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高中数学选修2-1《1.4 全称量词与存在量词》课件


1.4 全称量词与存在量词

1.理解全称量词与存在量词的意义. 2.掌握全称命题与特殊命题的定义.
z· · xx· · k

3.能判定全称命题与特称命题的真假.

所有的 任意一个 在逻辑中通常叫做全称量 1.(1)短语“ ________”“________” 词,用符号“________” 来表示.

含有全称量词的命题,叫做 ? 全称命题 _____________ . (2)全称命题“对 M 中任意一个 x,使 p(x)成立”可用符号简

?x∈M,p(x). 记为____________

注意 : 常见的全称量词还有 “一切 ”“ 一个”“任何”“ 有的”等.

存在一个 至少有一个 在逻辑中通常叫 2.(1)短语“____________”“____________”
做存在量词,用符号“________” 表示.含有存在量词的命题, ?

特称命题 . 叫做______________

(2)特称命题“存在 M 中的一个 x0,使 p(x0)成立”可用符号简

?x0∈M,p(x0) . 记为______________
注意:常见的存在量词还有“有些”“有一个”“对某个” “有的”等.

3.含有一个量词的命题的否定.

z· 11`xx· · k

? x0∈M, ?p(x0) , (1)全称命题p:?x∈M,p(x),它的否定 ?p : ______________
特称命题 . 即全称命题的否定是____________

? x∈M, ?p(x), (2)特称命题p:?x0∈M,p(x0),它的否定 ?p : _____________
全称命题 . 即特称命题的否定是____________

【要点】同一个全称命题和特称命题,可以有不同的表述
方法吗? 【剖析】同一个全称命题和特称命题,由于自然语言的不 同,可以有不同的表述方法(见下表).
特称命题?x0∈M,p(x0) ①存在x0∈M,使 p(x0)成立 ②至少有一个x0∈M,使p(x0) ②对一切 x∈M,使 p(x)成立 成立 表述 方法 ③对每一个 x∈M,使 p(x)成立 ③对有些x0∈M,使 p(x0)成立 ④任给一个 x∈M,使 p(x)成立 ④对某个x0∈M,使 p(x0)成立 ⑤若 x∈M,则 p(x)成立 ⑤有一个x0∈M,使 p(x0)成立 命题 全称命题 x∈M,p(x) ①所有的 x∈M,使 p(x)成立

题型1 全称命题和特称命题的判断
例 1:判断下列语句是全称命题还是特称命题. (1)有一个实数 a 不能取对数; (2)所有不等式的解集 A,都有 A?R; (3)有的向量方向不定; (4)三角函数都是周期函数吗? (5)对数函数都是单调函数; (6)至少有一个整数,它既能被 2 整除,也能被 5 整除; (7)?x∈{x|x 是无理数},x2 是无理数; (8)?x0∈{x|x∈Z},log2x0>0.

思维突破:首先看给出的语句是不是命题,其次看命题中 是否有全称量词或存在量词.要注意有些命题的量词是隐含在

句子中的,要能够准确补回其量词.

Z`xx`k

自主解答:(1)命题中含有特称量词“有一个”,因此是特 称命题. (2)命题中含有全称量词“所有”,所以是全称命题. (3)命题中含有特称量词“有的”,因此是特称命题. (4)不是命题. (5)题中隐含了全称量词“任意的”,因此是全称命题. (6)命题中含有特称量词“至少有一个”,因此是特称命题. (7)命题中含有全称量词“ ? ”,是全称命题. (8)命题中含有特称量词“? ”,是特称命题.

【变式与拓展】 1.用符号“? ”或“?”表示下列命题并判断它们的真 假: (1)有一个实数 x,使 x2+x+1=0; (2)实数的平方大于等于 0; (3)存在整数 n,使 n 能被 11 整除.
解:(1)?x0∈R,x2 0+x0+1=0;为假命题. (2)?x∈R,x2≥0;为真命题. (3)?n0∈Z,n0能被11整除;为真命题.

题型 2 全称命题和特称命题的否定及其真假判断 例2:写出下列命题的否定,并判断它们的真假: (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3)有些实数的绝对值是正数; (4)某些平行四边形是菱形. 思维突破:全称命题的否定是特称命题,特称命题的否定

是全称命题.“存在”对应“任意”.

自主解答:(1)存在一个矩形不是平行四边形,假命题. (2)存在一个素数不是奇数,真命题.
z· `xx· · k

(3)所有实数的绝对值都不是正数,假命题.

(4)每一个平行四边形都不是菱形,假命题.

【变式与拓展】

2.下列四个命题的否定中真命题的个数是( C )
①所有实数的平方都是正数; ②任何实数 x 都是方程 5x-12=0 的根; ③被 8 整除的整数能被 4 整除 A.0 个 B.1 个 C.2 个
; z· · xx k

④若一个四边形是正方形,则它的四条边相等.
D.3 个

解析:①的否定为:存在一个实数 x,它的平方不是正数, 是真命题,如 02=0 不是正数;②的否定为:存在一个实数 x0,

x0 不是方程 5x-12=10 的根,是真命题.如 x0=0,5×0-12≠0;
③④为真命题,所以真命题的否定为假命题.


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