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高考数学二轮总复习专题9三角变换、平面向量与解三角形(共36张PPT)


专题9

三角变换、平面向量 与解三角形

-2能力目标解读 热点考题诠释

本部分主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、平面向量及解 三角形等基础知识. 在高考中,对于三角函数的基本公式、三角恒等变换及平面向量,一般 是以客观题形式出现,而解三角形有关知识,在主、客观题中均有出现,且作 为解答题的形式频率较高.

本部分知识有时也与不等式、 函数最值结合在一起综合考查,而三角函 数、 解三角形、 平面向量的综合也将是今后高考的一大主流方向,三角恒等 变换中的降幂公式、 辅助角公式要作为重点训练,它是解决一切三角问题的 基础.本部分对化归和转化能力的要求较高.

-3能力目标解读 热点考题诠释

1 2 3 4
π 2

1.(2014 课标全国Ⅰ高考,理 8)设 α∈ 0, ( ) π A.3α-β=
2 π C.2α-β= 2
sin

,β∈ 0,

π 2

,且 tan α=

1+sin ,则 cos

由已知,得 = , 命题定位 :cos 本题考查诱导公式及和角公式的应用 ,对问题的转化能力及 cos ∴sin αcos β=cos α+ cos αsin β. 逻辑推理能力要求较高 ,其中的对角变换、公式的逆用、切化弦等有一定 ∴sin αcos β-cos αsin β=cos α. 的应用技巧. π ∴sin(α-β)=cos α,∴sin(α-β)=sin -α . ∵α∈ 0,
π 2 π π 2 π

π 2 π D.2α+β= 2

B.3α+β=
1+sin

关闭

,β∈ 0,
π 2 2

π 2 π

2

,
关闭

∴- <α-β< ,0< -α< ,

C

∴α-β= -α,∴2α-β= .故选 C.
2 2

2 π

解析

答案

3

-4能力目标解读 热点考题诠释

1 2 3 4

2.(2014 大纲全国高考,理 4)若向量 a,b 满足:|a|=1,(a+b)⊥a,(2a+b)⊥b, 则|b|=( ) A.2 B. 2 C.1 D.
2 2

命题定位:本题综合考查平面向量的运算、向量垂直的转化、向量的 数量积及模的运算,对函数与方程的思想及运算求解能力有较高要求.

关闭

∵(a+b)⊥a,|a|=1, ∴(a+b)· a=0,∴|a|2+a· b=0,∴a· b=-1.

B

又∵(2a+b)⊥b,∴(2a+b)· b=0.∴2a· b+|b|2=0. ∴|b|2=2.∴|b|= 2,选 B.
解析

关闭

答案

-5能力目标解读 热点考题诠释

1 2 3 4

3.(2014 课标全国Ⅰ高考,理 16)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值 为 . 关闭 命题定位:本题综合考查正、余弦定理及三角形的面积公式、基本不 由正弦定理,可得(2+b)(a-b)=(c-b)· c. 等式,知识综合程度高 . 2 2 2,对学生的推理论证能力、运算求解能力有较高要求 2 2 2 ∵a=2,∴a -b =c -bc,即 b +c -a =bc. 2 该题也体现了知识间的纵向交汇 2 + 2 -. 1 由余弦定理,得 cos A= = .
∴sin A= .
2 3 2 2

由 b2+c2-bc=4,得 b2+c2=4+bc. ∵b2+c2≥2bc,即 4+bc≥2bc,∴bc≤4,当且仅当 b=c 时等号成立. ∴S△ABC= bc· sin A≤ 3,即(S△ABC)max= 3. 3 2
解析
1
关闭

答案

-6能力目标解读 热点考题诠释

1 2 3 4
π 3

4.(2014 北京高考,理 15)如图,在△ABC 中,∠B= ,AB=8,点 D 在 BC 边 上,且 CD=2,cos∠ADC= .
解:(1)在△ADC 中,因为 cos∠ADC= , 所以 sin∠ADC=
4 3 7 7 1
关闭

1 7

.

所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B)=sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B 4求 3 sin 1∠BAD 1 (1) ;3 3 3 = × ? × = . 7 2 7 2 14 (2)求 BD,AC 的长. 3 3
· sin ∠ 8×

(2)在△ABD 中,由正弦定理得 BD= = 4 14 =3. 命题定位 :本题综合考查正、余弦定理及同角三角函数基本关系式、 3 sin ∠

和角公式,对问题的化归及方程思想有较高要求 . 在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=AB2+BC2-2AB· BC· cos
B=82+52-2×8×5× =49.所以 AC=7.
2 1

7

答案

-7能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

能力突破点一 三角恒等变换
思考 1:常见的角的拆、拼、变换的技巧有哪些? 提示:常见的角的拆、拼、变换的技巧有 α=2·,α=(α+β)-β,β=(α+β)-α,
1 2 1 β= [(α+β)-(α-β)], 2 + = - ? -β 2 2 2 π π π +α= ? -α 等. 4 2 4 2

α= [(α+β)+(α-β)],

,

-8能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

思考 2:要想讨论函数 f(x)=asin x+bcos x 的基本性质,该如何变形呢? 提示:一般是将原函数变成只含一个三角函数的正弦型或余弦型函数. 具体操作是利用辅助角公式将其化简,即 asin x+bcos x= 2 + 2 sin(x+φ), 其中 tan φ= .


8

-9能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

【例 1】已知 sin + ( ) A.4 5

π 3

+sin α=-

4 5

3,- <α<0,则 cos +

π 2

2π 3

等于

B.-

3 5

C.

4 5

D.

3 5

分析推理当三角等式中角不统一或函数名不统一时,一般 要将其变形,要么统一角,要么统一函数名称.对于本题,考虑到一个单角一 个和角,故应该将和角化为单角,即先统一角,然后通过变换、重组再向目标 靠拢.

9

-10能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

我的解答:

解析:∵sin +

π 4 π +sin α=- 3,- <α<0, 3 5 2 3 3 4 ∴ sin α+ cos α=- 3. 2 2 5 3 1 4 ∴ sin α+ cos α=- . 2 2 5 2π 2π 2π ∴cos + =cos α· cos -sin αsin 3 3 3 1 3 4 =- cos α- sin α= . 2 2 5

答案:C 点评:对于已知角和未知角的处理,一般优先处理较复杂的一方,当然也 可以条件和目标同时变形,最后再找一个联结点.

-11能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

【例 2】 函数 f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为

.

分析推理要想研究有关三角函数的最值,一般是借助三角 变换公式将原函数化归为只含一个三角函数的形式,对于角较复杂的情形, 应优先想到是否通过配角技巧使角得以统一,以使其符合形式要求. 我的解答: 解析: ∵f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ) =sin[(x+φ)+φ]-2sin φcos(x+φ) =sin(x+φ)cos φ+cos(x+φ)sin φ-2sin φcos(x+φ) =sin(x+φ)cos φ-cos(x+φ)sin φ =sin[(x+φ)-φ]=sin x, ∴f(x)max=1. 答案:1

-12能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

点评:本题如果不使用配角技巧而直接利用和角公式展开变形的话,运 算将会非常复杂.因此适当采取配角技巧和整体思想会收到事半功倍的效 果.

-13能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

1.已知 tan(α+β)= ,tan A.
13 18

2 5 13 B. 22

π 4

= ,则 tan + C.
3 22

1 4

π 4

等于( D.
1 6

)

关闭

因为 α+ =(α+β)- 4

π

π 4

,
π 4

C

所以 tan +

π 4

=tan ( + )- -

=

π 4 π 1+tan ( +)tan 4

tan ( + )-tan -

=

3 22

.

关闭

解析

答案

-14能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

2.函数 f(x)=sin 2-

π 4

-2 2sin2x 的最小正周期是

.

关闭

因为 f(x)= (sin 2x-cos 2x)- 2(1-cos 2x)= (sin 2x+cos
2

2

2

2x)- 2=sin 2 +

π 4

2

? 2,
2π 2

关闭

π

所以 f(x)的最小正周期 T= =π.
解析 答案

-15能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

能力突破点二

平面向量的基本运算

思考 1:设向量 a=(x1,y1),非零向量 b=(x2,y2),则 a∥b 与 a⊥b 的充要条 件是什么? 提示:a∥b?x1y2-x2y1=0,a⊥b?x1x2+y1y2=0. 思考 2:求平面向量的模,你有哪些技巧? 提示:(1)利用公式|a|= · 及(a± b)2=|a|2± 2 a· b+|b|2 把长度问题转化为 数量积的运算问题处理. (2)若向量能得出坐标,可直接用求模公式,即设 a=(a1,a2),则
2 2 |a|= 1 + 2 .

(3)若所求向量的模所处的载体为三角形,可结合正、余弦定理等知识 来解决.

-16能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

【例 3】 (2014 课标全国Ⅱ高考,理 3)设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|ab|= 6,则 a· b=( A.1 ) B.2 C.3 D.5

分析推理已知向量的模求夹角或数量积时 ,常使用|a|2=a2 进行转化,这充分体现了解决有关长度问题往往转化为数量积运算 ,本题还 要充分利用方程的思想求解 . 我的解答: 解析:∵|a+b|= 10,∴(a+b)2=10. ∴|a|2+|b|2+2a· b=10,① ∵|a-b|= 6,∴(a-b)2=6,∴|a|2+|b|2-2a· b=6,② 由①-②,得 a· b=1,故选 A. 答案:A

-17能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

点评:公式|a|2=a2 是解决向量模和数量积问题的一个纽带 .该公式可以 双向使用,变形时还要注意所求形式,即所有的化归要做到有的放矢 .

-18能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

【例 4】 (2014 重庆高考,理 4)已知向量 a=(k,3),b=(1,4),c=(2,1),且(2a3b)⊥c,则实数 k=( ) A.9 2

B.0

C.3

D.

15 2

分析推理当给出向量坐标形式来研究向量垂直问题时 ,一 定要联想到充要条件:a⊥b?x1x2+y1y2=0. 我的解答: 解析:由题意知 2a-3b=2(k,3)-3(1,4)=(2k-3,-6),又由(2a-3b)⊥c,可得(2a3b)· c=0, 即(2k-3,-6)· (2,1)=0,展开化简得 4k-12=0,即 k=3,故选 C. 答案:C 点评:使用 a⊥b?x1x2+y1y2=0 这一充要条件时,不需对向量分类讨论, 这一结论适用于任意两个互相垂直的向量 .

-19能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

3.设 x∈R,向量 a=(x,1),b=(1,-2),且 a⊥b,则|a+b|=( A. 5 B. 10 C.2 5 D.10

)

关闭

因为 a⊥b,所以有 x-2=0,解得 x=2,即 a=(2,1),b=(1,-2). 所以 a+b=(3,-1),|a+b|= 10.

关闭

B
解析 答案

-20能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

4.(2014 安徽皖北协作联考)已知向量 a= - , 正确的是( ) A.(a+b)⊥b B.a⊥(a+b) C.(a-b)⊥(a+b) D.a⊥b

1 2

3 2

,b =

3 1 ,2 2

,则下列关系

关闭

∵a+b= a-b=
- 3-1 2

3-1 2

,

2 3+1 2

,

3 -1

,
- 3 -1 2 3 -1 2 3+1 2 -2 4 2 4

, × + × = + =0.
关闭

∴(a+b)· (a-b)=

3 -1 2

C

∴(a+b)⊥(a-b),故选 C.

解析

答案

-21能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

能力突破点三

解三角形
2 2

思考:解三角形问题中如何进行边角的转化 ?需要注意哪些问题? 提示:(1)若要进行“边角”转化,一般选用正弦定理的变形形式 ,利用 “a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C”把“边”化为“角”;利用 sin A= ,sin B= ,sin C= 把“角”化为边; (2)若条件中含有角的余弦值也可以利用余弦定理把 “角”化为“边”.若条 件中含有形如 b2+c2-a2=λbc(λ 为常数)的代数式,一定要向余弦定理靠拢,而此 时不宜使用正弦余理; (3)变形中涉及三角变换时,一定要结合角的范围进行 ,否则极易出错; (4)在实施“边角”转化时,一定要注意转化的等价性和准确性 ; 如:在△ABC 中,sin A=sin B?A=B,sin 2A=sin 2B?A=B 或 A+B= ,A>B?sin A>sin B?a>b.
π 2 2

-22能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

【例 5】 在斜三角形 ABC 中,2sin 2C· cos C-sin 3C= 3(1-cos C). (1)求角 C 的大小; (2)若 AB=2,且 sin C+sin(B-A)=2sin 2A,求△ABC 的面积. 分析推理(1)在△ABC 中,当出现角的三角函数等式并且所 求是角的时候,一般有两种化简策略:一种是应用纯粹的三角变换公式进行 化简,充分利用三角形的内角和为 π;另一种是将角的关系全化为边的关系, 朝余弦定理靠拢.(2)充分应用(1)问中的结论,并将角的关系转化为边的关 系,再利用余弦定理列式即可.

-23能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

解:(1)由题意知 2sin 2C· cos C-sin(2C+C)= 3(1-cos C),则 sin 2Ccos C-cos 2Csin C= 3 ? 3cos C, 化简得 sin C= 3 ? 3cos C, 即 sin C+ 3cos C= 3,2sin + 所以 sin +
π 3 3 ,从而 2 π 3 π 3

= 3,
2π ,故 3

=

C+ =

C= .

π 3

(2)由 sin(A+B)+sin(B-A)=2sin 2A, 可得 sin Bcos A=2sin Acos A. 又斜三角形内 cos A≠0,所以 sin B=2sin A. 由正弦定理得 b=2a, 所以 所以
2 + -2 cos C= 2 1 S△ABC= · b· a· sin 2
2

2 +42-4 1 4 = = ,得 a2= , 2· · 2 2 3 1 3 3 2 3 C= · 2a· a· = a2= . 2 2 2 3

-24能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

点评:(1)解三角形时,对条件中含角的等式一定要以减少角的个数为化 简变形原则,并且充分利用三角形内角和为 π 这一条件;(2)在“边角”互化问 题上要做到变形有针对性,有时两种方法均能解决问题 ,“边化为角”倾向于 利用三角变换知识,“角化为边”重在代数方程的推理运算.

-25能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

5.在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cos B(tan Atan B+tan Ctan B)=tan Atan C. (1)求证:a,b,c 成等比数列; (2)若 a=1,c=2,求△ABC 的面积 S.
关闭

解:(1)由已知得 sin B(sin Acos C+cos Asin C)=sin A· sin C,即 sin Bsin(A+C)=sin Asin C,sin2B=sin Asin C, 再结合正弦定理可得 b2=ac,因此 a,b,c 成等比数列. (2)∵a=1,c=2,∴b2=ac=2. ∴cos B=
2 + 2 - 2 2 1 2

= ,sin B= 1-cos 2 B =
4 1 2 7 4

3

7 4

.

∴△ABC 的面积 S= acsin B= ×1×2×

=

7 4

.
答案

-26能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

能力突破点四

与平面向量、不等式等综合的三 角形问题

思考 1:向量、不等式、解三角形相结合问题的处理方法有哪些 ? 提示:向量、不等式、解三角形的结合是现在高考的主流趋势 ,对于向 量而言,要掌握相关的夹角、模、垂直、平行等重要公式 .而在三角形中有 关最值的求解通常借助于正弦型或余弦型函数的范围 ,或归结为二次函数 的最值、或利用基本不等式等进行 ,无论采用哪种形式,都要强调变量的范 围.处理三角形中的问题也要注意灵活地边角转化 ,并且注意一些隐含条件, 如内角和为 180° 、大角对大边等内在属性 .

-27能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

思考 2:向量、不等式在解三角形中的应用中常见的结论有哪些 ? 提示:(1)在△ABC 中,A>B?a>b?sin A>sin B; (2)基本不等式:若 a,b 均大于 0,则有如下不等关系: ab≤
+ 2 2 2 +2 2



,当且仅当 a=b 时等号成立;
π 2 π 2

(3)在锐角△ABC 中,A+B> ,sin A>cos B,cos A<sin B; (4)在钝角△ABC 中,设 C 为钝角,则 A+B< ,sin A<cos B,cos A>sin B; (5)利用数量积的定义巧妙转化 : 在△ABC 中, · =||| |cos C =abcos C=
2 + -2 2
2

.

-28能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

【例 6】 在锐角△ABC 中,已知内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,向量 m=(2sin(A+C), 3),n= cos2,2cos2 -1 ,且向量 m∥n. (1)求角 B 的大小; (2)如果 b=1,求△ABC 的面积 S△ABC 的最大值. 分析推理(1)通过 m∥n 及两向量的坐标,可将平行关系坐标 化,进而得到一个三角方程,然后结合所求对方程进行处理;(2)通过△ABC 的面 积表达式 acsin B 和已知边 b=1.可考虑用余弦定理搭建起联系,即得到关于 a,c 的等式.最后再用基本不等式得出 ac 的最大值,进而求得面积的最大值.
1 2 2

-29能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

我的解答: 解:(1)∵m∥n,

∴2sin(A+C) 2cos 2 -1 = 3cos 2B. ∴2sin Bcos B= 3cos 2B. ∴sin 2B= 3cos 2B,即 tan 2B= 3. 又∵0<B< ,∴0<2B<π.∴2B= ,即 B= . (2)由余弦定理得 b2=a2+c2-2accos B, 即 1=a2+c2- 3ac,a2+c2=1+ 3ac≥2ac, 当且仅当 a=c 时等号成立. ∴(2- 3)ac≤1,得 ac≤2+ 3,
1 4 1 ∴S△ABC 的最大值为 (2+ 4 π 2 π 3 π 6

2

∴S△ABC= acsin B≤ (2+ 3). 3).

1 2

-30能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

点评:处理涉及三角形的最值或范围问题,一定要注意三角形中边角的约束性, 尤其在使用基本不等式处理最值时,要多联想 ab≤ 并且要验证等号成立的条件.
+ 2 2



2 + 2

2

这一重要结论,

-31能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

6.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.已知 · =2,cos B= ,b=3,则(1)a= 为 .
1 3

,c=

;(2)cos(B-C)的值

解析:(1)由 · =2,得 c· acos B=2. 又 cos B= ,所以 ac=6.
3 1

由余弦定理,得 a2+c2=b2+2accos B. 又 b=3,所以 a2+c2=9+2×2=13. = 6, 解 2 得 a=2,c=3 或 a=3,c=2. + 2 = 13, 因为 a>c,所以 a=3,c=2.

-32能力突破点一 能力突破点二 能力突破点三 能力突破点四

能力突破方略

能力突破模型

能力迁移训练

(2)在△ABC 中,sin B= C= sin B= ×
3 2 2 2 3

1-cos 2 B

=

1-

1 2 3

=

2 2 3

,由正弦定理,得 sin

=

4 2 9

.
2

因为 a=b>c,所以 C 为锐角. 因此 cos C= 1-sin2 C =
1 3 7 9 2 2 3 4 2 9 23 27

1-

4 2 9

= .
9

7

于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C = × + × 2 =
23 27

.

答案: (1)3

(2)

-331 2 3 4
π -α 6 1 3 2π + 2α 3

1.若 sin A.
2 9

= ,则 cos B.2 9

=( C.
7 9

) D.7 9

关闭

∵sin ∴sin

π 6 π

-α = , π 3

1

D

∴cos

2 3 2π 3



= ,∴cos
π =2cos2 3 3

1

π 3

+α = ,
1 9 3 7 9
关闭

1

+ 2α

+ α -1=2× -1=- ,选 D.
解析

答案

-341 2 3 4
2 2

关闭

由于|a|=|b|=1,a· b=0,所以| |=| 2 (a+b)|= 2 · | | + | | + 2· =2,因此点 Q 在以

2.(2014 安徽高考,理 10)在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量
原点为圆心 ,半径等于 2 的圆上.

a,b,|a|=|b|=1,a· b=0,点 Q 满足 = 2(a+b).曲线 C={P| =acos θ+bsin θ,0≤θ<2π},区域 Ω= A.1<r<R< 2 3
又||=|acos θ+bsin θ|= (cos + sin )
2

{P|0<r ≤| |≤R,r<R}.若 C∩Ω 为两段分离的曲线,则(
= | | co 2 θ + | | si 2 θ + · sin2 =1,
2

)

B.1<r<3≤R D.1<r<3<R

C.r≤1<R<3

因此曲线 C 是以原点为圆心 ,半径等于 1 的圆. 又区域 Ω={P|0<r≤| |≤R,r<R},所以区域 Ω 是以 点 Q 为圆心,半径分别为 r 和 R 的两个圆之间的圆环 ,由图形可知,要使曲线 C 与该圆环的 公共部分是两段分离的曲线,应有 1<r<R< 3.
关闭

A
解析 答案

-351 2 3 4

3.(2014 安徽高考,理 16)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a, b,c,且 b=3,c=1,A=2B. (1)求 a 值;
(1)因为 A=2B, 所以 sin A= π sin 2B=2sin Bcos B.
4
关闭

(2)求 sin +

2+2- 由正弦定理、余弦定理得 a=2b· . 2

的值.

2

因为 b=3,c=1,所以 a2=12,a=2 3.
2

+2-2 9+1-12 1 (2)由余弦定理得 cos A= = =- .由于 0<A<π,所以 sin 2 6 3 1 2 2 A= 1-cos 2 A = 1- = . 9 3 π π π 2 2 2 1 2 4- 2 故 sin + =sin Acos +cos Asin = × + - × = . 4 4 4 3 2 3 2 6

答案

-361 2 3 4

4.在锐角△ABC 中,a,b,c 分别是内角 A,B,C 所对边长,且满足 sin2A=sin B · sin -B +sin2B. 3 π π 2 解 : (1) ∵ sin A= sin cos + cos sin (1)求角 A 的大小;
2 sin cos -cos sin + sin B,,c(b<c). (2) 若3 · =12, a= 2 7 , 求 b 3

π

π + 3
关闭

π

π

3

3

∴sin2A= cos2B- sin2B+sin2B,即 sin2A= . ∵0<A< ,∴sin A= ,A= .
2 2 4 π 4 3 π 4

3

1

3

(2)∵ · =bccos A= bc=12,∴bc=24.
2

3 1

又 a2=b2+c2-2bccos A, ∴28=(b+c)2-3bc.∴b+c=10. ∴b 与 c 是方程 x2-10x+24=0 的两解. ∵b<c,∴b=4,c=6.
答案


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