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初高中数学衔接课程平面几何知识补充



高中所需平面几何知识补充
1. 合比性质与等比性质
1. 已知

y x? y 8 x =________。 ? ,则 =________, x? y y 3 y

2. 已知

a c e 5 a?c ?e a ? 2c ? 3e =_____, =____。 ? ? ? (b+d+f≠0).b+2d-3f≠0。则 b d f 7 b?d ? f b ? 2d ? 3 f x? y y?z x?z ? ? ? k ,则 k=_________。 z x y

3. 已知

2. 三角形内角与外交平分线定理 1)内角平分线定理 已知:如图所示,AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分线。 求证: BA/AC=BD/DC;
思路 1:过 C 作角平分线 AD 的平行线。 证明 1:过 C 作 CE∥DA 与 BA 的延长线交于 E。 则: BA/AE=BD/DC; ∵ ∠BAD=∠AEC; (两线平行,同位角相等) ∠CAD=∠ACE; (两线平行,内错角相等) ∠BAD=∠CAD; (已知) ∴ ∠AEC=∠ACE; (等量代换) ∴ AE=AC; ∴ BA/AC=BD/DC 。 结论 1:该证法具有普遍的意义。 引出三角形内角平分线定理:三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。

在? ABC中,若AD为?BAC的 AB BD 平分线,则: ? AC CD
思路 2:利用面积法来证明。 已知:如图 8-4 乙所示,AD 是△ABC 的内角∠BAC 的平分线。 求证: BA/AC=BD/DC 证明 2:过 D 作 DE⊥AB 于 E,DF⊥AC 于 F; ∵ ∠BAD=∠CAD; (已知) ∴ DE=DF; ∵ BA/AC=S△BAD/S△DAC; (等高时,三角形面积之比等于底之 比) BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC; (同高时,三角形面积之比等于底之比) ∴ BA/AC=BD/DC

结论 2:遇到角平分线,首先要想到往角的两边作平行线,构造等腰三角形或菱形,其次要 想到往角的两边作垂线,构造翻转的直角三角形全等,第三,要想到长截短补法。

2)*外角平分线定理 已知:如图所示,AD 是△ABC 中∠BAC 的外角∠CAF 的平分线。 求证: BA/AC=BD/DC
思路 1:作角平分线 AD 的平行线。 证明 1:过 C 作 CE∥DA 与 BA 交于 E。则: BA/AE=BD/DC ∵ ∠DAF=∠CEA; (两线平行,同位角相等) ∠DAC=∠ECA; (两线平行,内错角相等) ∠DAF=∠DAC; (已知) ∴ ∠CEA=∠ECA; (等量代换) ∴ AE=AC; ∴ BA/AC=BD/DC 。 结论 1:该证法具有普遍的意义。 引出三角形外角平分线定理: 如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段, 那么这两条线 段和相邻的两边应成比例

在? ABC中,AD为?A的外角?CAE 的平分线, AB BD 则: ? AC CD
思路 2:利用面积法来证明。 已知:如图 8-5 乙所示,AD 是△ABC 内角∠BAC 的外角∠CAF 的平分线。 求证: BA/AC=BD/DC. 证明 2:过 D 作 DE⊥AC 于 E,DF∥⊥BA 的延长线于 F; ∵ ∠DAC=∠DAF; (已知) ∴ DE=DF; ∵ BA/AC=S△BAD/△DAC; (等高时,三角形面积之比等于底 之比) BD/DC=S△BAD/△DAC ; (同高时,三角形面积之比等于底之比) ∴ BA/AC=BD/DC 结论 2:使用面积法时,要善于从不同的角度去看三角形的底和高。在该证法中,我们看△ BAD 和△DAC 的面积时,先以 BA 和 AC 作底,而以 DF、DE 为等高。然后以 BD 和 DC 为底,而高是同高

2.在? ABC中,AD是?ABC的平分线, AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8,则AB=_______
3.Rt? ABC中,?B ? 90?, AB ? 12, BC ? 5, DE ? AC于E , AD 1 D在AB边上,且 ? , 则DE ? ____________ AC 3

3.如图,在△ABC 中,AD 是角 BAC 的平分线, AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求 BD 的长.

图 3.1-8

2. 圆心角与圆周角
圆心角
如图所示,∠AOB 的顶点在圆心,像这样顶点在圆心的角叫做圆心角.

B A O

(学生活动)请同学们按下列要求作图并回答问题: 如图所示的⊙O 中,分别作相等的圆心角∠AOB?和∠A?′OB?′将圆心角∠AOB 绕 圆心 O 旋转到∠A′OB′的位置,你能发现哪些等量关系?为什么?

B A O

A' B'

? AB = ? A ' B ' ,AB=A′B′
理由:∵半径 OA 与 O′A′重合,且∠AOB=∠A′OB′ ∴半径 OB 与 OB′重合 ∵点 A 与点 A′重合,点 B 与点 B′重合

AB 与 ? A ' B ' 重合,弦 AB 与弦 A′B′重合 ∴? AB = ? A ' B ' ,AB=A′B′ ∴?
因此,在同一个圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等. 在等圆中,相等的圆心角是否也有所对的弧相等,所对的弦相等呢??请同学们现在动

手作一作. (学生活动)老师点评:如图 1,在⊙O 和⊙O′中,?分别作相等的圆心角∠AOB 和 ∠A′O′B′得到如图 2,滚动一个圆,使 O 与 O′重合,固定圆心,将其中的一个圆旋 转一个角度,使得 OA 与 O′A′重合.

B A O
O O' O(O')

B' A' O' B'
(2)

B O(O') A A'

(1) 你能发现哪些等量关系?说一说你的理由? 我能发现: ? AB = ? A ' B ' ,AB=A/B/.

现在它的证明方法就转化为前面的说明了,?这就是又回到了我们的数学思想上去呢─ ─化归思想,化未知为已知,因此,我们可以得到下面的定理: 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦也相等. 同样,还可以得到: 在同圆或等圆中,如果两条弧相等,那么它们所对的圆心角相等,?所对的弦也相等. 在同圆或等圆中,如果两条弦相等,那么它们所对的圆心角相等,?所对的弧也相等. 1.如图,在⊙O 中,AB、CD 是两条弦,OE⊥AB,OF⊥CD,垂足分别为 EF. (1)如果∠AOB=∠COD,那么 OE 与 OF 的大小有什么关系?为什么?

? 的大小有什么关系?AB 与 CD 的大小有什么关系? (2) 如果 OE=OF, 那么 ? AB 与 CD
?为什么?∠AOB 与∠COD 呢?

A E O B

C F D

2.如图 3 和图 4,MN 是⊙O 的直径,弦 AB、CD?相交于 MN?上的一点 P,?∠APM= ∠CPM. (1)由以上条件,你认为 AB 和 CD 大小关系是什么,请说明理由. (2)若交点 P 在⊙O 的外部,上述结论是否成立?若成立,加以证明;若不成立,请 说明理由.

A F

M P E

C

A E B
B

O D N
(3)

N D
(4)

M P F C

练习题
一、选择题. 1.如果两个圆心角相等,那么( ) A.这两个圆心角所对的弦相等;B.这两个圆心角所对的弧相等 C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D.以上说法都不对 2.在同圆中,圆心角∠AOB=2∠COD,则两条弧 AB 与 CD 关系是( )

? A. ? AB =2 CD

? B. ? AB > CD

? C. ? AB <2 CD

D.不能确定

3.如图 5,⊙O 中,如果 ? . AB =2 ? AC ,那么( ) A.AB=AC B.AB=AC C.AB<2AC D.AB>2AC

C
A C O B

E A D O B

(5)

(6)

二、填空题 1.交通工具上的轮子都是做圆的,这是运用了圆的性质中的_________. 2.一条弦长恰好为半径长,则此弦所对的弧是半圆的_________. 3.如图 6,AB 和 DE 是⊙O 的直径,弦 AC∥DE,若弦 BE=3,则弦 CE=________.

三、解答题 1.如图,在⊙O 中,C、D 是直径 AB 上两点,且 AC=BD,MC⊥AB,ND⊥AB,M、 N?在⊙O 上.

? ; (1)求证: ? AM = BN ? ? NB ? 成立吗? (2)若 C、D 分别为 OA、OB 中点,则 ? AM ? MN
M A N D B

C

O

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2.如图,以

? ABCD 的顶点 A 为圆心,AB 为半径作圆,分别交 BC、AD 于 E、F,

? 的度数和 EF ? 的度数. 若∠D=50°,求 BE

A

F

D

B

E

C

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3.如图,∠AOB=90°,C、D 是 AB 三等分点,AB 分别交 OC、OD 于点 E、F,求证: AE=BF=CD.

A E

C D F B

O

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圆周角 问题:如图所示的⊙O,我们在射门游戏中,设 E、F 是球门,?设球员们只能

? 所在的⊙O 其它位置射门,如图所示的 A、B、C 点.通过观察,我们可以 在 EF
发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF 这样的角,它们的顶点在圆上,?并且两边都与圆 相交的角叫做圆周角. 现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题. 1.一个弧上所对的圆周角的个数有多少个? F E 2.同弧所对的圆周角的度数是否发生变化? A 3.同弧上的圆周角与圆心角有什么关系? O (学生分组讨论)提问二、三位同学代表发言. 老师点评: C B 1.一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个. www.czsx.com.cn 2.通过度量,我们可以发现,同弧所对的圆周角是没有变化的. 3.通过度量,我们可以得出,同弧上的圆周角是圆心角的一半. 下面,我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化,?并 且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半. ” (1)设圆周角∠ABC 的一边 BC 是⊙O 的直径,如图所示 ∵∠AOC 是△ABO 的外角 ∴∠AOC=∠ABO+∠BAO A C ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO O ∴∠AOC=∠ABO 1 B ∴∠ABC= ∠AOC 2 (2)如图,圆周角∠ABC 的两边 AB、AC 在一条直径 OD 的 A 1 D 两侧, 那么∠ABC= ∠AOC 吗?请同学们独立完成这道题的说明 2 过程. O 老师点评:连结 BO 交⊙O 于 D 同理∠AOD 是△ABO 的外角, C B ∠COD 是△BOC 的外角, ?那么就有∠AOD=2∠ABO, ∠DOC=2∠CBO, 因此∠AOC=2∠ABC. (3)如图,圆周角∠ABC 的两边 AB、AC 在一条直径 C A 1 D OD 的同侧, 那么∠ABC= ∠AOC 吗?请同学们独立完成证 2 明. O 老师点评:连结 OA、OC,连结 BO 并延长交⊙O 于 D, B 那么∠ AOD=2 ∠ ABD ,∠ COD=2 ∠ CBO ,而∠ ABC= ∠ ABD- ∠ www.czsx.com.cn 1 1 1 CBO= ∠AOD- ∠COD= ∠AOC 2 2 2 现在, 我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C, ?同样可证得它等于同弧上圆 心角一半,因此,同弧上的圆周角是相等的. 从(1) 、 (2) 、 (3) ,我们可以总结归纳出圆周角定理: 在同圆或等圆中,同弧等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心

角的一半. 进一步,我们还可以得到下面的推导: 半圆(或直径)所对的圆周角是直角,90°的圆周角所对的弦是直径. 1.如图,AB 是⊙O 的直径,BD 是⊙O 的弦,延长 BD 到 C,使 AC=AB,BD 与 CD 的大小有什么关系?为什么?

A O D
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C B

2.如图,已知△ABC 内接于⊙O,∠A、∠B、∠C 的对边分别设为 a,b,c, a b c ⊙O 半径为 R,求证: = = =2R. sin A sin B sin C D
O A

B

C

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练习题 一、选择题 1.如图 1,A、B、C 三点在⊙O 上,∠AOC=100°,则∠ABC 等于( A.140° B.110° C.120° D.130°
A
4

) .

A B

O
2 1
3

B C D

O

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C

(1)

(2)

(3)

2.如图 2,∠1、∠2、∠3、∠4 的大小关系是( ) A.∠4<∠1<∠2<∠3 B.∠4<∠1=∠3<∠2 C.∠4<∠1<∠3∠2 D.∠4<∠1<∠3=∠2 3.如图 3,AD 是⊙O 的直径,AC 是弦,OB⊥AD,若 OB=5,且∠CAD=30°, 则 BC 等于( ) . 1 A.3 B.3+ 3 C.5D.5 3 2 二、填空题 1.半径为 2a 的⊙O 中,弦 AB 的长为 2 3 a,则弦 AB 所对的圆周角的度数 是________. 2. 如图 4, A、 B 是⊙O 的直径, C、 D、 E 都是圆上的点, 则∠1+∠2=_______. ?
E

A
A
1

O C

B
2

O B C
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D

(4) (5) 3.如图 5,已知△ABC 为⊙O 内接三角形,BC=?1,?∠A=?60?°,?则⊙O? 半径为_______.

三、综合提高题 1.如图,弦 AB 把圆周分成 1:2 的两部分,已知⊙O 半径为 1,求弦长 AB.

O A B

2.如图,已知 AB=AC,∠APC=60° (1)求证:△ABC 是等边三角形. (2)若 BC=4cm,求⊙O 的面积.
A P O B C

3.如图,⊙C 经过坐标原点,且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B,点 A 的坐 标为(0,4) ,M 是圆上一点,∠BMO=120°. (1)求证:AB 为⊙C 直径. (2)求⊙C 的半径及圆心 C 的坐标.
y A C B M O x

3.圆幂定理 教学过程设计 一、从学生原有的认知结构提出问题 1.根据图 7-162(1)、(2)、(3),让学生结合图形,说出相交弦定理、切割 线定理、割 线定理的内容.

2.然后提出问题.相交弦定理、 切割线定理及其推论这三者之间是否有联系? 提出问题让学生思考, 在学生回答的基础上,教师用电脑或投影演示图形的 变化过程, 从相交弦定理出发,用运动的观点来统一认识定理. (1)如图 7-163,⊙O 的两条弦 AB,CD 相交于点 P,则 PA·PB=PC·PD.这便 是我们学过的相交弦定理.对于这个定理有两个特例: 一是如果圆内的两条弦交于圆心 O,则有 PA=PB=PC=PD=圆的半径 R,此 时 AB,CD 是直径,相交弦定理当然成立.(如图 7-164)

二是当 P 点逐渐远离圆心 O,运动到圆上时,点 P 和 B,D 重合,这时 PB= PD=O,仍然有 PA·PB=PC·PD=O,相交弦定理仍然成立.(图 7-165) (2)点 P 继续运动,运动到圆外时,两弦的延长线交 于圆外一点 P,成为两条割线,则有 PA·PB=PC·PD,这 就 是 我 们 学 过 的 切 割 线 定 理 的 推 论 ( 割 线 定 理 ).( 图 7-166) (3)在图 7-166 中,如果将割线 PDC 按箭头所示方向 绕 P 点旋转,使 C,D 两点在圆上逐渐靠 近, 以至合为一点 C, 割线 PCD 变成切线 PC.这时有 PA· PB =PC·PD=PC2,这就是我们学过的切割线定理.(图 7-167) (4)如果割线 PAB 也绕 P 点向外旋转的话,也会成为一条切线 PA.这时应有 PA2=PB2,可 得 PA=PB,这就是我们学过的切线长定理.(图 7-168)

至此,通过点的运动及线的运动变化,我们发现,相交弦定理、切割线定理 及其推论和 切线长定理之间有着密切的联系. 3.启发学生理解定理的实质. 经过一定点 P 作圆的弦或割线或切线,如图 7-169. 观察图 7-169,可以得出:(设⊙O 半径为 R)

在图(1)中,PA·PB=PC·PD=PE·PF =(R-OP)(R+OP) =R2-OP2;

在图(2)中,PA·PB=PT2=OP2-OT2 =OP2-R2 2 在图(3)中,PA·PB=PC·PD=PT =OP2-R2. 教师指出,由于 PA·PB 均等于|OP2-R2|,为一常数,叫做点 P 关于⊙O 的 幂,所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理. 二、例题分析(采用师生共同探索、讲练结合的方式进行) 1. 如图,两个以 O 为圆心的同心圆,AB 切大圆于 B,AC 切小圆于 C,交大 圆于 D,E,AB=12,AO=15,AD=8,求两圆的半径.

2. 如图,在以 O 为圆心的两个同心圆中,A,B 是大圆上任意两点,过 A, B 作小圆的割线 AXY 和 BPQ. 求证:AX·AY=BP·BQ.

方法 1 在图 7-172 中,过点 A,B 分别作小圆的切线 AC,BD,C,D 为切点. 这时就出现了切割线定理的基本图形,于是有 AC2=AX·AY,BD2=BP·BQ. 再连结 CO,AO,DO,BO, 易证 Rt△AOC≌△Rt△BOD,得出 AC=BD 所以 AX·AY=BP·BQ.

方法 2 在图 7-173 中,作直线 XP 交大圆于 E,F,分别延长 AY,BQ,交大 圆于 C,D.这样就出现了相交弦定理的基本图形.于是有

AX·XC=EX·XF,BP·PD=FP·PE. 易证 AX=CY,BP=DQ,EX=FP. 所以 AX·XC=AX·AY,BP·PD=BP·BQ,EX·XF=FP·PE. 所以 AX·AY=BP·BQ. 方法 3 如图 7-174,由于点 O 是圆内的特殊点,考虑过 O 点的特殊割线, 作直线 AO 交小圆于 E,F,作直线 BO 交小圆于 C,D,则出现了割线定理的基本 图形.于是有 AX·AY=AE·AF,BP·BQ=BC·BD. 易证 AE=BC,AF=BD, 所以 AE·AF=BC·BD. 从而 AX·AY=BP·BQ. 通过对以上方法的分析,将“和圆有关的比例线段”这一节的几个定理紧密 结合起来, 沟通了知识间的联系, 最后可启发学生联想基本图形,思考还有哪些辅助线的作 法来证明此 题?

练习题 1. 已知 P 为⊙O 外一点,OP 与⊙O 交于点 A,割线 PBC 与⊙O 交于点 B,C, 且 PB=BC.如果 OA=7,PA=2,求 PC 的长. 2. 如图 7-175,⊙O 和⊙O′都经过点 A 和 B,PQ 切⊙O 于 P,交⊙O′于 Q, M,交 AB 的延长线于 N.求证:PN2=NM·NQ.

四、小结

用投影重新打出圆幂定理的基本图形(如图 7-176),让学生观察并说出相应 的定理.


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