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高中数学 第2章 2.1.1曲线与方程课件 新人教A版选修3-1


2.1.1曲线与方 程 解析几何在平面上建立直角坐标系: 对应 y 点P (x,y) f(x,y)=0 P C 曲线C 0 x 曲线C划分的区域 f(x,y)<0(>0) 这些对应关系沟通了几何与代数,使我们可以借 助代数方法研究几何问题,也可以借助图形研究 代数问题,而联系两者的有力工具是坐标法。 曲线与方程对应包含两方面: (1)曲线上点的坐标

都是方程的解 (2)以这个方程解为坐标的点都是曲线上的点 试证以(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-a)2 +(y-b)2 =r2 证明: (1)如点M(x0,y0)在圆上,则点M(x0,y0) 到(a,b)的距离为r,则坐标满足方程(x-a)2 +(y-b)2 =r2 (2)如(x0,y0)满足方程(x-a)2 +(y-b)2 =r2 ,则 以(x0,y0)为坐标的点M到(a,b)的距离为r,满足圆的 定义,从而点M(x0,y0)在圆上。从而得证。 称这个方程叫做曲线的方程,这条曲线叫做方程的曲线。 例:证明与两条坐标轴距离的积是常数k(k>0)的点的 轨迹是xy=±k。 几何主要研究的问题: (1)根据已知条件,求出表示曲线的方程 (2)通过曲线的方程,研究曲线的性质。 下面主要探讨求曲线的方程: 一、直接法:求轨迹方程最基本的方法,直接通过建立 x, y之间的关系,构成F(x,y)=0即可。 例1:设A,B两点坐标为(-1,-1), (3,7)求线段AB垂直平分线方程。 证明结论 (1)由求方程的过程可知,曲线上的点的坐标都是方程① 的解; (2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程①的解,那么x1y1=±k, 即|x1|·|y1|=k. 而|x1|、|y1|正是点M1到纵轴、横轴的距离,因此 点M1到这两条直线的距离的积是常数k,点M1是曲线上的 点. 由(1)、(2)可知,方程①是所求轨迹的方程. 求曲线方程一般步骤: (1)“建系取点”,由已知几何问题,建立适当的平面 直角坐标系,用M(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标。 (2)条件列式:据几何条件写出满足题设的点M集合P (3)代换:将点M的坐标带入几何条件P(M),列出 方程f(x,y)=0 (4)化简方程:尽可能通过同解变形化简上述方程。 (5)查漏补缺:验证方程所表示的曲线是否所求动点M 的轨迹。 一般地,由于化简方程是同解变形,上述步骤(5) 可省略不写。 下面继续探讨求曲线的方程: 二、定义法:如果能够确定动点的轨迹满足某种已知曲线 的定义,则可用曲线定义写出方程。 例2:若动点M到定点F(0,3)的 距离与到定直线y=25/3距离 的比为定值3/5,求动点M的 轨迹方程。 下面继续探讨求曲线的方程: 三、代入法:又称相关点法 , 其特点是:动点M(x,y) 的坐标取决于已知曲线C上的点(x0 , y0 )的坐标,可先 用x,y表示x0 ,y0,再带入曲线C的方程,即得点M的轨迹 方程。 例3:若 ABC的两个顶点B,C的坐 标 分别是(-1,0)和(2,0),顶点 A在直线y=x上移动,求 ABC重心G 的轨迹方程。 下面继续探讨求曲线的方程: 四、参数法:选取适当的参数,分别用参数表示动点坐标 x,y,得出轨迹的参数方程,消去参数,即得其普通方程。 例4:已知点C的坐标是(2,2),过点C 的直线CA与x轴交于点A,过点C且与直 线CA垂直的直线与y轴交于点B ,设点M 是线段AB的中点,求点M的轨迹方程。 y 归纳:选参数时必须首先考虑到

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