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312空间向量的数乘运算(已修改)


———共线向量与共面向量

a

?

b

回 顾
B

b
O

a 结论:空间任意两个向量都可平移到同 一个平面内,成为同一平面内的向量. 因此凡是涉及空间任意两个向量的问题, 平面向量中有关结论仍适用于它们.

一、空间向量数乘运算
? ? 1.实数 ?与空间向量 a 的乘积 ? a 仍然
是一个向量.

(1)方向: ? ? 当 ? ? 0 时,? a与向量 a 方向相同; ? ? a 方向相同; 与向量 当 ? ? 0 时,? a ? 当? ? 0 时,? a 是零向量.

? ? (2)大小: ? a 的长度是 a 的长度的 | ? | 倍.

2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合 律

? ? ? ? 即:?( a ? b ) ? ? a ? ?b ? ? ? (? ? ?) a ? ?a ? ?a ? ? ?(? )a ? ( ?? )a

二、共线向量:如果表示空间向量的有向
线段所在直线互相平行或重合,则这些向量 叫做共线向量(或平行向量),记作 a // b
零向量与任意向量共线.

? ? ? ?? ? 问题1:若 a // b (a ? 0)则 a, b 所在直线有那些位置关系? ? ? ? ? 的充要条件是:存在唯一 问题2:平面向量中, a // b (b ? 0)
的实数

?

? ? ,使 a ? ?b .

能否推广到空间向量中呢?

的充要条件是存在唯一实数λ, a // b ( b ? 0 ) ? ? ? ? 使 a ? ?b (b ? 0).

? : 对空间任意两个向量 a , b , 共线向量定理 ? ? ? ?
? ? ? ? a ? ?b (b ? 0)

? a ? ?b (b ? 0)

? ? ? ? a // b ) ?(b?? 0?

? ? ? ? a // b (b ? 0)

性质
判定

由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题

如图,l 为经过已知点A且平行已知非零向量 的直线, 若点P是直线l上任意一点,则

a
A

a
B

P

? 由 l // a 知存在唯一的t, 满足 AP ? t a
对空间任意一点O,
l

AP ? OP ? OA,
即 若在l上取

? 所以 OP ? OA ? ta
O

? OP ? OA ? ta



AB ? a

则有 ②

OP ? OA ? t AB

①和②都称为空间直线的向量表示式,空间任意直线由空间 一点及直线的方向向量唯一决定.

由此可判断空间任意三点共线。.

OP ? OA ? t AB
进一步,OP还可表示为:
1-t) OA ? ____ t ( OP ? ____ OB
因为 所以
A

a
B

P

AB ? OB ? OA,

OP ? OA ? t(OB ? OA)
? (1 ? t)OA ? tOB

O

1 则有 特别的,当t= 时, 2
1 OP ? (OA ? OB) 2

P点为A,B 的中点

A、B、P三点共线

AP ? t AB
OP ? OA ? t AB

OP ? xOA ? yOB( x ? y ? 1)

练习1.对于空间任意一点O,下列命题正 确的是: A
??? ? ??? ? ???? A.若 OP ? OA ? t AB ??? ? ??? ? ???? B.若 3OP ? OA ? AB ??? ? ??? ? ???? C.若 OP ? OA ? t AB
??? ? ??? ? ???? D.若 OP ? ?OA ? AB

,则P、A、B共线
,则P是AB的中点 O

B P A

,则P、A、B不共线
,则P、A、B共线

三、共面向量:
1.共面向量:平行于同一平面的向量,
叫做共面向量.

b c a

d

注意:空间任意两个向量是共面的,但空间 任意三个向量 既可能共面,也可能不共面

那么什么情况下三个向量共面呢?

? ? a e2 ? e1

? ? e2 由平面向量基本定理知,如果 e1,

是平面内的两个不共线的向量,那么 ? 对于这一平面内的任意向量 a ,有且 ? ? ? ?1 , 只有一对实数 2 使 a ? ?1e1 ? ?2e2

如果空间向量 共 面,那么可将三个向量平移到同一平面 ,则 有 p ? x? ? yb

? p 与两不共线向量 a , b

? a , 反过来,对空间任意两个不共线的向量 ,如 b ? 果 p ? x? ? yb,那么向量 p 与向量 a , b 有什么位 置关系?

?C b? A aB

?? p

P

? xa, yb分别与a, b共线,

?xa, yb都在a, b确定的平面内

并且此平行四边形在 a, b确定的平面内,

?p ? xa ? yb在a, b确定的平面内 ,即p与a, b共面

? 2.共面向量定理:如果两个向量 a ,b 不共线, ? 则向量 p 与向量 a , b 共面的充要条件是 存在实数对x,y使 p ? xa ? yb
推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有 序实数对x,y使 AP ? x AB ? y AC
?C b ? A a B
?? p

P

对空间任一点O,有OP ? OA ? x AB ? y AC
?? p



?C b? A a B
O

P

填空:OP ? (_____) y OC 1-x-y OA ? (____) x OB ? (____)

③式称为空间平面ABC的向量表示式,空间中任意 平面由空 间一点及两个不共线的向量唯一确定.

由此可判断空间任意四点共面

P与A,B,C共面

AP ? x AB ? y AC
OP ? OA ?x AB ? y AC OP ? xOA ? yOB ? zOC( x ? y ? z ? 1)

练习2.若对任一点O和不共线的三点A、B、C, 且有 OP ? xOA ? yOB ? zOC( x, y, z ? R), 则x+y+z=1 是四点P、A、B、C共面的( C )
A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

例1. 已知A、B、C三点不共线,对于平面ABC外 的任一点O,确定在下列各条件下,点P是否与A、 B、C一定共面?

(1)OB ? OC ? 3OP ? OA (2)OP ? 4OA ? OB ? OC
解析:由共面向量定理知,要证明P、A、B、C四点共面,只 要证明存在有序实数对(x,y)使得 AP ? x AB ? y AC

例2. 如图,已知平行四边形ABCD,过平
面AC外一点O作射线OA、OB、OC、OD, 在四条射线上分别取点E、F、G、H,并且使 O OE OF OG OH

求证:四点E、F、G、H共面; A

OA

?

OB

?

OC

?

OD

? k,

D
B H

C
G F

E

小结
共线向量 共面向量 定义 向量所在直线互相平 平行于同一平面的向量, 行或重合 叫做共面向量.
定理 ? ? ?

? a // b (a ? 0)

? ? ? a b ? a ? ?b 共面

p

p ? x? ? yb

推论

OP ? OA ? t AB

OP ? xOA ? yOB( x ? y ? 1)

? OP ? xOA ? yOB ? zOC ? 0 ( x ? y ? z ? 1)

OP ? OA ?x AB ? y AC

运用 判断三点共线,或两 判断四点共线,或直线 直线平行 平行于平面

作业:课本89页第2题

课外补充练习:

1.下列说明正确的是: D (A)在平面内共线的向量在空间不一定共线
(B)在空间共线的向量在平面内不一定共线

(C)在平面内共线的向量在空间一定不共线
(D)在空间共线的向量在平面内一定共线 2.下列说法正确的是:C (A)平面内的任意两个向量都共线 (B)空间的任意三个向量都不共面 (C)空间的任意两个向量都共面 (D)空间的任意三个向量都共面

补充练习:已知空间四边形OABC,对角线OB、 AC,M和N分别是OA、BC的中点 , 点? G??? 在? MN ??? ? ??? 上,且使MG=2GN,试用基底 OA, OB, OC 表示向量 OG

?

?

O

解:在△OMG中, ??? ? ???? ?
C N

M
A
G

??? ? ???? ? ???? ? 1 2 OG ? OM ? MG ? 2 OA ? 3 MN
? 1 ??? ? 1 ??? ? 1 ??? ? OA ? OB ? OC 6 3 3

? 2 ???? ???? ? 1 ??? ? OA ? (ON ? OM ) 2 3

B

4.下列命题中正确的有:

? ? ? ? ? ? ? ? (1) p ? xa ? yb  ? p与a 、 b 共面 ; ? ? ? ? ? ? ? ? (2) p 与 a 、 b 共面 ? p ? xa ? yb  ;

???? ? ???? ? ???? ? (3) MP ? xMA ? yMB ? P、M、A、B共面;

???? ? ???? ? ???? ? (4) P、M、A、B共面 ? MP ? xMA ? yMB ;

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

B

OB 、 OC 为棱的平行六面 练习 1: 已知 OE 是以 OA 、 体 OADB─CFEG 的对角线,点 M 是 △ ABC 的重心. G E 求证:点 M 在直线 OE 上. F 分析: C

证三点共线可 尝试用向量来分析.
O

B

?M O'
A

D


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