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2.2.1 第1课时2.2.1 对数与对数运算 第1课时 对 数


2.2 对数函数 2.2.1 对数与对数运算 第1课时 对 数

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[问题]

假设2013年我国国民生产总值为a亿元,如果每年

平均增长8%,那么经过多少年国民生产总值是2013年的2倍?
a(1+8%)x=2a, (1+8%)x=2,x=? 已知底数和幂的值,求指数.你能看得出来吗?怎样求 呢?

[提示] 已知底数的幂值,求指数需利用对数来表示.

1.理解对数的概念,能进行指数式与对数式的互化.(重
点) 2.理解对数的底数和真数的范围.(易混点) 3.掌握对数的基本性质及对数恒等式.(难点)

对数
1.对数的概念 (1)定义:

如果ax=N(a>0,且a≠1),那么数__ x 叫做以__ a 为底___ N 的对
x=logaN 数,记作_________________ . (2)相关概念: ①底数与真数: 其中,____ a 叫做对数的底数,___ N 叫做真数.

②常用对数与自然对数: 通常将以 10 为底的对数叫做常用对数,并把 log 10 N 记作

_______ lg N ;以无理数 e = 2.718 28 ?为底数的对数称为自然对
ln N 数,并且把logeN记作_________. 2.对数与指数间的关系 当a>0,a≠1时,ax=N?___________ x=logaN .前者叫指数式,后 者叫对数式.

3.对数的性质
性质1

零和负数 _______________ 没有对数
0 ,即loga1=___( 0 a>0,且a≠1) 1的对数是___ 1 ,即log a=__( 1 a>0,且a≠1) 底数的对数是__ a

性质2
性质3

对数式与指数式的关系 (1)对数式是指数式的另一种表达形式,对数运算是指数运 算的逆运算,常用符号“log”表示对数.

(2)对数的概念中出现了两个等式:指数式ax=N和对数式x
=logaN,这两个等式是等价的,它们之间的关系如图所示. 根据这个关系可以将指数式化成对数式,也可将对数式化 成指数式.

(3)指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表:
式子 指数式 对数式 ax=N x=logaN 名称 a 底数 底数 x 指数 对数 N 幂 真数

(4)你知道式子alogaN=N(a>0,且a≠1,N>0)为什么成立 吗?
提示: 设 ab=N,则 b=logaN. ∴ab=alogaN=N.

1.对于下列说法: (1)零和负数没有对数; (2)任何一个指数式都可以化成对数式;

(3)以10为底的对数叫做自然对数;
(4)以e为底的对数叫做常用对数. 其中错误说法的个数为( A.1 C.3 ) B.2 D.4

解析:

只有符合 a >0 ,且 a ≠ 1 , N >0 ,才有 a x = N ? x =

logaN,故(2)错误.由定义可知(3)(4)均错误.只有(1)正确.
答案: C

2.对数式loga-2(5-a)=b中,实数a的取值范围是( A.(-∞,5) C.(2,+∞) B.(2,5) D.(2,3)∪(3,5)

)

?5-a>0, ? 解析: 由题意,得?a-2>0, ?a-2≠1, ?
答案: D

∴2<a<3或3<a<5.

3.下列各式: ①lg(lg 10)=0; ②lg(ln e)=0; ③若10=lg x,则x=10; 1 ④由log25x= ,得x=± 5. 2 其中,正确的是________.(把正确的序号都填上)

解析: 因为lg 10=1,所以lg(lg 10)=lg 1=0,①正确; 因为ln e=1,所以lg(ln e)=lg 1=0,②正确; 若10=lg x,则x=1010,③错误;
1 1 由log25x= ,得x=252 =5,④错误. 2

答案: ①②

4.将下列指数式与对数式互化. (1)5
2

?1? ?-2 =25;(2)? ?3? =9; ? ?

(3)log28=3;(4)lg 10 000=4.
解析: (1)∵52=25,∴log525=2.
?1?- ? 2 (2)∵? ?3? =9,∴log1 9=-2. ? ? 3

(3)∵log28=3,∴23=8. (4)∵lg 10 000=4,∴104=10 000.

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对数的概念
将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: 1 (1)2 = ;(2)3a=27;(3)10-1=0.1; 128
-7

(4) log1 32=-5;(5)lg 0.001=-3;(6)ln a=2.
2

[思路探究] 指数式与对数式互化的依据是什么?

[ 边听边记] (3)lg

1 (1)log2 =-7;(2)log327=a; 128

?1? ?-5 0.1=-1;(4)? ?2? =32; ? ?

(5)10-3=0.001;(6)e2=a.

指数式与对数式互化的解题思路 (1)指数式化为对数式

将指数式的幂作为真数,指数作为对数,底数不变,写出
对数式. (2)对数式化为指数式 将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变,写出 指数式.

1.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式: 1 (1)3 = ;(2)43=64; 9
-2

(3) log1 27=-3;(4)log x64=-6. 3 1 1 -2 解析: (1)∵3 = ,∴log3 =-2. 9 9
(2)∵43=64,∴log464=3.
?1?- ? 3 (3)∵log1 27=-3,∴? ?3? =27. ? ? 3

(4)∵log x64=-6,∴( x)-6=64.

利用对数的结论及恒等式求值
(1)求下列各式中x的值: ①log5(log3x)=0; ②log3(lg x)=1; ③ln[log2(lg x)] =0. (2)求值: ①10lg 5=________.②51+log54=________.
?1?log 4-2 2log 5-1 ③3 3 =________.④? ? 2 =________. ?2? ? ?

[思路探究]

1.指数式a0=1,a1=a(a>0,且a≠1),如何化为对数式?
解答本题时如何应用? 2.根据对数的定义可知,alogaN的运算结果是什么?题1中 各式是否具备alogaN的形式,如果不具备可如何变形?

解析: (1)①设t=log3x,则log5t=0, ∴t=1,即log3x=1,∴x=3. ②∵log3(lg x)=1,∴lg x=3, ∴x=103=1 000. ③∵ln[log2(lg x)] =0,∴log2(lg x)=1, ∴lg x=2, ∴x=102=100.

答案: (2)①5 ②20

25 ③ 3 ④1

1.alogaN=N(a>0,a≠1,N>0)的推导方法

由ab=N ①,
得b=logaN ②, 得②代入①有alogaN=N.

2.对数恒等式alogaN=N的应用
(1)能直接应用对数恒等式的直接求值即可. (2)对于不能直接应用对数恒等式的情况按以下步骤求解.

2.(1)已知log2(log3(log4x))=log3(log4(log2y))=0,求x+y 的值. (2)e
ln 2

=_______;10

lg 7

?1? log 2-1 =_______;5 5 =______; ? ? ?2?

? ?

log 3 2 =________.

答案: (2)2 7

2 1 5 3

利用指数与对数的互化求变量的值
求下列各式中的 x 的值. 3 (1)logx27=2; 2 (2)log2x=-3; (3)log927=x;

[思路探究]

要求对数式中x的值,需要用到哪些变形方法?

[ 规范解答]
2 ∴x=273

3 3 (1)由logx27= 得x2 =27, 2 3分

=32=9.

2 2 - (2)由log2x=- ,得2 3 =x, 3

∴x=

1 3

22

2 = . 2

3

6分

(3)因为log927=x,所以9x=27, 3 即3 =3 ,于是2x=3,x= . 2
2x 3

9分

(4)因为
1 所以(34

=x,所以( 3)x=81,
x )x=34,即34

4
4

x =3 ,于是 =4,x=16. 4

12分

1.巧解对数式中的求值问题

(1)基本思想
在一定条件下求对数的值,或求对数式中参数字母的值, 要注意利用方程思想求解. (2)基本方法 ①将对数式化为指数式,构建方程转化为指数问题.

②利用幂的运算性质和指数函数的性质计算.

2.logaan=n(a>0,且a≠1)的应用

(1)证明:设logaan=x,则an=ax,由指数函数的单调性知n
=x,所以logaan=n. (2)应用技巧:如果对数的真数能化为以对数的底数为底数 的幂的形式,那么对数的值就是幂指数.

3.(1)方程log3(1-2x)=1的解x=________. (2)求下列式中的x. ①logx(3+2 2)=-2; ②log5(log2x)=0; 1 ③x=log27 . 9

解析: (1)由log3(1-2x)=1得1-2x=3,∴x=-1. (2)①由logx(3+2 2)=-2,得3+2 2=x-2, 即x=(3+2 2)


1 2

= 2-1.

②由log5(log2x)=0,得log2x=1,∴x=21=2. 1 1 2 -2 x 3x ③由x=log27 ,得27 = ,即3 =3 ,∴x=- . 9 9 3
答案: (1)-1

◎求log(1-2x)(3x+2)中的x的取值范围.

2 【错解】 ∵对数的真数大于0,∴3x+2>0,∴x>- . 3

【错因】 本题错解的原因是忽视对数底数的限制范围. 底数1-2x需大于零且不等于1.

【正解】 由题意得 ?1-2x>0, ? ?1-2x≠1, ?3x+2>0 ? ? 1 ?x<2, ? ??x≠0, ? 2 ?x>- 3 ? 2 1 ? ?- <x< , 2 ?? 3 ? ?x≠0,
? ? 且x≠0?. ? ?

? ? ? 1 ? 2 ? 所以x的取值范围是 x?-3<x<2 ? ? ?

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