改变 符号看象限

基础知识·自主学习
夯基释疑
夯实基础 突破疑难

题号
1 2 3 4 5

答案
(1) × (2) × (3) × (4) × (5) × (6) √

解析

B

3 4 2 - 3
-1

题型分类·深度剖析
题型一 同角三角函数关系式的应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

3 【例 1】 (1)已知 cos(π+x)= , 5 x∈(π , 2π) , 则 tan x = ________. (2)已知 tan θ=2,则 sin2θ+ sin θcos θ-2cos2θ 等于( 4 5 A.- B. 3 4 3 4 C.- D. 4 5 )

题型分类·深度剖析
题型一 同角三角函数关系式的应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

3 【例 1】 (1)已知 cos(π+x)= , 5 x∈(π , 2π) , 则 tan x = ________. (2)已知 tan θ=2,则 sin θ+ sin θcos θ-2cos2θ 等于( 4 5 A.- B. 3 4 3 4 C.- D. 4 5 )
2

(1)应用平方关系求出 sin x,可得 tan x;
(2)把所求的代数式中的弦转 化为正切,代入可求.

题型分类·深度剖析
题型一 同角三角函数关系式的应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

3 【例 1】 (1)已知 cos(π+x)= , 5

(1)∵cos(π+x)=-cos x x∈(π , 2π) , 则 tan x = 3 3 = ,∴cos x=- . 5 5 ________.

(2)已知 tan θ=2,则 sin2θ+ 又 x∈(π,2π), sin θcos θ-2cos2θ 等于( 4 5 A.- B. 3 4 3 4 C.- D. 4 5 ) ∴sin x=- 1-cos2x= 32 4 - 1-?-5? =-5, sin x 4 ∴tan x=cos x=3.

题型分类·深度剖析
题型一 同角三角函数关系式的应用
思维启迪 解析 答案 思维升华 3 【例 1】 (1)已知 cos(π+x)= , 5 (2)sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ 2 2 sin θ + sin θ cos θ - 2cos θ x∈(π , 2π) , 则 tan x = = sin2θ+cos2θ ________. sin2θ sin θcos θ + -2 (2)已知 tan θ=2,则 sin2θ+ cos2θ cos2θ = 2 2 sin θ sin θcos θ-2cos θ 等于( ) 2 +1 cos θ 4 5 2 A.- B. tan θ+tan θ-2 3 4 = 2 tan θ+1 3 4 2 C.- D. 2 +2-2 4 4 5 = 2 = . 5 2 +1

题型分类·深度剖析
题型一 同角三角函数关系式的应用
思维启迪 解析 答案 思维升华 3 【例 1】 (1)已知 cos(π+x)= , 5 (2)sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ 2 2 sin θ + sin θ cos θ - 2cos θ x∈(π , 2π) , 则 tan x = = 4 sin2θ+cos2θ ________. 3 sin2θ sin θcos θ + -2 (2)已知 tan θ=2,则 sin2θ+ cos2θ cos2θ = 2 2 sin θ sin θcos θ-2cos θ 等于( D ) 2 +1 cos θ 4 5 2 A.- B. tan θ+tan θ-2 3 4 = 2 tan θ+1 3 4 2 C.- D. 2 +2-2 4 4 5 = 2 = . 5 2 +1

题型分类·深度剖析
题型一 同角三角函数关系式的应用
思维启迪 解析 答案 思维升华 3 【例 1】 (1)已知 cos(π+x)= , (1)利用 sin2α+cos2α=1 可以 5

x∈(π , 2π) , 则 tan x = 实现角 α 的正弦、余弦的互 ________.
sin α 化,利用 =tan α 可以实 cos α

(2)已知 tan θ=2,则 sin2θ+ 现角 α 的弦切互化. sin θcos θ-2cos2θ 等于( ) (2) 应用公式时注意方程思想 4 5 的应用:对于 sin α+cos α, A.- B. 3 4 sin αcos α,sin α-cos α 这三 3 4 2 C.- D. 个式子,利用 (sin α ± cos α ) = 4 5

1± 2sin αcos α, 可以知一求二.

题型分类·深度剖析
题型一 同角三角函数关系式的应用
思维启迪 解析 答案 思维升华

3 【例 1】 (1)已知 cos(π+x)= , 5 x∈(π , 2π) , 则 tan x = ________. (2)已知 tan θ=2,则 sin2θ+ sin θcos θ-2cos2θ 等于( 4 5 A.- B. 3 4 3 4 C.- D. 4 5 )

(3) 注 意 公 式 逆 用 及 变 形 应用: 1 = sin2α + cos2α , sin2α=1-cos2α, cos2α=1 -sin2α.

题型分类·深度剖析
1+sin x 1 cos x 跟踪训练 1 (1)已知 =- ,那么 的值是( A ) cos x 2 sin x-1 1 1 A. B.- C.2 D.-2 2 2 2 (2)已知 tan θ=2,则 sin θcos θ=________. 5
解析 1+sin x sin x-1 sin2x-1 (1)由于 cos x · cos x = cos2x =-1,

cos x 1 故 = . sin x-1 2

sin θ· cos θ (2)sin θcos θ= 2 sin θ+cos2θ tan θ 2 2 = 2 = 2 =5. tan θ+1 2 +1

题型分类·深度剖析
题型二 诱导公式的应用
?π ? ? (1)已知 cos?6+α? ?= ? ? ?5π ? ? ? - α cos? 6 ?的值; ? ?

思维启迪

解析

思维升华

【例 2】

3 ,求 3 (2)已知 π<α<2π,cos(α-7π) 3 = - , 求 sin(3π + 5 ? 7 ? ? α)· tan?α-2π? ?的值. ? ?

题型分类·深度剖析
题型二 诱导公式的应用
?π ? ? (1)已知 cos?6+α? ?= ? ? ?5π ? ? ? - α cos? 6 ?的值; ? ?

思维启迪

解析

思维升华

【例 2】

3 ,求 3 (2)已知 π<α<2π,cos(α-7π) 3 = - , 求 sin(3π + 5 ? 7 ? ? α)· tan?α-2π? ?的值. ? ?

π (1)将 +α 看作一个整体, 6 π 5π 观察 +α 与 -α 的关系. 6 6 (2)先化简已知,求出 cos α

的值,然后化简结论并代入 求值.

题型分类·深度剖析
题型二 诱导公式的应用
?π ? ? (1)已知 cos?6+α? ?= ? ? ?5π ? ? ? - α cos? 6 ?的值; ? ?

思维启迪

解析

思维升华

【例 2】

3 ,求 3 (2)已知 π<α<2π,cos(α-7π) 3 = - , 求 sin(3π + 5 ? 7 ? ? α)· tan?α-2π? ?的值. ? ?

?π ? ?5π ? ? ? ? (1)∵?6+α?+? 6 -α? ?=π, ? ? ? ?

?π ? 5π ? ∴ 6 -α=π-?6+α? ?. ? ? ?5π ? ? ∴cos? 6 -α? ? ? ? ? ?π ?? ? ? ? =cos?π-?6+α? ?? ? ? ?? ?π ? 3 ? ? =-cos?6+α?=- 3 , ? ? ?5π ? 3 ? ? 即 cos? 6 -α?=- 3 . ? ?

题型分类·深度剖析
题型二 诱导公式的应用
?π ? ? (1)已知 cos?6+α? ?= ? ? ?5π ? ? ? - α cos? 6 ?的值; ? ?

思维启迪

解析

思维升华

【例 2】

(2)∵cos(α-7π)=cos(7π-α) 3 3 =cos(π-α)=-cos α=- , ,求 5 3 (2)已知 π<α<2π,cos(α-7π) ∴cos α=3. 5 3 ? = - , 求 sin(3π + 7 ? ? 5 ∴sin(3π+α)· tan?α-2π? ? ? ? ? ? 7 ? ? ?7 ?? α - π α)· tan? 的值. ? ? ?? ? ? π - α = sin(π + α )· - tan 2 ? ? ?? ? ? 2 ? ? ?? ?π ? ? =sin α· tan?2-α? ? ? ?

题型分类·深度剖析
题型二 诱导公式的应用
?π ? ? (1)已知 cos?6+α? ?= ? ? ?5π ? ? ? - α cos? 6 ?的值; ? ?

思维启迪

解析

思维升华

【例 2】

3 ,求 3 (2)已知 π<α<2π,cos(α-7π) 3 = - , 求 sin(3π + 5 ? 7 ? ? α)· tan?α-2π? ?的值. ? ?

=sin

cos α 3 =sin α· =cos α= . sin α 5

?π ? ? sin?2 -α? ? ? ? α· ? ? ?π cos?2 -α? ? ? ?

题型分类·深度剖析
题型二 诱导公式的应用
?π ? ? (1)已知 cos?6+α? ?= ? ? ?5π ? ? ? - α cos? 6 ?的值; ? ?

思维启迪

解析

思维升华

【例 2】

3 ,求 3 (2)已知 π<α<2π,cos(α-7π) 3 = - , 求 sin(3π + 5 ? 7 ? ? α)· tan?α-2π? ?的值. ? ?

熟练运用诱导 公式和基本 关系式,并确定相应三角函 数值的符号是解题的关 键.另外,切化弦是常用的 规律技巧.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1) 已知

1 -3 ________ .

? ? π 1 ? ? sin ?α+12? = ,则 3 ? ?

? ? 7π ? cos ? ?α+ ? 的值为 12 ? ?

(2)已知 sin α 是方程 5x2-7x-6=0 的根,α 是第三象限角, 3 3 sin?-α- π?cos? π-α? 2 2 则 · tan2(π-α)=________. π π cos? -α?sin? +α? 2 2
? ?? 7π? π? π? ? ? ?? ? 解析 (1)cos?α+12?=cos??α+12?+2? ? ? ? ?? ? ? ? π? 1 ? ? =-sin?α+12?=-3. ? ?

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1) 已知

1 -3 ________ .

? ? π 1 ? ? sin ?α+12? = ,则 3 ? ?

? ? 7π ? cos ? ?α+ ? 的值为 12 ? ?

(2)已知 sin α 是方程 5x2-7x-6=0 的根,α 是第三象限角, 3 3 sin?-α- π?cos? π-α? 2 2 则 · tan2(π-α)=________. π π cos? -α?sin? +α? 2 2
3 (2)∵方程 5x -7x-6=0 的根为- 或 2, 5
2

3 又 α 是第三象限角,∴sin α=-5,

题型分类·深度剖析
跟踪训练 2 (1) 已知

1 -3 ________ .

? ? π 1 ? ? sin ?α+12? = ,则 3 ? ?

? ? 7π ? cos ? ?α+ ? 的值为 12 ? ?

(2)已知 sin α 是方程 5x2-7x-6=0 的根,α 是第三象限角, 3 3 sin?-α- π?cos? π-α? 9 2 2 - 16 则 · tan2(π-α)=________. π π cos? -α?sin? +α? 2 2
4 ∴cos α=- 1-sin2α=- , 5 3 - 5 3 sin α ∴tan α= = = , cos α 4 4 - 5 cos α?-sin α? 9 2 2 ∴原式= · tan α=-tan α=- . sin α· cos α 16

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

三角函数式的求值与化简
1 (1) 已 知 tan α = , 求 3
思维启迪 解析 思维升华

1 的值; 2sin αcos α+cos2α (2)化简:
? 3π? tan?π-α?cos?2π-α?sin?-α+ 2 ? ? ?

cos?-α-π?sin?-π-α?

.

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

三角函数式的求值与化简
1 (1) 已 知 tan α = , 求 3
思维启迪 解析 思维升华

1 的值; 2sin αcos α+cos2α (2)化简:
? 3π? tan?π-α?cos?2π-α?sin?-α+ 2 ? ? ?

三角函数式的化简与求值,都 是按照从繁到简的形式进行转 化,要认真观察式子的规律,

cos?-α-π?sin?-π-α?

.

使用恰当的公式.

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

三角函数式的求值与化简
1 (1) 已 知 tan α = , 求 3
思维启迪 解析 思维升华

1 的值; 2sin αcos α+cos2α (2)化简:
? 3π? tan?π-α?cos?2π-α?sin?-α+ 2 ? ? ?

cos?-α-π?sin?-π-α?

.

1 (1)因为 tan α= , 3 1 所以 2sin αcos α+cos2α sin2α+cos2α = 2sin αcos α+cos2α tan2α+1 2 = = . 2tan α+1 3

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

三角函数式的求值与化简
1 (1) 已 知 tan α = , 求 3
思维启迪 解析 思维升华

1 的值; 2sin αcos α+cos2α (2)化简:
? 3π? tan?π-α?cos?2π-α?sin?-α+ 2 ? ? ?

cos?-α-π?sin?-π-α?

.

-tan α· cos α· ?-cos α? (2)原式= cos?π+α?· ?-sin?π+α?? sin α · cos α tan α· cos α· cos α cos α = = -cos α· sin α -sin α =-1.

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3】

三角函数式的求值与化简
1 (1) 已 知 tan α = , 求 3
思维启迪 解析 思维升华

1 的值; 2sin αcos α+cos2α (2)化简:
? 3π? tan?π-α?cos?2π-α?sin?-α+ 2 ? ? ?

在三角函数式的求值与化简中, 要注意寻找式子中的角,函数式 子的特点和联系,可以切化弦,

cos?-α-π?sin?-π-α?

.

约分或抵消,减少函数种类,对 式子进行化简.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 个三角形是 A.正三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.钝角三角形 2 (1)若 α 为三角形的一个内角,且 sin α+cos α= ,则这 3 ( D )

(2)已知 tan α=2,sin α+cos α<0, sin?2π-α?· sin?π+α?· cos?π+α? 则 =________. sin?3π-α?· cos?π-α?
解析 4 (1)∵(sin α+cos α) =1+2sin αcos α=9,
2

5 ∴sin αcos α=-18<0,∴α 为钝角.故选 D.

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 个三角形是 A.正三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.钝角三角形 2 (1)若 α 为三角形的一个内角,且 sin α+cos α= ,则这 3 ( D )

(2)已知 tan α=2,sin α+cos α<0, sin?2π-α?· sin?π+α?· cos?π+α? 则 =________. sin?3π-α?· cos?π-α?
-sin α· ?-sin α?· ?-cos α? (2)原式= =sin α, sin α· ?-cos α? ∵tan α=2>0,∴α 为第一象限角或第三象限角. 又 sin α+cos α<0,∴α 为第三象限角, sin α 由 tan α=cos α=2,

题型分类·深度剖析
跟踪训练 3 个三角形是 A.正三角形 C.锐角三角形 B.直角三角形 D.钝角三角形 2 (1)若 α 为三角形的一个内角,且 sin α+cos α= ,则这 3 ( D )

(2)已知 tan α=2,sin α+cos α<0, 2 5 sin?2π-α?· sin?π+α?· cos?π+α? - 5 则 =________. sin?3π-α?· cos?π-α?
得 sin α=2cos α 代入 sin2α+cos2α=1,
2 5 解得 sin α=- 5 .

题型分类·深度剖析
思想与方法系列7 方程思想在三角函数求值中的应用
7 典例:(5 分)已知 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),则 tan θ= 13 ________.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

题型分类·深度剖析
思想与方法系列7 方程思想在三角函数求值中的应用
7 典例:(5 分)已知 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),则 tan θ= 13 ________.
审 思题 维路 启线 迪图 规 范 解 答 温 馨 提 醒

利用同角三角函数基本关系,寻求 sin θ+cos θ,sin θ-cos θ 和 sin θcos θ 的关系.

题型分类·深度剖析
思想与方法系列7 方程思想在三角函数求值中的应用
7 典例:(5 分)已知 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),则 tan θ= 13 ________.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

7 解析 方法一 因为 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π), 13 49 2 所以(sin θ+cos θ) =1+2sin θcos θ=169, 60 所以 sin θcos θ=-169. 7 60 2 由根与系数的关系,知 sin θ,cos θ 是方程 x - x- =0 13 169
的两根,

题型分类·深度剖析
思想与方法系列7 方程思想在三角函数求值中的应用
7 典例:(5 分)已知 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),则 tan θ= 13 ________.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

12 5 所以 x1= ,x2=- . 13 13
因为 θ∈(0,π),所以 sin θ>0,cos θ<0.
12 5 所以 sin θ=13,cos θ=-13.
sin θ 12 所以 tan θ=cos θ=- 5 .

题型分类·深度剖析
思想与方法系列7 方程思想在三角函数求值中的应用
7 典例:(5 分)已知 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),则 tan θ= 13 ________.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

60 方法二 同法一,得 sin θcos θ=- , 169 sin θcos θ 60 所以 2 =-169. sin θ+cos2θ tan θ 60 弦化切,得 2 =- , 169 tan θ+1
即 60tan2θ+169tan θ+60=0, 12 5 解得 tan θ=- 或 tan θ=- . 5 12

题型分类·深度剖析
思想与方法系列7 方程思想在三角函数求值中的应用
7 典例:(5 分)已知 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),则 tan θ= 13 ________.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

7 60 又 θ∈(0,π),sin θ+cos θ= >0,sin θcos θ=- <0. 13 169 π 3π 12 所以 θ∈( , ),所以 tan θ=- . 2 4 5 7 ? ?sin θ+cos θ= 13 得, 方法三 解方程组? 2 2 ? ?sin θ+cos θ=1

题型分类·深度剖析
思想与方法系列7 方程思想在三角函数求值中的应用
7 典例:(5 分)已知 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),则 tan θ= 13 12 -5 ________.
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

12 ? ?sin θ=13 ? ?cos θ=- 5 13 ?

5 ? ?sin θ=-13 或? ?cos θ=12 13 ?

(舍).

12 故 tan θ=- . 5

题型分类·深度剖析
思想与方法系列7 方程思想在三角函数求值中的应用
7 典例:(5 分)已知 sin θ+cos θ= ,θ∈(0,π),则 tan θ= 13 12 - ________. 5
思 维 启 迪 规 范 解 答 温 馨 提 醒

三种解法均体现了方程思想在三角函数求值中的应 7 用. 利用已知条件 sin θ+cos θ= 和公式 sin2θ+cos2θ 13 =1 可列方程组解得 sin θcos θ,sin θ-cos θ,也可以 利用一元二次方程根与系数的关系求 sin θ、cos θ.各解 法中均要注意条件 θ∈(0,π)的运用,谨防产生增解.

思想方法·感悟提高

方 法 与 技 巧

同角三角恒等变形是三角恒等变形的基础, 主要是变名、变式. 1. 同角关系及诱导公式要注意象限角对三角 函数符号的影响, 尤其是利用平方关系在 求三角函数值时, 进行开方时要根据角的 象限或范围,判断符号后,正确取舍.

思想方法·感悟提高

2.三角求值、化简是三角函数的基础,在求

方 法 与 技 巧

值与化简时, 常用方法有: (1)弦切互化法: sin x 主要利用公式 tan x=cos x化成正弦、 余弦 函数; (2)和积转换法: 如利用(sin θ± cos θ)2 =1± 2sin θcos θ 的关系进行变形、转化; (3)巧用 “1”的变换: 1= sin2θ+ cos2θ= ? 1 ? π ? 2 2 2 ? cos θ(1 + tan θ) = sin θ ?1+tan2θ? = tan 4 ? ? =?.

思想方法·感悟提高
1.利用诱导公式进行化简求值时,先利用公式 化任意角的三角函数为锐角三角函数,其步 骤:去负—脱周—化锐. 特别注意函数名称和符号的确定.

失 误 与 防 范

2. 在利用同角三角函数的平方关系时, 若开方, 要特别注意判断符号.
3.注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理 化、整式化.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

5 1.α 是第四象限角,tan α=- ,则 sin α 等于 ( D ) 12 1 1 5 5 A. B.- C. D.- 5 5 13 13
sin α 5 12 解析 ∵tan α=cos α=-12,∴cos α=- 5 sin α,

又 sin2α+cos2α=1, 144 2 169 2 2 ∴sin α+ 25 sin α= 25 sin α=1. 5 又 sin α<0,∴sin α=-13.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

π 2.已知 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,且 β=- , 3 则 sin α 等于 3 A.- 2 3 B. 2 1 C.- 2 ( D ) 1 D. 2

解析 因为 α 和 β 的终边关于直线 y=x 对称,所 π π 以 α+β=2kπ+2(k∈Z).又 β=-3,所以 α=2kπ 5π 1 + 6 (k∈Z),即得 sin α=2.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

π 3. 已知 sin(π-α)=-2sin( +α), 则 sin α· cos α 等于( B ) 2 2 2 2 2 1 A. B.- C. 或- D.- 5 5 5 5 5 π 解析 由 sin(π-α)=-2sin(2+α)得 sin α=-2cos α, 所以 tan α=-2, sin α· cos α tan α 2 ∴sin α· cos α= 2 2 = 2 =- ,故选 B. 5 sin α+cos α 1+tan α

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

? sin?π-α?· cos?2π-α? 25π? ? 4.已知 f(α)= ,则 f?- 3 ? ?的值 cos?-π-α?· tan?π-α? ? ?

为 1 A. 2

1 3 B.- C. 2 2 sin αcos α 解析 ∵f(α)= =cos α, -cos α· ?-tan α?
? ? 25π? 25π? ? ? ? ∴f?- 3 ?=cos?- 3 ? ? ? ? ? ? ? π? π 1 ? ? =cos?8π+3?=cos 3=2. ? ?

( A ) 3 D.- 2

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

sin?kπ+α? cos?kπ+α? 5. 已知 A= + (k∈Z), 则 A 的值构成 sin α cos α 的集合是 A.{1,-1,2,-2} C.{2,-2} B.{-1,1} D.{1,-1,0,2,-2} ( C )

sin?2nπ+α? cos?2nπ+α? 解析 当 k=2n(n∈Z)时, A= + =2; sin α cos α
当 k=2n+1(n∈Z)时, sin?2nπ+π+α? cos?2nπ+π+α? A= + =-2. sin α cos α
故 A 的值构成的集合为{-2,2}.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

6.化简:

? 3π? ? sin?α+ 2 ? tan?α+π? ?· ? ?

sin?π-α?

-1 =________.

cos α· tan α sin α 解析 原式=- sin α =-sin α=-1.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

1 7.如果 cos α= ,且 α 是第一象限的角,那么 cos(α+ 5 2 6 3π )=________. 5 2
1 解析 ∵cos α=5,α 为第一象限角,
∴sin α= 1-cos α=
2

12 2 6 1-?5? = 5 ,

3π 2 6 ∴cos(α+ 2 )=sin α= 5 .

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

sin2?α+π?· cos?π+α?· cos?-α-2π? 1 8.化简: =________. 3 π tan?π+α?· sin ? +α?· sin?-α-2π? 2

sin2α· ?-cos α?· cos α sin2αcos2α 解析 原式= =sin2αcos2α=1. 3 tan α· cos α· ?-sin α?

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

4 π 9.已知 sin θ= , <θ<π. 5 2 (1)求 tan θ 的值; sin2θ+2sin θcos θ (2)求 的值. 2 2 3sin θ+cos θ
9 解 (1)∵sin θ+cos θ=1,∴cos θ=25. π 3 又2<θ<π,∴cos θ=-5. sin θ 4 ∴tan θ=cos θ=-3.
2 2 2

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

4 π 9.已知 sin θ= , <θ<π. 5 2 (1)求 tan θ 的值; sin2θ+2sin θcos θ (2)求 的值. 2 2 3sin θ+cos θ
sin2θ+2sin θcos θ tan2θ+2tan θ (2)由(1)知, = 3sin2θ+cos2θ 3tan2θ+1 8 =- . 57

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10. 已知 sin θ, cos θ 是关于 x 的方程 x2-ax+a=0(a∈R) 3 π 3 π 的两个根,求 cos ( -θ)+sin ( -θ)的值. 2 2
解 由已知原方程的判别式 Δ≥0,即(-a)2-4a ≥0,

∴a≥4 或 a≤0.
? ?sin θ+cos θ=a 又? , (sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ, ? ?sin θcos θ=a

则 a2-2a-1=0, 从而 a=1- 2或 a=1+ 2(舍去),

因此 sin θ+cos θ=sin θcos θ=1- 2.

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5
6 7 8 9 10

10. 已知 sin θ, cos θ 是关于 x 的方程 x2-ax+a=0(a∈R) 3 π 3 π 的两个根,求 cos ( -θ)+sin ( -θ)的值. 2 2 3 π 3 π ∴cos ( -θ)+sin ( -θ)=sin3θ+cos3θ 2 2
=(sin θ+cos θ)(sin2θ-sin θcos θ+cos2θ) =(1- 2)[1-(1- 2)]= 2-2.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

1 π π 3 1.已知 sin θ=- ,θ∈(- , ),则 sin(θ-5π)sin( π 3 2 2 2 -θ)的值是 2 2 A. 9 2 2 1 B.- C.- 9 9 1 π π 解析 ∵sin θ=-3,θ∈(-2,2), 2 2 2 ∴cos θ= 1-sin θ= 3 . ∴原式=-sin(π-θ)· (-cos θ)=sin θcos θ 1 2 2 2 2 =-3× 3 =- 9 . ( B ) 1 D. 9

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

π cos2x 2.当 0<x< 时,函数 f(x)= 2 的最小值 4 cos xsin x-sin x 是 1 A. 4 ( D ) 1 B. 2 C.2 D.4

π 解析 当 0<x< 时,0<tan x<1, 4 cos2x 1 f(x)= 2 = 2 , cos xsin x-sin x tan x-tan x 1 1 1 设 t=tan x,则 0<t<1,y= = ≥ =4. t-t2 t?1-t? t+?1-t? 2 [ ] 2 1 当且仅当 t=1-t,即 t= 时等号成立. 2

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5
?5π ? ?2π ? ? ? ? ? + θ - θ cos? 6 ?+sin? ? 3 ? ? ? ?

3. 已知

?π ? ? ? - θ cos?6 ?=a ? ?

(|a|≤1), 则

0 的值是________ .
?5 π ? ? ?π ?? ? ? ? ? ?? 解析 cos? 6 +θ?=cos?π-?6-θ?? ? ? ? ? ?? ?π ? ? =-cos?6-θ? ?=-a. ? ?

?2π ? ?π ?π ?? ?π ? ? ? ? ?? ? ? - θ - θ - θ sin? = sin + = cos ? ? ? ? ?? ? ?=a, 3 6 6 2 ? ? ? ? ?? ? ?
?5π ? ?2π ? ? ? ? + θ - θ ∴cos? + sin ? ? ? ?=0. 6 3 ? ? ? ?

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

cos2?nπ+x?· sin2?nπ-x? 4.已知 f(x)= (n∈Z). 2 cos [?2n+1?π-x] (1)化简 f(x)的表达式; π 503π (2)求 f( )+f( )的值. 2 014 1 007
解 (1)当n为偶数,即n=2k(k∈Z)时, cos2?2kπ+x?· sin2?2kπ-x? f(x)= cos2[?2×2k+1?π-x] cos2x· sin2?-x? = cos2?π-x? cos2x· ?-sin x?2 = =sin2x; 2 ?-cos x?

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

cos2?nπ+x?· sin2?nπ-x? 4.已知 f(x)= (n∈Z). 2 cos [?2n+1?π-x] (1)化简 f(x)的表达式; π 503π (2)求 f( )+f( )的值. 2 014 1 007
当 n 为奇数,即 n=2k+1(k∈Z)时, cos2[?2k+1?π+x]· sin2[?2k+1?π-x] f(x)= cos2{[2×?2k+1?+1]π-x} cos2[2kπ+?π+x?]· sin2[2kπ+?π-x?] = cos2[2×?2k+1?π+?π-x?] cos2?π+x?· sin2?π-x? ?-cos x?2sin2x 2 = = = sin x, cos2?π-x? ?-cos x?2 综上得 f(x)=sin2x.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

cos2?nπ+x?· sin2?nπ-x? 4.已知 f(x)= (n∈Z). 2 cos [?2n+1?π-x] (1)化简 f(x)的表达式; π 503π (2)求 f( )+f( )的值. 2 014 1 007
π 503π 解 (2)由(1)得f( )+f( ) 2 014 1 007 2 π 21 006π =sin +sin 2 014 2 014 π π π =sin2 +sin2( - ) 2 014 2 2 014 2 π 2 π =sin +cos =1. 2 014 2 014

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

1 5.已知在△ABC 中,sin A+cos A= . 5 (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值.
解 1 (1)∵sin A+cos A=5, ①

1 ∴两边平方得 1+2sin Acos A=25,
12 ∴sin Acos A=-25.

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

1 5.已知在△ABC 中,sin A+cos A= . 5 (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值.
12 (2)由sin Acos A=- <0,且0<A<π, 25 可知cos A<0,∴A为钝角,∴△ABC是钝角三角形. 24 49 2 (3)∵(sin A-cos A) =1-2sin Acos A=1+25=25,

练出高分
1 2

B组

专项能力提升
3 4 5

1 5.已知在△ABC 中,sin A+cos A= . 5 (1)求 sin Acos A 的值; (2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; (3)求 tan A 的值.
又 sin A>0,cos A<0,∴sin A-cos A>0, 7 ∴sin A-cos A= . 5 4 3 ∴由①,②可得 sin A= ,cos A=- , 5 5 4 5 sin A 4 ∴tan A= = =- . cos A 3 3 - 5




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