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利用集合的包含关系解题


利用集合的包含关系解题

集合的包含关系是一重要知识点和高考考查点,它在题目中或明或暗,特别是“暗” (综合型题目)的。如 果你对集合的包含关系没有一个深刻的认识与理解,往往就很难捕捉到,也就很难解决问题。如何准确把握与 深入挖掘这一关系,利用这一关系解题呢? 例 1. (2005 年全国卷 III 第 22 题) 已知函数 f ( x ) ?
4x ? 7
2

2? x

, x ? 0, 1

?

?

(I)求 f ( x ) 的单调区间和值域; (II)设 a ? 1 ,函数 g ( x ) ? x ? 3 a x ? 2 a , x ? ? 0 , 1? ,若对于任意 x 1 ? ? 0 , 1? ,总存在 x 0 ? ? 0 , 1? ,
3 2

使得 g ( x 0 ) ? f ( x 1 ) 成立,求 a 的取值范围。 解析: (I)利用导数法易得 f ( x ) 在 ? 0 ,
? ? 1? ?1 ? ? 上是减函数,在 ? , 1? 上是增函数,所以 f ( x ) 的值域为 ? ?2 ? 2

??4 ,

?3 。
2 2

?

(II)因为 a ? 1 , g ' ( x ) ? 3 ( x ? a ) 所以 x ? ( 0 , 1) 时, g ' ( x ) ? 0 , g ( x ) 是减函数 所以 g ( x ) ? ? g ( 1) , g ( 0 ) ? 而 g ( 0 ) ? ? 2 a , g ( 1) ? 1 ? 2 a ? 3 a
2

即当 x ? ? 0 , 1? 时,有 g ( x ) ? ?1 ? 2 a ? 3 a , ? 2 a ?
2

对于任意 x 1 ? ? 0 , 1? , f ( x 1 ) ? ? ? 4 , ? 3? ,总存在 x 0 ? ? 0 , 1? 使得 g ( x 0 ) ? f ( x 1 ) 则 ? ? 4 , ? 3 ? ? ?1 ? 2 a ? 3 a , ? 2 a ?
2

所以 1 ? 2 a ? 3 a ? ? 4 且 ? 2 a ? ? 3
2

解得 1 ? a ?

3 2

点评:关键是把“若对于任意??成立”转化为“ ? ? 4 , ? 3 ? ? ?1 ? 2 a ? 3 a , ? 2 a ? ”这种集合的包含
2

关系。

例 2. 已知不等式 x ? 4 x ? 3 ? 0 (1)和不等式 2 x ? 9 x ? a ? 0 (2) ,若满足(2)的 x 值也满足(1) ,求
2
2

a 的取值范围。

解 析:设 不等式( 1) ( 2) 的解集分 别为 A、B ,则由 题意知 B ? A , 且 B ? ? 。 这相当 于方程 、
f ( x ) ? 2 x ? 9 x ? a ? 0 的两异根在区间(1,3)内,其充要条件为:
2

? ? 81 ? 8 a ? 0

且1 ?

9 4

? 3

且 f ( 1) ? a ? 7 ? 0 , 且 f ( 3 ) ? a ? 9 ? 0 由此可得 9 ? a ?
81 8
2 变式:已知不等式 x ? 4 x ? 3 ? 0 和不等式 2 x ? 9 x ? a ? 0 的解集分别为 A、B,若 B ? A ,求 a 的取
2

值范围。 解析:当 B ? ? 时,有 ? 1 ? ( ? 9 ) ? 8 a ? 0 ,得 a ?
2

81 8

,此时, B ? A

当 B ? ? 时,同例 2,可得 9 ? a ? 综上,所求 a 值范围为 a ? 9
x?1 3

81 8

例 3. 已知 p: |1 ? m 的取值范围。 解析: p : |1 ?
2

| ? 2 , q : x ? 2 x ? 1 ? m ? 0 ( m ? 0 ) ,若 ? p 是 ? q 的必要而不充分条件,求实数
2 2

x?1 3

|? 2 ? ? 2 ? x ? 1 0

q: x ? 2 x ? 1 ? m ? 0
2

? ? x ? ( 1 ? m ) ?? x ? ( 1 ? m ) ? ? 0 ? 1? m ? x ? 1? m

因为 ? p 是 ? q 的必要而不充分条件 所以其等价命题为:p 是 q 的充分而不必要条件 即若设 A ? ? x |? 2 ? x ? 1 0? , B ? ? x |1 ? m ? x ? 1 ? m ? 则 A? B
?

所以 1 ? m ? ? 2 ,且 1 ? m ? 10 求得 m ? 9 。 集合与三角、函数、不等式、解析几何等知识结合,形成多知识点的综合型问题,符合“考纲”在知识交 汇点处命题的指导思想,其解题的关键在于灵活运用有关知识,特别是捕捉到集合的包含关系,居高临下解决 问题。


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