当前位置:首页 >> 数学 >>

[中学联盟]黑龙江省虎林高级中学高中数学选修4-5第四讲:2数学归纳法及其应用不等式1课时1


数学归纳法证明不等式
数学归纳法:
关于正整数n的命题(相当于多米诺骨牌),我们可 以采用下面方法来证明其正确性: 1.验证第一个命题成立(即n=n0第一个命题对应的 n的值,如n0=1) (归纳奠基) ; 2.假设当n=k时命题成立,证明当n=k+1时命题也 成立(归纳递推). 用上假设,递推才真 由(1)、(2)知,对于一切n≥n0的自然数n都成立! 注意

:递推基础不可少,归纳假设要用到,结论写明莫忘掉.

二 用数学归纳法证明不等 式

虎林高级中学

栾红民

下面我们结合具体例题 进一步讨论如何用数学 归 纳法证明不等式 .

例1 观察下面两个数列 , 从第几项起an小于bn ? 证明你的结论 . {an ? n 2 } : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81,? ? ? ; {bn ? 2 n } : 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512,? ? ? .
分析 由数列的前几项猜想 , 从第5项起, an ? bn , 即n ? 2 ?n ? N ? , n ? 5 ?.用数学归纳法证明上述
2 n

猜想时, 第?1?步应证n ? 5的情形 .

证明 ?1?当n ? 5时有5 ? 2 , 命题成立.
2 5

?2?假设当n ? k ?k ? 5?时命题成立 , 即有k
当n ? k ? 1时.因为

2

?2 .
k

?k ? 1?

2

? k 2 ? 2k ? 1 ? k 2 ? 2k ? k ? k 2 ? 3k
2

? k 2 ? k 2 ? 2k 2 ? 2 ? 2k ? 2k ?1.

所以?k ? 1? ? 2k ?1 , 即n ? k ? 1时命题成立 .
由 ?1??2?可知, n2 ? 2n ?n ? N? , n ? 5?.

你能说出证明中每一步 的理由中吗 ?

? 练习53页 3

例2 证明不等式| sin n? |? n | sin ? | ?n ? N ? ?.
分析 这是一个涉及正整数 n的三角函数问题 , 又与绝对值有关 , 在证明递推关系时 , 应注意利 用三角函数的性质及绝 对值不等式.

证明

?1?当n ? 1时, 上式左边 ?| sin ? |? 右边, 不等

式成立.

?2?假设当n ? k ?k ? 1?时, 不等式成立, 即有 | sin k? |
? k | sin ? | .

当n ? k ? 1时, | sin ?k ? 1?? |?| sin k? cos? ? cos k? sin ? |

?| sin k? cos ? | ? | cos k? sin ? | ?| sin k? | ? | cos ? | ? | cos k? | ? | sin ? | ?| sin k? | ? | sin ? | ? k | sin ? | ? | sin ? |
? ?k ? 1? | sin ? | . 所以当n ? k ? 1时不等式成立.

由?1??2?可知, 不等式对一切正整数n均成立.
你能说出证明中每一步 的理由中吗 ?

练习.用数学归纳法证明:

1 1 1 13 ? ??? ? (n ≥ 2, n ? N * ). n?1 n? 2 2n 24

1 1 1 1 14 13 证:(1)当n=2时, 左边= 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 3 ? 4 ? 24 ? 24 ,不等式成立. 1 1 1 13 ? ??? ? , (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即有: k ?1 k ? 2 2k 24 则当n=k+1时,我们有: 1 1 1 1 1 ? ??? ? ? ( k ? 1) ? 1 ( k ? 1) ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ?( ? ? ) k ?1 k ? 2 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1
13 1 1 13 1 13 ? ?( ? )? ? ? . 24 2k ? 1 2k ? 2 24 (2k ? 1)(2k ? 2) 24

即当n=k+1时,不等式也成立. 由(1)、(2)原不等式对一切n ? N
*

, n ≥ 2 都成立.

(4)在证明n=k+1命题成立用到n=k命题成立

时,要分析命题的结构特点,分析“n=k+1时” 命题是什么,并找出与“n=k”时命题形式 的差别.弄清右端应增加的项.
例如:利用数学归纳法证明不等式
1 2 1 13 ? ? ... ? ? n ?1 n ? 2 n ? n 14

由k递推到k+1左边应添加的因式是

1 1 1 ? ? 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1

? 作业:53页 2


相关文章:
更多相关标签: