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(新课程)高中数学二轮复习精选《必考问题16 与圆锥曲线有关的定点、定值、最值、范围问题》课件 新人教版


必考问题16 与圆锥曲线有关 的定点、定值、最值、 范围问题

1.(2011· 新课标全国)已知直线l过抛物线C的焦点,且与C的对 称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上 一点,则△ABP的面积为 A.18 C.36 B.24 D.48 ( ).

答案:C

[不妨设抛物线的标准方程为 y2=2px(p>0),由于 l

p 垂直于对称轴且过焦点,故直线 l 的方程为 x=2.代入 y2=2px 得 y=± p,即|AB|=2p,又|AB|=12,故 p=6,所以抛物线的准 1 线方程为 x=-3,故 S△ABP=2×6×12=36.]

2.(2011· 山东)设M(x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛 物线C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的 准线相交,则y0的取值范围是 A.(0,2) C.(2,+∞) B.[0,2] D.[2,+∞) ( ).

答案:C

[∵x2=8y,∴焦点 F 的坐标为(0,2),准线方程为 y

=-2.由抛物线的定义知|MF|=y0+2.以 F 为圆心、|FM|为半径 的圆的标准方程为 x2+(y-2)2=(y0+2)2. 由于以 F 为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,又圆心 F 到准 线的距离为 4,故 4<y0+2,∴y0>2.]

x2 3.(2010· 福建)若点O和点F(-2,0)分别为双曲线 a2 -y2=1(a>0) 的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则 OP· F P 的取值范围为 A.[3-2 3,+∞)
? 7 ? C.?-4,+∞? ? ?

→ →

( B.[3+2 3,+∞)
?7 ? D.?4,+∞? ? ?

).

答案:B [如图,由 c=2 得 a2+1=4,
2 x ∴a2=3,∴双曲线方程为 3 -y2=1.

设 P(x,y)(x≥ 3), OP· F P =(x,y)· (x+2,y)=x2+2x+y2
2 x 4 2 2 =x +2x+ -1= x +2x-1(x≥ 3). 3 3

→ →

4 2 令 g(x) = 3 x + 2x - 1(x≥ 3) ,则 g(x) 在 [ 3 ,+ ∞) 上单调递 增.g(x)min=g( 3)=3+2 3.∴O P · F P 的取值范围为[3+2 3, +∞).]

→ →

4.(2012· 浙江)定义:曲线C上的点到直线l的距离的最小值称 为曲线C到直线l的距离.已知曲线C1:y=x2+a到直线l:y =x的距离等于曲线C2:x2+(y+4)2=2到直线l:y=x的距 离,则实数a=________.

解析

因曲线 C2 :x2+(y+4)2 =2 到直线 l:y=x 的距离为 2=2 2- 2= 2, 则曲线 C1 与直线 l 不能相交,

|0-?-4?| - 2

即 x2+a>x,∴x2+a-x>0.设 C1:y=x2+a 上一点为(x0,y0), |x0-y0| -x0+x2 0+a 则 点 (x0 , y0) 到 直 线 l 的 距 离 d = = = 2 2
? 1?2 1 ?x0- ? +a- 2? 4 ?

2 9 答案 4

4a-1 9 ≥ = 2,所以 a=4. 4 2

本部分主要以解答题形式考查,往往是试卷的压轴题之 一,一般以椭圆或抛物线为背景,考查定点、定值、最值、范 围问题或探索性问题,试题难度较大.

复习时不能把目标仅仅定位在知识的掌握上,要在解题方 法、解题思想上深入下去.解析几何中基本的解题方法是使用

代数方程的方法研究直线、曲线的某些几何性质,代数方程是
解题的桥梁,要掌握一些解方程(组)的方法,掌握一元二次方 程的知识在解析几何中的应用,掌握使用韦达定理进行整体代 入的解题方法;其次注意分类讨论思想、函数与方程思想、化 归与转化思想等的应用,如解析几何中的最值问题往往需建立

求解目标的函数,通过函数的最值研究几何中的最值.

必 备 知 识 方 法
必备知识

有关弦长问题 有关弦长问题,应注意运用弦长公式及韦达定理,“设而 不求”;有关焦点弦长问题,要重视圆锥曲线定义的运 用,以简化运算. (1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1,y1),P2(x2, y2),则所得弦长|P1P2|= 1+k |x2-x1|或|P1P2|=
2

1 1+k2 |y2

-y1|,其中求|x2-x1|与|y2-y1|时通常使用韦达定理,即作如 下变形: |x2-x1|= |y2-y1|= ?x1+x2?2-4x1x2; ?y1+y2?2-4y1y2.

(2)弦的中点问题 有关弦的中点问题,应灵活运用“点差法”,“设而不求法”

来简化运算.

圆锥曲线中的最值 (1)椭圆中的最值 x2 y2 F1,F2为椭圆 a2 + b2=1(a>b>0)的左、右焦点,P为椭圆的 任意一点,B为短轴的一个端点,O为坐标原点,则有: ①|OP|∈[b,a]; ②|PF1|∈[a-c,a+c]; ③|PF1|· |PF2|∈[b2,a2]; ④∠F1PF2≤∠F1BF2.

(2)双曲线中的最值 x2 y2 F1,F2为双曲线 2 - 2 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为 a b 双曲线上的任一点,O为坐标原点,则有: ①|OP|≥a;②|PF1|≥c-a. (3)抛物线中的最值 点P为抛物线y2=2px(p>0)上的任一点,F为焦点,则有: p ①|PF|≥ ; 2 ②A(m,n)为一定点,则|PA|+|PF|有最小值.

必备方法

1.定点、定值问题是在变化中所表现出来的不变的量,那么
就可以用变化的量表示问题的直线方程、数量积、比例关 系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所 影响的一个点、一个值,就是要求的定点、定值.化解这 类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、

比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参
数影响的量.

2.解决圆锥曲线中最值、范围问题的基本思想是建立目标函
数和建立不等关系,根据目标函数和不等式求最值、范围, 因此这类问题的难点,就是如何建立目标函数和不等关 系.建立目标函数或不等关系的关键是选用一个合适变量, 其原则是这个变量能够表达要解决的问题,这个变量可以 是直线的斜率、直线的截距、点的坐标等,要根据问题的 实际情况灵活处理.

热 点 命 题 角 度

圆锥曲线中的定点、定值问题
常考查:给定圆锥曲线与直线相交为条件,①求直线过 定点;②求题中的参数为定值.

【例1】? (2012· 湖南)在直角坐标系xOy中,曲线C1上的点均在 圆C2:(x-5)2+y2=9外,且对C1上任意一点M,M到直线x =-2的距离等于该点与圆C2上点的距离的最小值. (1)求曲线C1的方程; (2)设P(x0,y0)(y0≠± 3)为圆C2外一点,过P作圆C2的两条切 线,分别与曲线C1相交于点A,B和C,D.证明:当P在直线 x=-4上运动时,四点A,B,C,D的纵坐标之积为定值.

[审题视点] (1)直接根据曲线与方程的概念求解,或者转化为

根据抛物线的定义求解均可; (2) 首先建立圆的两条切线的斜
率与点的坐标之间的关系,其次把圆的切线方程与抛物线方程 联立消元,根据根与系数的关系得出纵坐标之和和纵坐标之 积,最后从整体上消去参数(圆的切线斜率)即可得证. [听课记录]

(1)解 法一 设 M 的坐标为(x,y), 由已知得|x+2|= ?x-5?2+y2-3. 易知圆 C2 上的点位于直线 x=-2 的右侧,于是 x+2>0, 所以 ?x-5?2+y2=x+5. 化简得曲线 C1 的方程为 y2=20x. 法二 由题设知,曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C2(5,0)的距离 等于它到直线 x=-5 的距离.因此,曲线 C1 是以(5,0)为焦点, 直线 x=-5 为准线的抛物线.故其方程为 y2=20x.

(2)证明 当点 P 在直线 x=-4 上运动时, P 的坐标为(-4, y0), 又 y0≠± 3, 则过 P 且与圆 C2 相切的直线的斜率 k 存在且不为 0, 每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为 y-y0=k(x+4), |5k+y0+4k| 即 kx-y+y0+4k=0.于是 =3. 2 k +1 整理得 72k2+18y0k+y2 0-9=0.① 设过 P 所作的两条切线 PA,PC 的斜率分别为 k1,k2,则 k1, 18y0 y0 k2 是方程①的两个实根,故 k1+k2=- =- .② 72 4
? ?k1x-y+y0+4k1=0, 由? 2 ? ?y =20x

得 k1y2-20y+20(y0+4k1)=0.③

设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1,y2,y3,y4, 20?y0+4k1? 则 y1,y2 是方程③的两个实根,所以 y1y2= .④ k
1

20?y0+4k2? 同理可得 y3y4= .⑤ k
2

于是由②,④,⑤三式得 400?y0+4k1??y0+4k2? y1y2y3y4= k1k2 400[y2 0+4?k1+k2?y0+16k1k2] = k1k2

2 400?y2 - y 0 0+16k1k2? = =6 400. k1k2

所以,当 P 在直线 x=-4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵 坐标之积为定值 6 400.

解圆锥曲线中的定点、定值问题可以先研究一下

特殊情况,找出定点或定值,再视具体情况进行研究.同时,
也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定值、定点问题的选择题 或填空题,如将过焦点的弦特殊化,变成垂直于对称轴的弦来 研究等.

【突破训练1】 设抛物线C:y2=4x,F为C的焦点,过点F的 直线l与C相交于A,B两点. (1)设l的斜率为1,求|AB|的大小; → → (2)求证:OA· OB是一个定值.

(1)解 ∵F(1,0),∴直线 l 的方程为 y=x-1, 设
? ?y=x-1, A(x1,y1),B(x2,y2),由? 2 ? ?y =4x

得 x2-6x+1=0,

∴x1+x2=6,x1x2=1. ∴|AB|= ?x2-x1?2+?y2-y1?2 = 2· ?x1+x2?2-4x1x2 = 2· 36-4=8.

(2)证明 设直线 l 的方程为 x=ky+1,
? ?x=ky+1, 由? 2 ? ?y =4x

得 y2-4ky-4=0.

∴y1+y2=4k,y1y2=-4, → → OA=(x1,y1),OB=(x2,y2). ∵O A · OB=x1x2+y1y2 =(ky1+1)(ky2+1)+y1y2 =k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2 =-4k2+4k2+1-4=-3. → → ∴OA· OB是一个定值.

→→

圆锥曲线中的最值、范围问题
给定圆锥曲线的方程或性质,求特定量的最值或一个特殊 式的范围. x2 y2 【例2】? 设椭圆C: 2 + 2 =1(a>b>0)的左、右焦点分别为 a b F1,F2,上顶点为A,如图所示, 过点A作与AF2垂直的直线交x轴负 → → 半轴于点Q,且2F1F2+F2Q=0.

(1)求椭圆C的离心率; (2)若过A,Q,F2三点的圆恰好与直线l:x- 3 y-3=0相切, 求椭圆C的方程; (3)在(2)的条件下,过右焦点F2作斜率为k的直线l与椭圆C交于 M,N两点,在x轴上是否存在点P(m,0),使得以PM,PN为邻 边的平行四边形是菱形?如果存在,求出m的取值范围;如果 不存在,请说明理由.

→ → → → [审题视点] (1)由F2A⊥AQ与 2F1F2+F2Q=0 联立可求; (2)用 a 表示出△AQF2 外接圆的圆心坐标和半径; → → → (3)将直线 l 与椭圆方程联立后,利用(PM+PN)· MN=0 寻找 m 与 k 的关系式后可求 m 的范围.

[听课记录]



→ (1)设 Q(x0,0),由 F2(c,0),A(0,b),知F2A=(-c,b),

A Q =(x0,-b).
2 b → → ∵F2A⊥A Q ,∴-cx0-b2=0,x0=- c .



→ → 由于 2F1F2+F2Q=0,即 F1 为 F2Q 的中点. b2 故- c +c=-2c,∴b2=3c2=a2-c2, 1 即 a=2c,故椭圆的离心率 e=2.

?1 ? ? 3 ? c 1 1 (2)由(1),知 = ,得 c= a,于是 F2?2a,0?,Q?-2a,0?. a 2 2 ? ? ? ? ? 1 ? 于是△AQF2 的外接圆圆心为?-2a,0?,半径 ? ?

r=a.

该圆与直线 x- 3y-3=0 相切,所以

? 1 ? ?- a-3? ? 2 ?

2

=a,

x2 y2 解得 a=2.∴c=1,b= 3.∴所求椭圆方程为 4 + 3 =1.

(3)由(2),知 F2(1,0). y=k?x-1?, ? ? 2 2 设 l:y=k(x-1),由?x y + =1, ? ?4 3 消去 y,得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2), 8k2 则 x1+x2= 2,y1+y2=k(x1+x2-2). 3+4k PM +P N =(x1-m,y1)+(x2-m,y2) =(x1+x2-2m,y1+y2).





由于菱形的对角线垂直,故(PM +P N )· M N =0. 故 k(y1+y2)+x1+x2-2m=0, 即 k2(x1+x2-2)+x1+x2-2m=0, 即
2 ? 8k2 ? 8 k ? - 2 k2? ?3+4k2 ?+3+4k2-2m=0. ? ?







由已知条件知 k≠0 且 k∈R, k2 1 1 ∴m= = .∴0<m<4. 3+4k2 3 k2+4 故存在满足题意的点 P(m,0),且 m
? 1? 的取值范围是?0,4?. ? ?

求最值或范围常见的解法:(1)几何法.若题目的
条件和结论能明显体现几何特征及意义,可考虑利用图形性质 来解决; (2) 代数法.若题目的条件和结论能体现一种明确的 函数关系,则可首先建立目标函数,再求最值; (3) 求函数最 值常用的代数法有配方法、判别式法、导数法、基本不等式法

及函数的单调性、有界性法等.

x2 y2 【突破训练2】 (2012· 浙江)如图,椭圆C:a2+ b2=1(a>b>0) 1 的离心率为 2 ,其左焦点到点P(2,1)的距离为 10.不过原点 O的直线l与C相交于A,B两点,且线段AB被直线OP平 分. (1)求椭圆C的方程; (2)求△ABP面积取最大值时 直线l的方程.

解 (1)设椭圆左焦点为 F(-c,0), ? ?2+c?2+1= 10, ? ? ?c=1, 则由题意得?c 1 得? ? = , ?a=2. ? a 2 ? x2 y2 所以椭圆方程为 4 + 3 =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 M. 当直线 AB 与 x 轴垂直时,直线 AB 的方程为 x=0,与不过原 点的条件不符, 舍去. 故可设直线 AB 的方程为 y=kx+m(m≠0),

? ?y=kx+m, 由? 2 2 ? 3 x + 4 y =12 ?

消去 y,整理得

(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0,(1) 则 Δ=64k2m2-4(3+4k2)(4m2-12)>0, ? ?x1+x2=- 8km 2, 3+4k ? ? 2 4 m -12 ? x1x2= 2 . ? 3 + 4 k ?

所以线段 AB 的中点

? 4km 3m ? ? M?-3+4k2,3+4k2? ?. ? ?

-2km 1 3m 因为 M 在直线 OP:y= x 上,所以 = . 2 3+4k2 3+4k2 3 得 m=0(舍去)或 k=-2. 此时方程(1)为 3x2-3mx+m2-3=0,则 ?x1+x2=m, ? 2 Δ=3(12-m )>0,? m2-3 x1x2= 3 . ? ?

39 所以|AB|= 1+k · |x1-x2|= 6 · 12-m2.
2

|8-2m| 2|m-4| 设点 P 到直线 AB 距离为 d,则 d= 2 . 2= 13 3 +2 设△ABP 的面积为 S,则 1 3 S=2|AB|· d= 6 · ?m-4?2?12-m2?. 其中 m∈(-2 3,0)∪(0,2 3). 3,2 3],

令 u(m)=(12-m2)(m-4)2,m∈[-2

u′(m)=-4(m-4)(m2-2m-6) =-4(m-4)(m-1- 7)(m-1+ 7). 所以当且仅当 m=1- 7,u(m)取到最大值. 故当且仅当 m=1- 7,S 取到最大值. 综上,所求直线 l 方程为 3x+2y+2 7-2=0.

圆锥曲线中探索性问题
常考查:给定圆锥曲线的方程或性质,探究等式成立的
参数值、最值的存在、点的存在等.

【例3】?

(2012· 江西)已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲

→ → → → → 线C上任意一点M(x,y)满足|MA+MB|=OM· (OA+OB)+2. (1)求曲线C的方程; (2)点Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲线C上,曲线C在点Q处的 切线为l.问:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l与PA,PB 都相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比 是常数?若存在,求t的值.若不存在,说明理由.

[审题视点 ] 第(1)问根据平面向量的概念和运算化简可以得到;

第(2)问利用导数求出切线方程,然后分别写出PA,PB两直线
方程解得交点 D,E,最后通过分割法求出三角形 PDE的面积, 得出面积的比,求出满足比值为常数的 t 的值,从而确定存 在. [听课记录]



→ → (1)由MA=(-2-x,1-y),MB=(2-x,1-y),

→ → → → → 2 2 |MA+MB|= ?-2x? +?2-2y? ,OM· (OA+OB) =(x,y)· (0,2)=2y, 由已知得 ?-2x?2+?2-2y?2=2y+2, 化简得曲线 C 的方程:x2=4y. (2)假设存在点 P(0,t)(t<0)满足条件,则直线 PA 的方程是 y= t-1 1-t 2 x+t,直线 PB 的方程是 y= 2 x+t.

x0 x2 0 曲线 C 在 Q 处的切线 l 的方程是 y= 2 x- 4 ,它与 y 轴的交点 为
2? ? x0 F?0,- 4 ?. ? ?

x0 由于-2<x0<2,因此-1< 2 <1. t-1 1 ①当-1<t<0 时,-1< 2 <-2,存在 x0∈(-2,2), x0 t-1 使得 = , 2 2 即 l 与直线 PA 平行,故当-1<t<0 时不符合题意.

t-1 x0 1-t x0 ②当 t≤-1 时, 2 ≤-1< 2 , 2 ≥1> 2 , 所以 l 与直线 PA, PB 一定相交. ? t-1 ?y= 2 x+t, 分别联立方程组? 2 x x ?y= 0x- 0, 2 4 ? 解得 D,E 的横坐标分别是
2 x2 + 4 t x 0 0+4t xD= ,xE= , 2?x0+1-t? 2?x0+t-1?

? 1-t ?y= 2 x+t, ? 2 x x ?y= 0x- 0, 2 4 ?

x2 0+4t 则 xE-xD=(1-t) 2 , x0-?t-1?2 x2 0 又|FP|=- 4 -t,
2 1-t ?x2 + 4 t ? 1 0 有 S△PDE= · |FP|· |xE-xD|= · 2, 2 8 ?t-1?2-x0 2 ? 4 - x x2 1 ? 0 0 ? ? 1- 4 = 又 S△QAB=2· 4· 2 , ? ? 2 2 2 S△QAB 4 ?x0-4?[x0-?t-1? ] 4 于是 = · = · 2 S△PDE 1-t ?x2 + 4 t ? 1 - t 0

2 2 2 x4 - [4 + ? t - 1 ? ] x + 4 ? t - 1 ? 0 0 . 4 2 2 x0+8tx0+16t

S△QAB 对 任 意 x0 ∈ ( - 2,2) , 要 使 为常数,即只需 t 满足 S△PDE
2 ? ?-4-?t-1? =8t, ? 2 2 ? 4 ? t - 1 ? = 16 t , ?

S△QAB 解得 t=-1.此时 =2, S△PDE

故存在 t=-1,使得△QAB 与△PDE 的面积之比是常数 2.

探究是否存在的问题,一般均是先假设存在,然 后寻找理由去确定结论.若真的存在,则能得出相应结论;若 不存在,则会由条件得出相互矛盾的结论.

【突破训练3】 已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的 动直线与椭圆相交于A,B两点. 1 (1)若线段AB中点的横坐标是- ,求直线AB的方程; 2 (2)当直线AB与x轴不垂直时,在x轴上是否存在点M,使 → → MA · MB 为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请 说明理由.

解 (1)依题意,直线 AB 的斜率存在. 设直线 AB 的方程为 y=k(x+1), 将 y=k(x+1)代入 x2+3y2=5, 消去 y 整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), ?Δ=36k4-4?3k2+1??3k2-5?>0, ? 6k2 则? x1+x2=- 2 . ? 3k +1 ? 1 由线段 AB 中点的横坐标是-2, ① ②

x1+x2 3 k2 1 3 得 2 =- 2 =-2,解得 k=± 3 ,适合①. 3k +1 所以直线 AB 的方程为 x- 3y+1=0,或 x+ 3y+1=0. → → (2)假设在 x 轴上存在点 M(m,0),使MA· MB为常数. 当直线 AB 与 x 轴不垂直时, 3k2-5 6k2 由(1)知 x1+x2=- 2 ,x1x2= 2 .③ 3k +1 3k +1 → → 所以MA· MB=(x1-m)(x2-m)+y1y2

=(x1-m)(x2-m)+k2(x1+1)(x2+1) =(k2+1)x1x2+(k2-m)(x1+x2)+k2+m2. 将③代入,整理得 → → ?6m-1?k -5 2 MA· MB= + m 3k2+1
? 1? 2 14 ?2m- ??3k +1?-2m- 3? 3 ?
2



3k2+1
2

+m2

1 6m+14 =m +2m- - . 3 3?3k2+1?

→ → 注意到MA· MB是与 k 无关的常数, 7 → → 4 从而有 6m+14=0,m=-3,此时MA· MB=9. 所以,在 x 轴上存在定点
? 7 ? → → M?-3,0?,使MA· MB为常数. ? ?

阅 卷 老 师 叮 咛

圆锥曲线“最”有应得 椭圆、双曲线、抛物线的最值问题的解题方法较灵活,

学生时常感到无从下手.常遇到面积最大(或最小)问题,距离
的最长(或最短)问题,不定量的最大(或最小)问题等等,下面 给同学们提供三种解法,只要掌握了它们,就可以“最”有应 得.

一、定义法求最值 x2 y2 【例1】? 已知A(3,2)、B(-4,0),P是椭圆 + =1上一点, 25 9 则|PA|+|PB|的最大值为 A.10 C.10+ 5 B.10- 5 D.10+2 5 ( ).

[满分解答] 易知A(3,2)在椭圆内,B(-4,0)是椭圆的左焦点(如 图),则右焦点为F(4,0). 连接PB,PF.

由椭圆的定义知:

|PB|+|PF|=10,所以|PB|=10-|PF|, 所以|PA|+|PB|=|PA|+10-|PF| =10+(|PA|-|PF|). 由平面几何知识,||PA|-|PF||≤|AF|, 即(|PA|+|PB|)max=10+|AF|. 而|AF|= ?3-4?2+?2-0?2= 5, 所以(|PA|+|PB|)max=10+ 5.故选C. 答案 C

老师叮咛: 由△ PAF 成立的条件 ||PA| - |PF|| < |AF| ,再延伸到 特殊情形 P , A , F 共线,从而得出 ||PA| - |PF||≤|AF| 这一关键

结论.根据图形中特殊的点、线与椭圆的位置关系等,形中觅
数、数中觅形,数与形的完美解决常能找到解题捷径.本题利 用椭圆的定义巧妙地求解最值问题.

【试一试1】

(2012· 吉林长春模拟)已知点P是抛物线y2=4x上

一点,设点P到此抛物线准线的距离为d1,到直线x+2y+ 10=0的距离为d2,则d1+d2的最小值是 11 11 A.5 B.4 C. 5 5 D. 5 ( ).

答案:C

[由抛物线的定义知点 P 到准线的距离等于点 P 到焦

点 F 的距离,如图,过焦点 F 作直线 x+2y+10=0 的垂线, |1+10| 11 5 此时 d1+d2 最小,因为 F(1,0),所以 d1+d2= 2 2= 5 , 1 +2 选 C.]

二、切线法求最值 【例2】? 抛物线的顶点O在坐标原点,焦点在y轴负半轴上, 过点M(0,-2)作直线l与抛物线相交于A,B两点,且满足 → → OA+OB=(-4,-12). (1)求直线l和抛物线的方程; (2)当抛物线上一动点P从点A运动到点B时,求△ABP面积 的最大值.

[满分解答]

(1)根据题意可设直线l的方程为y=kx-2,抛物线

方程为x2=-2py(p>0).
? ?y=kx-2, 由? 2 ? ?x =-2py,

得x2+2pkx-4p=0.(2分)

设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-2pk,y1+y2=k(x1+x2) -4=-2pk2-4.
? ?-2pk=-4, → → 所以OA+OB=(-4,-12),所以? 2 ? ?-2pk -4=-12,

? ?p=1, 解得 ? ? ?k=2.

故直线l的方程为y=2x-2,抛物线方程为x2=-

2y.(6分) (2)设P(x0,y0),依题意,知当抛物线过点P的切线与l平行时, △ABP的面积最大. 1 2 对y=- x 求导,得y′=-x,所以-x0=2,即x0=-2,y0= 2 1 2 - x0=-2,即P(-2,-2). 2 此时点P到直线l的距离

|2· ?-2?-?-2?-2| 4 4 5 d= = = 5 .(9分) 2 2 5 2 +?-1?
? ?y=2x-2, 由? 2 ? ?x =-2y,

得x2+4x-4=0,

则x1+x2=-4,x1x2=-4, |AB|= = =4 1+k2· ?x1+x2?2-4x1x2

1+22· ?-4?2-4· ?-4? 10.

于是,△ABP面积的最大值为 1 2×4 4 5 10× 5 =8 2.(12分)

老师叮咛:当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离 的最值问题时,可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线, 则两条平行线间的距离,就是所求的最值,切点就是曲线上取

得最值的点,这种求最值的方法称为切线法.切线法的基本思
想是数形结合,其中求曲线的切线方程需要利用导数知识,判 断切线与曲线的最值需要借助几何图形的直观性,通过图形来 确定何时取得最大值,何时取得最小值.

【试一试 2】 抛物线 y=-x2 上的点到直线 4x+3y-8=0 的距 离的最小值是 4 A.3 7 B.5 8 C.5 D.3 ( ).

答案: A [可知过抛物线点的切线与直线 4x+3y-8=0 平行 4 2 时,所求的距离最小,y′=-2x.令-2x=-3,解得 x=3,从
?2 4? 而切点坐标为?3,-9?,切线方程为 ? ?

4 4? 2? y+9=-3?x-3?,即 4x+ ? ?

4 3y-3=0,由两平行线间距离公式,得点到直线的距离的最小
? ? 4?? ?-8-?- ?? ? ? 3??

值为 d=

42+32

4 = .故选 A.] 3

三、函数法求最值 【例3】? (2012· 广东)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C: x2 y2 a2 + b2 =1(a>b>0)的离心率e= 点Q(0,2)的距离的最大值为3. (1)求椭圆C的方程; (2)在椭圆C上,是否存在点M(m,n),使得直线l:mx+ny =1与圆O:x2+y2=1相交于不同的两点A、B,且△OAB的 面积最大?若存在,求出点M的坐标及对应的△OAB的面 积;若不存在,请说明理由. 2 3 ,且椭圆C上的点到

[满分解答]

c (1)由e=a=

a2-b2 a2 =

2 3,得a= 3b,

x2 y2 椭圆C:3b2+b2=1,即x2+3y2=3b2. 设P(x,y)为C上任意一点, 则|PQ|= -b≤y≤b. 若b<1,则-b>-1,当y=-b时,|PQ|max= -2?-b+1?2+3b2+6=3,又b>0,得b=1(舍去). x2+?y-2?2= -2?y+1?2+3b2+6,

若b≥1,则-b≤-1,当y=-1时,|PQ|max= -2?-1+12 ? +3b2+6=3,得b=1. x2 2 ∴椭圆C的方程为 3 +y =1.(6分) m2 (2)假设存在这样的点M(m,n)满足题意,则有 +n2=1,即 3 n =1-
2

m2 3

,-

3

≤m≤

3

.由题意可得S△ AOB=

1 2

1 1 |OA|· |OB|sin∠AOB= sin∠AOB≤ , 2 2

当∠AOB=90° 时取等号,这时△ AOB为等腰直角三角形, 2 此时圆心(0,0)到直线mx+ny=1的距离为 2 ,
2 1 2 m 3 2 2 2 2 2 则 2 2 = 2 ,得m +n =2.又 3 +n =1,解得m = 2 ,n m +n

1 = 2 ,即存点M的坐标为
? ? ?- ?

? ? ? ?

6 2? ? , , 2 2? ?

? ? ? ?

6 2? ? , ,- 2 2? ?

? 6 2? 6 2? ? ? ? , , - ,- ? ? 满足题意,且△ AOB的最大面积为 2 2? 2 2 ? ? ?

1 2.(12分)

老师叮咛:当所求的最值问题可以表示成某个变量的函数关系
式时,我们常常先建立对应的函数关系式,然后利用函数方法 求出对应的最值,称这种方法为函数法,这是解析几何问题中 求最值的常用方法.函数法是研究数学问题的一种最重要的方 法,用这种方法求解圆锥曲线的最值问题时,除了重视建立函

数关系式这个关键点外,还要密切注意所建立的函数式中的变
量是否有限制范围,这些限制范围恰好制约了最值的取得,因 此在解题时要予以高度关注.

2 y 【试一试3】 (2012· 陕西五校联考)已知双曲线x2- =1的左顶 3

→ → 点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则 PA1 · PF2 的最小值为 81 A.-2 B.- C.1 D.0 16 ( ).

答案: A [由已知得 A1(-1,0),F2(2,0).设 P(x,y)(x≥1),则 → → PA1· PF2=(-1-x,-y)· (2-x,-y)=4x2-x-5.令 f(x)=4x2-x -5,则 f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以当 x=1 时,函数 f(x) → → 取最小值,即PA1· PF2取最小值,最小值为-2.]


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