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高中必修1-5错误解题分析系列-《5.1不等式的解法》


§5.1 不等式的解法 一、知识导学 1. 一元一次不等式 ax>b

b ; a b (2)当 a<0 时,解为 x ? ; a
(1)当 a>0 时,解为 x ? (3)当 a=0,b≥0 时无解;当 a=0,b<0 时,解为 R. 2. 一元二次不等式:(如下表)其中 a>0,x1,x2 是一元二次方程 ax +bx+c=0 的两实根,且 x1<x2 类型 解集 Δ >0
2

ax +bx+c>0 {x|x<x1 或 x>x2} {x|x≠-

2

ax +bx+c≥0 {x|x≤x1 或 x≥x2}

2

ax +bx+c<0 {x|x1<x<x2 }

2

ax +bx+c≤0 {x|x1≤x≤x2}

2

Δ =0 Δ <0

x ? R} R

b , 2a

R

Ф

{x|x=-

b } 2a

R

Φ

Φ

3.简单的一元高次不等式:可用区间法(或称根轴法)求解,其步骤是: ①将 f(x)的最高次项的系数化为正数; ②将 f(x)分解为若干个一次因式的积; ③将每一个一次因式的根标在数轴上,从右上方依次通过每一点画曲线; ④根据曲线显示出的 f(x)值的符号变化规律,写出不等式的解集. 4.分式不等式:先整理成

f ( x) f ( x) >0 或 ≥0 的形式,转化为整式不等式求解,即: g ( x) g ( x)

f ( x) >0 ? f(x)·g(x)>0 g ( x)
?f ( x ) ? 0 或 f ( x ) ? g( x )>0 ? f ( x) ? ?g(x) ? 0 ≥0

g ( x)
然后用“根轴法”或化为不等式组求解. 二、疑难知识导析 1.不等式解法的基本思路 解不等式的过程,实质上是同解不等式逐步代换化简原不等式的过程,因而保持同解 变形就成为解不等式应遵循的主要原则,实际上高中阶段所解的不等式最后都要转化 为一元一次不等式或一元二次不等式,所以等价转化是解不等式的主要思路.代数化、 有理化、整式化、低次化是解初等不等式的基本思路.为此,一要能熟练准确地解一元 一次不等式和一元二次不等式,二要保证每步转化都要是等价变形. 2.不等式组的解集是本组各不等式解集的交集,所以在解不等式组时,先要解出本组 内各不等式的解集,然后取其交集,在取交集时,一定要利用数轴,将本组内各不等

式的解集在同一数轴上表示出来,注意同一不等式解的示意线要一样高,不要将一个 不等式解集的两个或几个区间误看成是两个或几个不等式的解集. 3.集合的思想和方法在解不等式问题中有广泛的应用,其难点是区分何时取交集,何 时取并集.解不等式的另一个难点是含字母系数的不等式求解—注意分类. 三、经典例题导讲 2 [例 1] 如果 kx +2kx-(k+2)<0 恒成立,则实数 k 的取值范围是___. A. -1≤k≤0 B. -1≤k<0 C. -1<k≤0 D. -1<k<0 错解:由题意: ?

?k ? 0
2 ?(2k ) ? 4k ? [?(k ? 2)] ? 0

解得:-1<k<0 2 错因:将 kx +2kx-(k+2)<0 看成了一定是一元二次不等式,忽略了 k=0 的情况. 正解:当 k=0 时,原不等式等价于-2<0,显然恒成立,? k=0 符合题意. 当 k ? 0 时,由题意: ? 解得:-1<k<0

?k ? 0
2 ?(2k ) ? 4k ? [?(k ? 2)] ? 0

? ? 1 ? k ? 0 ,故选 C.
[例 2] 命题 A : x ?1 <3, 命题 B : ( x ? 2)( x ? a) <0, A 是 B 的充分不必要条件, a 的 若 则 取值范围是_______ A. (4, ??) B. ?4,??? C. (??, ?4) D. ? ??, ?4?

错解:由|x-1|<3 得:-2<x<4, 又由(x+2)(x+a)=0 得 x=-2 或 x=-a, ? A 是 B 的充分不必要条件,

? { x|-2<x<4 } ? { x|-2<x<-a }
? -a>4 故选 D.
错因:忽略了 a=-4 时, { x|-2<x<4 } = { x|-2<x<-a } ,此时 A 是 B 的充要条件, 不是充分不必要条件. 正解:由|x-1|<3 得:-2<x<4, 又由(x+2)(x+a)=0 得 x=-2 或 x=-a, ? A 是 B 的充分不必要条件,

? { x|-2<x<4 } ? { x|-2<x<-a }
? -a>4 故选 C.
[例 3]已知 f(x) = ax +

x ,若 ? 3 ? f (1) ? 0, 3 ? f (2) ? 6, 求 f (3) 的范围. b

?? 3 ? a ? b ? 0 ? 错解: 由条件得 ? b ?3 ? 2a ? 2 ? 6 ?

① ②

②×2-①

6 ? a ? 15



①×2-②得 ?

③ +④ 得

8 b 2 ? ?? ④ 3 3 3 10 b 43 10 43 ? 3a ? ? , 即 ? f (3) ? . 3 3 3 3 3 x ,其值是 b

错因:采用这种解法,忽视了这样一个事实:作为满足条件的函数 f ( x ) ? ax ?

同时受 a和b 制约的.当 a 取最大(小)值时, b 不一定取最大(小)值,因而整个解题思 路是错误的.

? f (1) ? a ? b ? 正解: 由题意有 ? b, ? f (2) ? 2a ? 2 ?
1 2 [2 f (2) ? f (1)], b ? [2 f (1) ? f (2)], 3 3 b 16 5 16 37 ? f (3) ? 3a ? ? f (2) ? f (1). 把 f (1) 和 f (2) 的范围代入得 ? f (3) ? . 3 9 9 3 3
解得: a ?
2 [例 4] 解不等式(x+2) (x+3)(x-2) ? 0 2 错解:? (x+2) ? 0

? 原不等式可化为:(x+3)(x-2) ? 0 ? 原不等式的解集为{x| x ? -3 或 x ? 2 } 错因:忽视了“ ? ”的含义,机械的将等式的运算性质套用到不等式运算中.
2 2 正解:原不等式可化为:(x+2) (x+3)(x-2) ? 0 ①或(x+2) (x+3)(x-2) ? 0 ②,

解①得:x=-3 或 x=-2 或 x=2 解②得:x< -3 或 x>2
? 原不等式的解集为{x| x ? -3 或 x ? 2 或 x ? ?2 }

[例 5] 解关于 x 的不等式 a( x ? ab) ? b( x ? ab) 解:将原不等式展开,整理得: (a ? b) x ? ab(a ? b) 讨论:当 a ? b 时, x ?

ab ( a ? b) a?b

当 a ? b 时,若 a ? b ≥0 时 x ? ? ;若 a ? b <0 时 x ? R 当 a ? b 时, x ?

ab ( a ? b) a?b 1 2

点评:在解一次不等式时,要讨论一次项系数的符号.
2 [例 6]关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | x ? ?2或x ? ? }

求关于 x 的不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集.
2

解:由题设知 ∴? 从而
2

a ? 0 ,且 x ? ?2, x ? 是方程 ax 2 ? bx ? c ? 0 的两根

1 2

b 5 c ?? , ?1 a 2 a

ax2 ? bx ? c ? 0 可以变形为 x 2 ?
5 x ?1 ? 0 2


b c x? ?0 a a

即: x ?

1 ?x?2 2

点评: 二次不等式的解集与二次方程的根之间的联系是解本题的关健, 这也体现了方程思想 在解题中的简单应用. [例 7](06 年高考江苏卷)不等式 log2 ( x ?
1 ? 6) ? 3 的解集为 x

1 ? ?x ? x ? 2 1 ? 1 解:∵ log2 ( x ? ? 6) ? 3 ,∴0< x ? ? 6 ? 8 ,∴ ? x x ?x ? 1 ? 6 ? 0 ? x ?
? x ? 0, 或x ? 1 ? ∴? ?? 3 ? 2 2 ? x ? ?3 ? 2 2或x ? 0 ?

解得 x ? (?3 ? 2 2, ?3 ? 2 2) ? ?1? 反思:在数的比较大小过程中,要遵循这样的规律,异中求同即先将这些数的部分因式化成相 同的部分,再去比较它们剩余部分,就会很轻易啦.一般在数的比较大小中有如下几种方法: (1) 作差比较法和作商比较法,前者和零比较,后者和 1 比较大小; (2)找中间量,往往是 1,在这些数 中,有的比 1 大,有的比 1 小;,(3)计算所有数的值;(4)选用数形结合的方法,画出相应的图形; (5)利用函数的单调性等等. 四、典型习题导练 1.解不等式

x 2 ? 3x ? 2 ?0 x 2 ? 2x ? 3
3 2

2. 解不等式 x ? 3x ? 2 x ? 6 3.解不等式 ( x ? 4 x ? 5)(x ? x ? 2) ? 0
2 2

4. 解不等式 ( x ? 2) ( x ? 1) ( x ? 1)(x ? 2) ? 0
2 3

5.解不等式

16 ? x ?1 x ?1

6.k 为何值时,下式恒成立:

2 x 2 ? 2kx ? k ?1 4x 2 ? 6x ? 3

7. 解不等式 3x ? 4 ?

x ?3 ? 0

8. 解不等式 2x 2 ? 6x ? 4 ? x ? 2


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