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高考数学快速提升成绩题型训练——数列求通项公式[1] 2


高考数学快速提升成绩题型训练——数列求通项公式
1. 设数列{an}的前项的和 Sn=

1 (an-1) (n ? N ? ). 3

(Ⅰ)求 a1;a2; (Ⅱ)求证数列{an}为等比数列.

2

已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=2an +(-1) ,n≥1. (Ⅰ)写出求数列{an}的前 3 项 a1,a2,a3; (Ⅱ)求数列{an}的通项公式;

n

(Ⅲ)证明:对任意的整数 m>4,有

1 1 1 7 ? ?? ? ? . a4 a5 am 8

3. 已知二次函数 y ? f ( x) 的图像经过坐标原点,其导函数为 f ( x) ? 6 x ? 2 ,数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,点
'

(n , Sn )(n? N? )均在函数 y ? f ( x) 的图像上.
(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

1 m , Tn 是数列 {bn } 的前 n 项和,求使得 Tn ? 对所有 n ? N ? 都成立的最小正整数 m. an an ?1 20

4. 若数列 ?a n ?满足: a1 ? 2, a n ? 求证:① a n ? C 2 n ;
n

2(2n ? 1) a n?1 , (n ? 2) . n
k

② a n 是偶数 .

5. 已知数列 {a n }中a1 ? 1 ,且 a 2 k ? a 2 k ?1 ? (?1) , (I) 求 a3 , a5 ; (II)求{ an}的通项公式.

a 2 k ?1 ? a 2 k ? 3 k

其中 k=1,2,3,…….

6. 设 a 0 是常数,且 a n ? ?2a n ?1 ? 3

n ?1

,( n ? N ).
*

证明: a n ? (?2)

n ?1

a0 ?

3 n ? (?1) n ?1 ? 2 n . 5

. 7. 已知数列 ?a n ?的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? (?1) , n ? 1
n

(Ⅰ)写出数列 ?a n ?的前 3 项 a1 ,a 2 , a3 ; (Ⅱ)求数列 ?a n ?的通项公式.

8. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n , a 1 ? 2 ,求数列 {a n } 的通项公式。

9. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1 ,a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。

10. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3 n ? 1,a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。 11. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3 n ? 1,a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。

12. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2(n ? 1)5 n ? a n,a 1 ? 3 ,求数列 {a n } 的通项公式。

?1,n ? 1 ? 13. 已知数列 {a n } 满足 a 1 ? 1 ,a n ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1) ? (n ? 1)a n ?1 (n ? 2) ,则 {a n } 的通项 a n ? ? n! ,n ? 2 ? ?2

14. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5 n ,a 1 ? 6 ,求数列 {a n } 的通项公式。

15. 已知数列 {a n } 满足 a n ? 1 ? 3a n ? 5 ? 2 n ? 4,a 1 ? 1,求数列 {a n } 的通项公式。

16. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? n 2 ? 4n ? 5,a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。

17. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? 2 ? 3 n a 5 n , a 1 ? 7 ,求数列 {a n } 的通项公式。

( n ?1) 2 ,a 1 ? 5 ,求数列 {a n } 的通项公式。 18. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a 3 n

n

19. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ? a n ?

8(n ? 1) (2n ? 1) (2n ? 3)
2 2

,a 1 ?

8 ,求数列 {a n } 的通项公式。 9

20. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ?

1 (1 ? 4a n ? 1 ? 24a n ),a 1 ? 1 ,求数列 {a n } 的通项公式。 16

21. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ?

21a n ? 24 ,a 1 ? 4 ,求数列 {a n } 的通项公式。 4a n ? 1

22. 已知数列 {a n } 满足 a n ?1 ?

7a n ? 2 ,a 1 ? 2 ,求数列 {a n } 的通项公式。 2a n ? 3

23. 已知数列

满足

,求



24. 已知数列

满足

,求



25. 已知数列

中,

,求



答案: 1. 解: (Ⅰ)由 S1 ?

1 1 1 1 1 1 (a1 ? 1) ,得 a1 ? (a1 ? 1) ∴ a1 ? ? 又 S 2 ? (a 2 ? 1) ,即 a1 ? a 2 ? (a 2 ? 1) ,得 a 2 ? . 4 3 3 2 3 3 1 1 (Ⅱ)当 n>1 时, a n ? S n ? S n ?1 ? (a n ? 1) ? (a n ?1 ?1), 3 3 a 1 1 1 得 n ? ? , 所以 ?a n ?是首项 ? ,公比为 ? 的等比数列. a n ?1 2 2 2

2. 解:?当 n=1 时,有:S1=a1=2a1+(-1) ? a1=1; 当 n=2 时,有:S2=a1+a2=2a2+(-1) ? a2=0;
2

当 n=3 时,有:S3=a1+a2+a3=2a3+(-1) ? a3=2;
3

综上可知 a1=1,a2=0,a3=2;

?由已知得: an ? Sn ? Sn ?1 ? 2an ? (?1) ? 2an ?1 ? (?1)
n

n ?1

化简得: an ? 2an ?1 ? 2(?1) 上式可化为: an ?

n ?1

2 2 (?1)n ? 2[an ?1 ? (?1) n?1 ] 3 3 2 2 故数列{ an ? (?1) n }是以 a1 ? (?1)1 为首项, 公比为 2 的等比数列. 3 3 2 1 1 2 2 故 an ? (?1)n ? 2n ?1 ∴ an ? ?2n ?1 ? (?1)n ? [2n ?2 ? (?1) n ] 3 3 3 3 3 2 n?2 数列{ an }的通项公式为: an ? [2 ? (?1) n ] . 3 1 1 1 3 1 1 1 ?由已知得: ? ?? ? ? [ 2 ? 3 ? ? ? m?2 ] a4 a5 am 2 2 ? 1 2 ? 1 2 ? (?1) m 3 1 1 1 1 1 1 ? [ ? ? ? ? ? ? ? m?2 ] 2 3 9 15 33 63 2 ? (?1) m 1 1 1 1 1 ? [1 ? ? ? ? ? ?] 2 3 5 11 21 1 1 1 1 1 ? [1 ? ? ? ? ? ?] 2 3 5 10 20 1 1 (1 ? m?5 ) 1 4 2 2 1 1 4 2 ? [ ?5 ] ? [ ? ? ? m ?5 ] 1 2 3 5 5 2 2 3 1? 2 13 1 1 m?5 13 104 105 7 ? ? ? ( ) ? ? ? ? . 15 5 2 15 120 120 8 1 1 1 7 ? ??? ? ( m>4). 故 a4 a5 am 8

3. 解:(Ⅰ)设这二次函数 f(x)=ax +bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于 f`(x)=6x-2,得 a=3 , b=-2, 所以 f(x)=3x -2x. 又因为点 (n, Sn )(n ? N ) 均在函数 y ? f ( x) 的图像上,所以 S n =3n -2n.
2
2

2

?

3 n ? 1) ? 2(n ? 1) =6n-5. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=(3n -2n)- (
2

?

2

?

当 n=1 时,a1=S1=3×1 -2=6×1-5,所以,an=6n-5 ( n ? N ).
2

?

(2006 年安徽卷)数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,

1 , Sn ? n2 an ? n ? n ? 1? , n ? 1, 2, ??? . 2 (Ⅰ)写出 S n 与 Sn ?1 的递推关系式 ? n ? 2 ? ,并求 S n 关于 n 的表达式;
已知 a1 ?

Sn n ?1 x , bn ? f n/ ? p ?? p ? R ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . n 2 2 2 2 解:由 Sn ? n an ? n ? n ? 1? ? n ? 2 ? 得: Sn ? n ( Sn ? Sn ?1 ) ? n ? n ? 1? ,即 (n ? 1) Sn ? n Sn ?1 ? n ? n ? 1? ,所以
(Ⅱ)设 f n ? x ? ?

n ?1 n Sn ? Sn?1 ? 1 ,对 n ? 2 成立. n n ?1 n ?1 n n n ?1 3 2 n ?1 由 Sn ? Sn?1 ? 1 , Sn ?1 ? Sn ?2 ? 1 ,…, S2 ? S1 ? 1 相加得: Sn ? 2S1 ? n ? 1,又 n n ?1 n ?1 n?2 2 1 n n2 1 ,当 n ? 1 时,也成立. S1 ? a1 ? ,所以 Sn ? n ?1 2

(Ⅱ)由 f n ? x ? ?

Sn n ?1 n n ?1 x ? x ,得 bn ? f n/ ? p ? ? np n . n n ?1 2 3 n ?1 n 而 Tn ? p ? 2 p ? 3 p ? ? ? (n ? 1) p ? np ,
pTn ? p 2 ? 2 p3 ? 3 p 4 ? ? ? (n ? 1) p n ? np n?1 ,

(1 ? P)Tn ? p ? p 2 ? p 3 ? ? ? p n ?1 ? p n ? np n ?1 ? an 2(2n ? 1) ? a n ?1 n

p(1 ? p n ) ? np n ?1 . 1? p

4. 证明:由已知可得: 又 an ?
n 2n

(2n)! ?2 ? 4 ? 6 ? ?(2n ? 2)2n? ? ?1 ? 3 ? 5?(2n ? 1)? 2 n ? 3 ? 5 ? ?(2n ? 1) 而C ? = ? n! n!?n! n!?n! n n n 所以 a n ? C 2 n ,而 a n ? C 2 n ? 2C 2 n ?1 为偶数.
5. 解(Ⅰ)(略) a3 ? 3, a5 ? 13 (II)

a n a n ?1 a 2 n ? 3 ? 5 ? ?(2n ? 1) ? ? ? 2 ? a1 = a n ?1 a n ? 2 a1 n!

a 2 k ?1 ? a 2 k ? 3 k ? a 2 k ?1 ? (?1) k ? 3 k
k k

所以 a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 ? 3 ? (?1)

,为差型

故 a 2 k ?1 ? (a 2 k ?1 ? a 2 k ?1 ) ? (a 2 k ?1 ? a 2 k ?3 ) ? ?(a3 ? a1 ) ? a1

? (3k ? 3k ?1 ? ?3) ? (?1) k ? (?1) k ?1 ? ? ? (?1) ? 1
=

?

?

3

k ?1

1 ? (?1) k ? 1 . 2 2 3k 1 3k 1 k ?1 k ? a 2 k ?1 ? (?1) ? ? (?1) ? (?1) ? 1 ? ? (?1) k ? 1 . 2 2 2 2
k

a2k

所以{an}的通项公式为: 当 n 为奇数时, a n ?

3

n? 2 2

2
n 2

? (?1)

n ?1 2

?

1 ?1; 2

3 1 当 n 为偶数时, a n ? ? (?1) 2 ? ? 1 . 2 2
6. 方法(1):构造公比为—2 的等比数列 a n ? ? ? 3 方法(2):构造差型数列 ?

n

?

n

?,用待定系数法可知 ? ? ? 1 .
5

? an ? an a n ?1 1 3 n ? ? ? (? ) n ,从而可以用累加的 ,即两边同时除以 (?2) 得: n ? n n ?1 3 2 (?2) (?2) ? ( ?2) ?

方法处理. 方法(3):直接用迭代的方法处理:

a n ? ?2a n?1 ? 3n?1 ? ?2(?2a n?2 ? 3n ?2 ) ? 3n?1 ? (?2) 2 a n ?2 ? (?2)3n?2 ? 3n?1
? (?2) 2 (?2a n?3 ? 3n?3 ) ? (?2) 2 3n?2 ? 3n?1

? (?2) 3 a n?3 ? (?2) 2 3n?3 ? (?2) 3n ?2 ? 3n?1 ? ? ? (?2) n a0 ? (?2) n?1 30 ? (?2) n?2 31 ? (?2) n?3 32 ? ?(?2) 2 3n?3 ? (?2) 3n?2 ? 3n?1 ? (?2) n a0 ?
7. 分析: S n ? 2a n ? (?1) , n ? 1.
n

3n ? (?1) n ?1 ? 2 n . 5

-① -② -③

由 a1 ? S1 ? 2a1 ? 1, 得 a1 ? 1. 由 n ? 2 得, a1 ? a2 ? 2a2 ? 1 ,得 a 2 ? 0

由 n ? 3 得, a1 ? a 2 ? a3 ? 2a3 ? 1 ,得 a3 ? 2 用 n ? 1 代 n 得 S n ?1 ? 2a n ?1 ? (?1) 即 a n ? 2a n ?1 ? 2(?1)
n
n

-④

n ?1

-⑤
n

①—⑤: a n ? S n ? S n ?1 ? 2a n ? 2a n ?1 ? 2(?1)

a n ? 2a n?1 ? 2(?1) ? 2 2a n?2 ? 2(?1)

?

n ?1

?? 2(?1)

--⑥

n

? ? ? 2 n?1 a1 ? 2 n?1 (?1) ? 2 n?2 (?1) 2 ? ?2(?1) n

? 2 2 a n ?2 ? 2 2 (?1) n ?1 ? 2(?1) n 2 ? 2 n?2 ? (?1) n?1 3

?

?

8. 解: a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 2 n 两边除以 2 n ?1 ,得 故数列 {

a n ?1 2
n ?1

?

an 2
n

?

a ?1 a n 3 3 ,则 n ? ? , 2 2 n ?1 2 n 2

a a an 2 3 3 ? ? 1 为首,以 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得 n ? 1 ? (n ? 1) ,所以数 } 是以 1 1 n 2n 2 2 2 2 2 3 1 列 {a n } 的通项公式为 a n ? ( n ? )2 n 。 2 2
9. 解:由 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1 得 a n ?1 ? a n ? 2n ? 1 则 a n ? (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ?2 ) ? ? ? (a 3 ? a 2 ) ? (a 2 ? a 1 ) ? a 1

? [2(n ? 1) ? 1] ? [2(n ? 2) ? 1] ? ? ? (2 ? 2 ? 1) ? (2 ? 1 ? 1) ? 1 ? 2[(n ? 1) ? (n ? 2) ? ? ? 2 ? 1] ? (n ? 1) ? 1 ? 2? (n ? 1)n ? (n ? 1) ? 1 2

所以数列 {a n } 的通项公式为 a n ? n 2 10. 解:由 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3 n ? 1 得 a n ?1 ? a n ? 2 ? 3 n ? 1 则 a n ? (a n ? a n ?1 ) ? (a n ?1 ? a n ?2 ) ? ? ? (a 3 ? a 2 ) ? (a 2 ? a 1 ) ? a 1

? (2 ? 3 n ?1 ? 1) ? (2 ? 3 n ? 2 ? 1) ? ? ? (2 ? 3 2 ? 1) ? (2 ? 31 ? 1) ? 3 ? 2(3 n ?1 ? 3 n ? 2 ? ? ? 3 2 ? 31 ) ? (n ? 1) ? 3
所以 a n ? 2 ?

3 ? 3n ? n ? 2 ? 3n ? n ? 1 1? 3

11. 解: a n ?1 ? 3a n ? 2 ? 3 n ? 1 两边除以 3n ?1 ,得

a n ?1 3
n ?1

?

an 3
n

? an 3
n

2 1 ? n ?1 , 3 3 ?
?

则 故

a n ?1 3
3
n ?1

?

2 1 ? n ?1 , 3 3

an
n

?(

an 3
n

a n ?1 a a n ?2 a n ? 2 a n ?3 a 2 a1 a ) ? ( n ?1 ? n )?( n ? n ?3 ) ? ? ? ( 2 ? 1)? 1 ?2 ?2 a n ?1 a n ?1 3 3 3 3 3 3

2 1 2 1 2 1 2 1 3 ? ( ? n ) ? ( ? n ?1 ) ? ( ? n ?2 ) ? ? ? ( ? 2 ) ? 3 3 3 3 3 3 3 3 3

?

2(n ? 1) 1 1 1 1 1 ? ( n ? n ? n ?1 ? n ?2 ? ? ? 2 ) ? 1 3 3 3 3 3 3

1 ? (1 ? 3 n ?1 ) a n 2(n ? 1) 3 n 2n 1 1 因此 n ? , ? ?1? ? ? 3 1? 3 3 2 2 ? 3n 3
则 an ?

2 1 1 ? n ? 3n ? ? 3n ? 3 2 2
a n ?1 ? 2(n ? 1)5 n , an

12. 解:因为 a n ?1 ? 2(n ? 1)5 n ? a n,a 1 ? 3 ,所以 a n ? 0 ,则 则an ?

an a n ?1

?

a n ?1 an?2

???

a3 a2

?

a2 a1

? a1

? [2(n ? 1 ? 1)5 n ?1 ] ? [2(n ? 2 ? 1)5 n ?2 ]?[2 ? (2 ? 1) ? 5 2 ] ? [2 ? (1 ? 1) ? 51 ] ? 3 ? 2 n ?1 ? [n ? (n ? 1) ? ? ? 3 ? 2] ? 5 ( n ?1)?( n ?2)??? 2?1 ? 3
所以数列 {a n } 的通项公式为

an ? 3? 2

n ?1

n ( n ?1) ?5 2

? n!


13. 解:因为 a n ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1)a n ?1 (n ? 2) 所以 a n ?1 ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1)a n ?1 ? na n 所以②式-①式得 a n ?1 ? a n ? na n 则 a n ?1 ? (n ? 1)a n (n ? 2) 则 ②

a n ?1 ? n ? 1(n ? 2) an
a a n a n ?1 ? ??? 3 ? a 2 a n ?1 a n ?2 a2

所以 a n ?

? [n(n ? 1) ? ? ? 4 ? 3] ? a 2 ?

n! ?a2 2



由 a n ? a 1 ? 2a 2 ? 3a 3 ? ? ? (n ? 1)a n ?1 (n ? 2) ,取 n=2 得 a 2 ? a 1 ? 2a 2 ,则 a 2 ? a 1 ,又知 a 1 ? 1 ,则 a 2 ? 1 ,代入 ③得

a n ? 1? 3 ? 4 ? 5 ??? n ?

n! 。 2


14. 解:设 a n ?1 ? x ? 5 n ?1 ? 2(a n ? x ? 5 n )

将 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? 5 n 代 入 ④ 式 , 得 2a n ? 3 ? 5 n ? x ? 5 n ?1 ? 2a n ? 2x ? 5 n , 等 式 两 边 消 去 2a n , 得

3 ? 5 n ? x ? 5 n ?1 ? 2x ? 5 n ,两边除以 5 n ,得 3 ? x ? 5 ? 2x ,则 x=-1,代入④式,
得 a n ?1 ? 5 n ?1 ? 2(a n ? 5 n ) ⑤

由 a 1 ? 51 ? 6 ? 5 ? 1 ≠0 及⑤式,得 a n ? 5 n ? 0 ,则

a n ?1 ? 5 n ?1 a n ? 5n

? 2 ,则数列 {a n ? 5 n } 是以 a 1 ? 51 ? 1 为首项,以 2

为公比的等比数列,则 a n ? 5 n ? 1 ? 2 n ?1 ,故 a n ? 2 n ?1 ? 5n 。

15. 解:设 a n ?1 ? x ? 2 n ?1 ? y ? 3(a n ? x ? 2 n ? y) 将 a n ?1 ? 3a n ? 5 ? 2 n ? 4 代入⑥式,得



3a n ? 5 ? 2 n ? 4 ? x ? 2 n ?1 ? y ? 3(a n ? x ? 2 n ? y)
整理得 (5 ? 2x ) ? 2 n ? 4 ? y ? 3x ? 2 n ? 3y 。

?5 ? 2 x ? 3x ?x ? 5 令? ,则 ? ,代入⑥式,得 ?4 ? y ? 3 y ?y ? 2
a n ?1 ? 5 ? 2 n ?1 ? 2 ? 3(a n ? 5 ? 2 n ? 2)
由 a 1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 ? 0 及⑦式, 得 a n ? 5 ? 2 n ? 2 ? 0 ,则 ⑦

a n ?1 ? 5 ? 2 n ?1 ? 2 a n ? 5 ? 2n ? 2

? 3,

故数列 {a n ? 5 ? 2 n ? 2} 是以 a 1 ? 5 ? 21 ? 2 ? 1 ? 12 ? 13 为首项,以 3 为公比的等比数列,因此 a n ? 5 ? 2 n ? 2 ? 13 ? 3 n ?1 , 则 a n ? 13 ? 3 n ?1 ? 5 ? 2 n ? 2 。 16. 解:设 a n ?1 ? x (n ? 1) 2 ? y(n ? 1) ? z

? 2(a n ? xn 2 ? yn ? z)



将 a n ?1 ? 2a n ? 3 ? n 2 ? 4n ? 5 代入⑧式,得

2a n ? 3 ? n 2 ? ?4n ? 5 ? x (n ? 1) 2 ? y(n ? 1) ? z ? 2(a n ? xn 2 ? yn ? z) ,则
2a n ? (3 ? x )n 2 ? (2 x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2a n ? 2 xn 2 ? 2 yn ? 2z
等式两边消去 2a n ,得 (3 ? x )n 2 ? (2x ? y ? 4)n ? ( x ? y ? z ? 5) ? 2xn 2 ? 2 yn ? 2z ,

?3 ? x ? 2 x ?x ? 3 ? ? 则得方程组 ?2 x ? y ? 4 ? 2 y ,则 ? y ? 10 ,代入⑧式,得 ?x ? y ? z ? 5 ? 2z ?z ? 18 ? ?
a n ?1 ? 3(n ? 1) 2 ? 10(n ? 1) ? 18 ? 2(a n ? 3n 2 ? 10n ? 18)
由 a 1 ? 3 ? 12 ? 10 ? 1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 ? 0 及⑨式,得 ⑨

a n ? 3n 2 ? 10n ? 18 ? 0


a n ?1 ? 3(n ? 1) 2 ? 10(n ? 1) ? 18 a n ? 3n ? 10n ? 18
2

? 2 ,故数列 {a n ? 3n 2 ? 10n ? 18} 为以 a 1 ? 3 ? 12 ? 10 ? 1 ? 18 ? 1 ? 31 ? 32 为首项,以

2 为公比的等比数列,因此 a n ? 3n 2 ? 10n ? 18 ? 32 ? 2 n ?1 ,则 a n ? 2 n ? 4 ? 3n 2 ? 10n ? 18 。
n 5 17. 解 : 因 为 a n ?1 ? 2 ? 3 n a 5 n,a 1 ? 7 , 所 以 a n ? 0,a n ?1 ? 0 。 在 a n ?1 ? 2 ? 3 a n 式 两 边 取 常 用 对 数 得

lg a n ?1 ? 5 lg a n ? n lg 3 ? lg 2



1 设 lg a n ?1 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg a n ? xn ? y) 1 ○ 11 式 , 得 5 lg a n ? n lg 3 ? lg 2 ? x(n ? 1) ? y ? 5(lg a n ? xn ? y) , 两 边 消 去 5 lg a n 并 整 理 , 得 将⑩式代入○ (lg 3 ? x)n ? x ? y ? lg 2 ? 5xn ? 5y ,则

lg 3 ? x? ? ?lg 3 ? x ? 5x ? 4 ,故 ? ? ?x ? y ? lg 2 ? 5y ? y ? lg 3 ? lg 2 ? 16 4 ?
11式,得 lg a n ?1 ? 代入○

lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4
1 2 ○

? 5(lg a n ?
由 lg a 1 ? 得 lg a n ?

lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ) 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 12式, ?1 ? ? ? lg 7 ? ?1 ? ? ? 0 及○ 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 n? ? ?0, 4 16 4

lg a n ?1 ?


lg 3 lg 3 lg 2 (n ? 1) ? ? 4 16 4 ? 5, lg 3 lg 3 lg 2 lg a n ? ?n ? ? 4 16 4

lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 为首项,以 5 为公比的等比数列,则 n? ? } 是 以 lg 7 ? ? ? 4 16 4 4 16 4 lg 3 lg 3 lg 2 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 , 因 此 lg a n ? n? ? ? (lg 7 ? ? ? )5 4 16 4 4 16 4 1 1 1 lg 3 lg 3 lg 2 n ?1 lg 3 lg 3 lg 2 6 4 lg a n ? (lg 7 ? ? ? )5 ? n? ? ? (lg 7 ? lg 3 ? lg 3 ? lg 2 4 )5 n ?1 4 16 4 4 6 4
所 以 数 列 {lg a n ?
n ? lg 3 4
n ? lg( 3 4

1 16 ? lg 3
1 16 ?3

1 ? lg 2 4

1 ? [lg( 7 ? 3 4
5n ?1

1 16 ?3

1 ? 2 4 )]5 n ?1

n ? lg( 3 4

1 16 ?3

1 ? 24

)?
5n ?1 ?1 ? 2 4 ) ,则 a n

1 lg( 7 ? 3 4

1 16 ?3

1 ? 24

)5 n ?1

1 ? 24

) ? lg( 7

5n ?1 ? n ?3 4

5n ?1 ?1 ? 3 16

5n ?1 ?1 ?2 4 )

? lg( 7

5n ?1

5n ? 4 n ?1 ? 3 16

?7

5n ?1

5n ? 4 n ?1 ? 3 16

5n ?1 ?1 ?2 4



( n ?1) 2 18. 解:因为 a n ?1 ? a 3 ,所以 n
n ?2 an ? a3 n ?1
2
n ?1

n

( n ?1)?2 ? [a 3 n ?2

n ?2

] 3 n ?2

n ?1

( n ?1)?n ?2 ? a3 n ?2 ( n ? 2 )?2 ? [a 3 n ?3
3

( n ? 2 ) ? ( n ?1)

n ?3

]3

2

( n ?1)?n ?2 ( n ? 2 ) ? ( n ?1)

( n ? 2 )( n ?1) n ?2 ? a3 n ?3

( n ? 3 ) ? ( n ? 2 ) ? ( n ?1)

??
3 ? a1
n ?1

?2?3??( n ? 2 )?( n ?1)?n ?21? 2 ???? ( n ? 3 ) ? ( n ? 2 ) ? ( n ?1)
n ( n ?1)

?

3n ?1 ?n!?2 a1

2

n ( n ?1)

又 a 1 ? 5 ,所以数列 {a n } 的通项公式为 a n ? 5

3n ?1 ?n!?2

2



19. 解:由 a n ?1 ? a n ?

8(n ? 1) (2n ? 1) (2n ? 3)
2 2

及 a1 ?

8 ,得 9

a 2 ? a1 ?

8(1 ? 1) (2 ? 1 ? 1) 2 (2 ? 1 ? 3) 2

?

8 8 ? 2 24 ? ? 9 9 ? 25 25

a3 ? a2 ?

8(2 ? 1)

(2 ? 2 ? 1) 2 (2 ? 2 ? 3) 2 24 8?3 48 ? ? ? 25 25 ? 49 49 8(3 ? 1)

a4 ? a3 ?

(2 ? 3 ? 1) 2 (2 ? 3 ? 3) 2 48 8?4 80 ? ? ? 49 49 ? 81 81
(2n ? 1) 2 ? 1 (2n ? 1) 2
,往下用数学归纳法证明这个结论。

由此可猜测 a n ?

(1)当 n=1 时, a 1 ?

(2 ? 1 ? 1) 2 ? 1 (2 ? 1 ? 1)
2

?

8 ,所以等式成立。 9

(2)假设当 n=k 时等式成立,即 a k ?

(2k ? 1) 2 ? 1 (2k ? 1) 2

,则当 n ? k ? 1 时,

a k ?1 ? a k ?
? ? ? ?

8(k ? 1) (2k ? 1) 2 (2k ? 3) 2
2

( 2k ? 1) 2 ? 1 ( 2k ? 1)

?

8( k ? 1) ( 2k ? 1) 2 ( 2k ? 3) 2

[(2k ? 1) 2 ? 1](2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) ( 2k ? 1) 2 ( 2k ? 3) 2 ( 2k ? 1) 2 ( 2k ? 3) 2 ? ( 2k ? 3) 2 ? 8( k ? 1) ( 2k ? 1) 2 ( 2k ? 3) 2 ( 2k ? 1) 2 ( 2k ? 3) 2 ? ( 2k ? 1) 2 ( 2k ? 1) 2 ( 2k ? 3) 2

?

(2k ? 3) 2 ? 1 (2k ? 3) 2

?

[2(k ? 1) ? 1] 2 ? 1 [2(k ? 1) ? 1] 2

由此可知,当 n=k+1 时等式也成立。 根据(1)(2)可知,等式对任何 n ? N *

20. 解:令 b n ? 1 ? 24a n ,则 a n ? 故 a n ?1 ?

1 2 (b n ? 1) 24

1 2 1 (b n ?1 ? 1) ,代入 a n ?1 ? (1 ? 4a n ? 1 ? 24a n ) 得 24 16

1 2 1 1 (b n ?1 ? 1) ? [1 ? 4 ? (b 2 n ? 1) ? b n ] 24 16 24
2 即 4b 2 n ?1 ? (b n ? 3)

因为 b n ? 1 ? 24a n ? 0 ,故 b n ?1 ? 1 ? 24a n ?1 ? 0 则 2b n ?1 ? b n ? 3 ,即 b n ?1 ? 可化为 b n ?1 ? 3 ?

1 3 bn ? , 2 2

1 (b n ? 3) , 2

所 以 {b n ? 3} 是 以 b1 ? 3 ? 1 ? 24a 1 ? 3 ? 1 ? 24 ? 1 ? 3 ? 2 为 首 项 , 以

1 1 1 1 b n ? 3 ? 2 ? ( ) n ?1 ? ( ) n ?2 ,则 b n ? ( ) n ? 2 +3,即 1 ? 24a n ? ( ) n ?2 2 2 2 2

1 为公比的等比数列,因此 2 2 1 1 1 ? 3 ,得 a n ? ( ) n ? ( ) n ? 。 3 4 2 3

21x ? 24 21x ? 24 ,得 4x 2 ? 20x ? 24 ? 0 ,则 x 1 ? 2,x 2 ? 3 是函数 f ( x ) ? 的两个不动点。因为 4x ? 1 4x ? 1 21a n ? 24 ?2 a n ?1 ? 2 4a n ? 1 21a n ? 24 ? 2(4a n ? 1) 13a n ? 26 13 an ? 2 a ?2 。 , 所 以 数 列 { n ? ? ? ? } 是 以 an ? 3 an ? 3 a n ?1 ? 3 21a n ? 24 21a n ? 24 ? 3(4a n ? 1) 9a n ? 27 9 ?3 4a n ? 1 a1 ? 2 4 ? 2 a ?2 1 13 13 ?3。 ? ? 2 为首项,以 为公比的等比数列,故 n ? 2( ) n ?1 ,则 a n ? 13 n ?1 a1 ? 3 4 ? 3 an ? 3 9 9 2( ) ? 1 9
21. 解:令 x ?

22. 解:令 x ? 因为 a n ?1 ? 1 ?

7x ? 2 3x ? 1 ,得 2x 2 ? 4x ? 2 ? 0 ,则 x=1 是函数 f ( x ) ? 的不动点。 2x ? 3 4x ? 7

7a n ? 2 5a ? 5 ,所以 ?1? n 2a n ? 3 2a n ? 3

3 5 a ? 2a n ? 3 2 n 2 2 2 1 1 1 1 2 所以数列 { 以 为 ? } 是以 ? ? 1 为首项, ? ? ? (1 ? 2 ) ? ? , a n ?1 ? 1 5a n ? 5 5 a n ? 1 5 an ?1 a1 ? 1 2 ? 1 5 an ?1 an ?1 5 1 2 2n ? 8 公差的等差数列,则 。 ? 1 ? (n ? 1) ? ,故 a n ? an ?1 5 2n ? 3
1

3x ? 1 7x ? 2 的不动点,即方程 x ? 的 根 x ?1 , 进 而 可 推 出 4x ? 7 2x ? 3 1 1 2 1 1 ? ? ,从而可知数列 { } 为等差数列,再求出数列 { } 的通项公式,最后求出数列 {a n } 的通 a n ?1 ? 1 a n ? 1 5 an ?1 an ?1
评 注 : 本 题 解 题 的 关 键 是 先 求 出 函 数 f (x) ? 项公式。

23. 解:由条件知:

分别令

,代入上式得

个等式累加之,即

所以

又因为

所以

24. 解:由条件知

,分别令

,代入上式得

个等式累乘之,即

所以

又因为

,所以



25. 解:由

可转化为



所以

解得:



这里不妨选用

(当然也可选用

,大家可以试一试),则

所以

是以首项为

,公比为

的等比数列

所以


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