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第五讲:立体几何开放性问题


立体几何开放性问题
1、如图,已知:在菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60 , PA⊥底面 ABCD, PA ? DA , E,F 分别是 AB 与 PD 的中点. (1)求证:PC⊥BD; (2)求证:AF//平面 PEC; (3)在线段 BC 上是否存在一点 M , 使 AF ? 平面PDM ?若存在,指出点 M 的位置;若不存在,说明理由。

/>2、如图边长为 4 的正方形 ABCD 所在平面与正 ?PAD 所在平面互相垂直, M , Q 分别为 PC, AD 的中点. (1)求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (2)求证: PA // 平面 MBD ; (3)试问:在线段 AB 上是否存在一点 N ,使得平面 PCN ? 平面 PQB ?若存在,试指出点 N 的位置, 并证明你的结论;若不存在,请说明理由。 P M D Q A B C

AB ? BC ? 2 ,过 A1、C1、B 三点的的平面截去长方体的一个角后. 3、在长方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中,
得到如图所示的几何体 ABCD ? A 1C1 D 1 ,且这个几何体的体积为

40 .(1)求 A (2)在线段 BC1 1 A 的长; 3

上是否存在点 P ,使直线 A 1 P 与 C1 D 垂直,如果存在,求线段 A 1 P 的长,如果不存在,请说明理由.

1

4、如图,平面四边形 ABCD 中,AB =BC=CD= a , ?B ? 90? , ?C ? 135? ,沿对角线 AC 将△ABC 折起, 使平面 ABC 与平面 ACD 互相垂直. (1)求证:AB ⊥平面 BCD; (2)求点 C 到平面 ABD 的距离; (3)在 BD 上是否存在一点 P ,使 CP ? 平面 ABD,证明你的结论。
B

A D
D

A

B

C
C

5、直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是直角梯形,∠BAD=∠ADC=90° , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 . (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BB 1 C1 C; (Ⅱ)在 A 1B 1 上是否存一点 P ,使得 DP 与平面 BCB 1 与平面 ACB 1 都平行?证明你的结论.

A1 D
1

B1 C1

A D C

B

6、如图所示,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, DB ? BC , DB ? AC ,点 M 是棱 BB1 上一点. (Ⅰ)求证: B1 D1 // 面 A1 BD ;(Ⅱ)求证: MD ? AC ;(Ⅲ)试确点 M 的位置,使得平面 DMC1 ? 平 面 CC1 D1 D . D1 A1 B
1

C1

D A

M

C

B

2

7、如图,菱形 ABCD 所在平面与矩形 ACEF 所在平面相互垂直,点 M 是线段 EF 的中点。 (1)求证:AM||平面 BDE(2)当

BD 为何值时,平面 DEF ? 平面 BEF?并证明你的结论。 AF
E M C F B

D

A

8、如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点.求证: (1) AB ? 平面 CDE; (2)平面 CDE ? 平面 ABC . (3)若 G 为 ?ADC 的重心, 试在线段 AE 上确定一点 F, 使得 GF// 平面 CDE.

A E

B

G

C

D

3

立体几何开放性问题答案 1、如图,已知:在菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60 , PA⊥底面 ABCD, PA ? DA , E,F 分别是 AB 与 PD 的中点. (1)求证:PC⊥ BD; (2)求证:AF//平面 PEC;

(3)在线段 BC 上是否存在一点 M ,使 AF ? 平面PDM ? 若存在,指出点 M 的位置;若不存在,说明理由。

1、 (1)连结 AC,则 AC⊥ BD。 ∵PA⊥平面 ABCD ∴PA⊥ BD 又 AC 与 PA 相交于 A ∴BD⊥平面 PAC ∴PC⊥BD………………4 分 (2)取 PC 的中点 K,连结 FK、EK, 则四边形 AEKF 是平行四边形。 ∴AF//EK,又 EK ? 平面 PEC,AF ? 平面 PEC, ∴AF//平面 PEC。………………8 分 (3)当 M 是 BC 的中点时, 可使 AF ? 平面PDM ,证明如下: …………9 分 ∵ PA ? DA ,F 是 PD 的中点 ∴AF⊥PD ∵菱形 ABCD 中, ?DAB ? 60 又 AD//BC ∴DM⊥ AD …………10 分 ∴DM⊥BC

∴正 ?BCD

…………12 分 ∴DM⊥平面 PAD

∵PA⊥底面 ABCD ∴PA⊥DM ∴DM⊥ AF 又 PD

DM ? D ∴ AF ? 平面PDM …………14 分

2、如图边长为 4 的正方形 ABCD 所在平面与正 ?PAD 所在平面互相垂直, M , Q 分别为 PC, AD 的中点. (1)求四棱锥 P ? ABCD 的体积; (2)求证: PA // 平面 MBD ; (3)试问:在线段 AB 上是否存在一点 N ,使得平面 PCN ? 平面 PQB ?若存在,试指出点 N 的位置, 并证明你的结论;若不存在,请说明理由。 P M D Q A 2、 (1)解: B C

Q 为 AD 的中点, ?PAD 为正三角形,? PQ ? AD .

平面PAD ? 平面ABCD

? PQ ? 平面ABCD . ………… 3 分
4

AD ? 4,? PQ ? 2 3 ,
?四棱锥 P ? ABCD 的体积
1 1 32 3 .…5 分 V ? S ABCD ? PQ ? ? 42 ? 2 3 ? 3 3 3
(2)证明:连接 AC交BD于点O ,连接 MO ,由正方形 ABCD 知 O为AC 的中点, M 为PC 的中点,

? MO // PA .……………………………………………………7 分

MO ? 平面MBD, PA ? 平面MBD,? PA // 平面MBD . …………………………9 分
(3)解:存在点 N ,当N 为 AB 中点时,平面 PQB ? 平面PNC .………………10 分

四边形ABCD 是正方形, Q为AD 的中点,? BQ ? NC .……………………11 分
由(1)知, PQ ? 平面ABCD, NC ? 平面ABCD,? PQ ? NC ,又 BQ

PQ ? Q ,

? NC ? 平面PQB .

……………………………………………………13 分 …………………………14 分

NC ? 平面PCN ,? 平面PCN ? 平面PQB .

AB ? BC ? 2 ,过 A1、C1、B 三点的的平面截去长方体的一个角后. 3、在长方体 ABCD ? A 1B 1C1 D 1 中,
得到如图所示的几何体 ABCD ? A 1C1 D 1 ,且这个几何体的体积为 (1)求 A 1 A 的长; (2)在线段 BC1 上是否存在点 P ,使直线 A 1 P 与 C1 D 垂直, 如果存在,求线段 A 1 P 的长,如果不存在,请说明理由.

40 . 3

3.解: (1)

VABCD? A1C1D1 ? VABCD? A1B1C1D1 ? VB? A1B1C1

1 1 10 40 ? 2 ? 2 ? AA1 ? ? ? 2 ? 2 ? AA1 ? AA1 ? , 3 2 3 3 ? AA1 ? 4 . …………………5 分
(2)在平面 CC1 D1 D 中作 D1Q ? C1 D 交 CC1 于 Q ,过 Q 作

D1 A1

C1 Q P

QP // CB 交 BC1 于点 P ,则 A1 P ? C1 D . …………………7 分
因为 A1 D1 ? 平面CC1 D1 D, C1 D ? 平面CC1 D1D,?C1D ? A1D1 , 而

Q P /C BC ,B AD / ,1 Q P AD / , 1 ? 1 1 D1Q ? D1 ,? C1 D ? 平面A1 PQC1 , 又 A 1D 1


A1 P ? 平面A1 PQC1 ,? A1 P ? C1 D . ………………………………
5

D A

C

B

………10 分

?D1C1Q ∽ Rt ?C1CD,?

C1Q D1C1 ? ,? C1Q ? 1, 又 CD C1C

PQ // BC,? PQ ?

1 1 BC ? . 4 2

1 29 . ……14 分 四边形A1 PQD1 为直角梯形,且高 D1Q ? 5,? A1 P ? (2 ? )2 ? 5 ? 2 2

4、如图,平面四边形 ABCD 中,AB =BC=CD= a , ?B ? 90? , ?C ? 135? ,沿对角线 AC 将△ABC 折起, 使平面 ABC 与平面 ACD 互相垂直. (1)求证:AB ⊥平面 BCD; (2)求点 C 到平面 ABD 的距离; (3)在 BD 上是否存在一点 P ,使 CP ? 平面 ABD,证明你的结论。
B

A D
A D

B

C
C

4. (1)略; ( 2)

2 (3)中点 a; 2
A1 D
1

5、直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,底面 ABCD 是直角梯形, ∠BAD=∠ADC=90° , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 . (Ⅰ)求证:AC⊥平面 BB1 C1 C; (Ⅱ)在 A 1B 1 上是否存一点 P ,使得 DP 与平面 BCB 1 与 平面 ACB 1 都平行?证明你的结论.

B1 C1

A D C

B

5. 证明: (Ⅰ) 直棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,BB 1 ⊥平面 ABCD,? BB 1 ⊥AC. ……2 分 又 ∠BAD=∠ADC=90° , AB ? 2 AD ? 2CD ? 2 , ∴ AC ? 2 ,∠CAB =45° ,∴ BC ? 2 ,? BC⊥AC.…………5 分 又 BB1
BC ? B , BB1 , BC ? 平面 BB1 C1 C,? AC⊥平面 BB 1 C1 C.

…7 分

(Ⅱ)存在点 P ,P 为 A 1B 1 的中点. …………………………………………8 分 证明:由 P 为 A1 B 1 的中点,有 PB1 ‖AB,且 PB1 = 又∵DC‖AB,DC=

1 AB .…………9 分 2

1 AB ,? DC ∥PB 1 ,且 DC= PB 1 , 2 ∴DC PB 1 为平行四边形,从而 CB1 ∥DP .………………………………11 分 又 CB 1 ? 面 ACB 1 ,DP ? 面 ACB 1 ,? DP ‖面 ACB 1 .…………………13 分
6

同理,DP ‖面 BCB1 .………………………………14 分

6、如图所示,在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, DB ? BC , DB ? AC , 点 M 是棱 BB1 上一点. (Ⅰ)求证: B1 D1 // 面 A1 BD ;(5 分) (Ⅱ)求证: MD ? AC ;(5 分) (Ⅲ)试确定点 M 的位置,使得平面 DMC1

D1 A1 B1

C1

? 平面 CC1 D1 D . (5 分)

D A

M

C

B

6. (本小题满分 15 分)(Ⅰ)证明:由直四棱柱,得 BB1 // DD1 , 且BB1 ? DD1 , 所以 BB1D1D 是平行四边形,所以 B1D1 // BD …………………(3 分) ……(5 分) ……(7 分) ……(9 分)

而 BD ? 平面A 1BD , B 1D 1 ? 平面A 1 BD ,所以 B1 D1 // 面 A 1 BD (Ⅱ)证明:因为 BB1 ? 面ABCD,AC ? 面ABCD , 所以 BB1 ? AC 又因为 BD ? AC ,且 BD ? BB1 ? B ,所以 AC ? 面BB1D 而 MD ? 面BB1D ,所以 MD ? AC

…………………………(10 分)

( Ⅲ ) 当 点 M 为 棱 BB1 的 中 点 时 , 平 面 D M 1 C? 平 面

D1 A1

N1

C1

CC1 D1 D …………………(11 分)
取 DC 的中点 N, D1C1的中点N1 ,连结 NN1 交 DC1 于 O ,连结 OM . 因为 N 是 DC 中点,BD=BC,所以 BN ? DC ;又因为 DC 是面 ABCD 与面

O

B1

DCC1D1 的 交 线 , 而 面

ABCD ⊥ 面

DCC1D1 , 所 以

D A

N

M

C

BN ? 面DCC1D1 ……………(13 分)
又可证得, O 是 NN1 的中点,所以 BM∥ON 且 BM=ON,即 BMON 是平行四边形,

B

所 以 BN ∥ OM, 所 以 OM ? 平 面 CC1 D1 D , 因 为 OMC 面 DMC1 , 所 以 平 面 DMC1 ? 平 面

CC1 D1 D ………………………………………………………………(15 分)
7

7、如图,菱形 ABCD 所在平面与矩形 ACEF 所在平面相互垂直,点 M 是线段 EF 的中点。 (1)求证:AM||平面 BDE(6 分) (2)当

BD 为何值时,平面 DEF ? 平面 BEF?并证明你的结论。 (6 分) AF
E M C F B

D

A

7、 (12 分) (注意各小题分步累计积分) 证明(1) (6 分)取 AC 与 BD 的交点 N,连接 EN, -2 分 由题意知:EN||AM, ――――――――――― 4 分 又 EN 在平面 BDE 内, ――――――――――6 分 所以 AM||平面 BDE 解: (2 ) (6 分)因为面 ACEF ? 面 ABCD,四边形 ACEF 为矩形, 所以 FA、EC 都垂直于面 ABCD 又四边形 ABCD 是菱形, 所以 ? FAD ? ? ECA 所以 DF=DE 又 M 为 EF 的中点, 所以 DM ? EF, 同理可知:BM ? EF 所以 ? DMB 就是二面角 D- EF-B 的平面角――4 分 所以 ? DMB=90 时,
0

BD ?2 AF

――6 分

8、如图,已知空间四边形 ABCD 中, BC ? AC, AD ? BD , E 是 AB 的中点. 求证: (1) AB ? 平面 CDE; (2)平面 CDE ? 平面 ABC . (3)若 G 为 ?ADC 的重心, 试在线段 AE 上确定一点 F, 使得 GF//平面 CDE. A E G

B

C

8.证明: ( 1)

BC ? AC ? AD ? BD ? ? ? CE ? AB 同理, ? ? DE ? AB AE ? BE ? AE ? BE ? D 又∵ CE DE ? E ∴ AB ? 平面 CDE . …………………5 分 (2)由(1)有 AB ? 平面 CDE
8

又∵AB ? 平面 ABC ,

∴平面 CDE ? 平面 ABC .………………9 分

(3)连接 AG 并延长交 CD 于 H,连接 EH,则 在 AE 上取点 F 使得

AG 2 ? , GH 1

AF 2 ? ,则 GF∥EH,易知 GF∥平面 CDE.…………………14 分 FE 1

9


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