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2015年湖北七市四月联考理科数学答案


2015 年 4 月湖北省七市(州)教科研协作体高三联合考试 数学(理工类)参考答案及评分标准
说明 1.本解答列出试题的一种或几种解法,如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分 标准的精神进行评分。 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅。 当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解未改变这一题的内容

和难度时,可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数的 一半,如果有较严重的概念性错误,就不给分。 3.解答题中右端所标注的分数,表示考生正确做到这一步应得的该题分数。 一.选择题:A 卷:DBDCA CDBCA B 卷:ABDBA CDCAA 二.填空题: 9 11. 12.6 13. 3 4 15. 2 ? 1 16. 2 3 三.解答题: 17.(Ⅰ)解: f ( x) ? m ? n ? 3 sin(?x ?

14.(Ⅰ)(4,2) (Ⅱ)

6 5 6 6 2351 ) ? 2 ? 3 ? 4 (或填 7 7 7 7 2401

) ? cos( ?x ? ) ? 2sin( ?x ? ) 3 3 6 ? 2? ? 由于图象的对称中心与对称轴的最小距离为 ,所以 T ? ? 4? ? ?, ??2 ? 4 4
令 2k? ?

?

?

?

2分 3分 5分 6分

?

? 2? ? ] ,所以所求单调增区间为 [0, ], 又 x ? [0, [ , ?] 6 3
(Ⅱ )解: f ( A) ? 2sin(2 A ?
A ? k? 或 A ? k? ?

2

≤ 2x ?

?

6

≤ 2k? ?

?

2

,解得 k? ?

?

3

≤ x ≤ k? ?

?

6

(k∈Z)

?
6

) ? 1, sin(2 A ?

?

?
3

1 ? ? ? 5? )? , 2 A ? ? 2k? ? 或 2 A ? ? 2k? ? 6 2 6 6 6 6

? ) ,故 A ? (k∈Z),又 A ? (0,

?

3

8分 10 分 12 分 1分

3 ∵ cos C ? , C ? (0, ? ) ,∴ sin C ? 5 b a 由正弦定理得 ,∴ b ? ? sin B sin A
18.(Ⅰ )解:当 n = 1 时, S1 ? a2 ? 当 n≥2 时, Sn ?1 ? an ?

4 ? 3 3 ?4 , sin B ? sin( A ? C ) ? sin( ? C ) ? 5 3 10

5 3 sin B ?3 3 ?4 sin A

1 1 , a2 ? a1 ? 32 32

1 ,与已知式作差得 an ? an ?1 ? an ,即 an?1 ? 2an (n ≥ 2) 32 1 1 欲使{an}为等比数列,则 a2 ? 2a1 ? 2r ,又 a2 ? a1 ? ,∴ r ? 32 32
数学(理工类) 试卷 A 型 第 1 页 (共 5 页)

5分

故数列{an}是以

1 为首项,2 为公比的等比数列,所以 an ? 2n?6 32

6分

n?6 ?6 ? n, (Ⅱ )解: bn ? n ? 6 , | bn |? ? 若 n ? 6 , Tn ? ?b1 ? n ? 6 , n≥6 ?

? bn ?

11n ? n2 2

9分

若 n ≥ 6 , Tn ? ?b1 ?

? b5 ? b6 ?

? 11n ? n 2 , n?6 ? n ? 11n ? ? bn ? ? 30 ,∴ Tn ? ? 2 2 2 ? n ? 11n ? 30, n≥6 ? ? 2
2

12 分

19.(Ⅰ )证:由于 C 是以 AB 为直径的圆上一点,故 AC⊥BC 又 SC⊥平面 ABC,∴SC⊥BC ∵ SC AC ? C ,∴BC⊥平面 SAC,BC⊥SA O、M 分别为 AB、SB 的中点,故 OM 平行于 SA ∴OM⊥BC (Ⅱ )解:四面体 S-ABC 的体积 1 1 1 2 V ? SC ? S?ABC ? AC ? BC ≤ ( AC 2 ? BC 2 ) ? 3 3 6 3 当且仅当 AC ? BC ? 2 时取得最大值 6分 方法一 取 BC 的中点 N,连接 MN、AN,则 MN 与 SC 平行, H MN⊥平面 ABC MN 1 10 ∴ ? ? ?MAN , tan ? ? 9分 ? ? AN 5 1 2? A 2 x 作 CH⊥SA 垂足为 H,连接 BH,由(Ⅰ )知 BC⊥SA, ∴SA⊥平面 BCH,BH⊥SA AC ? SC 2 BC 6 ? ? 故 ? ? ?BHC ,在 Rt ?SAC 中, CH ? , tan ? ? SA CH 2 3 方法二 以 CA 、 CB , CS 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立直角坐标系,则 C(0,0,0),A( 2 ,0,0),B(0, 2 ,0),S(0,0,2) 2 2 , 1) 进而 M(0, ,1), AM ? (? 2 ,? 2 2 S z 2分 4分

M C O

N B y

12 分

CS ? (0, 0, 2) 是平面 ABC 的一个法向量,
35 10 ,tan ? ? 7 5 ?? 2 x ? 2 y ? 0 ? ?v ? AB ? 0 ? 设 v = (x,y,z)是平面 SAB 的一个法向量,则 ? ,即 ? ? ? ?v ? AS ? 0 ?? 2 x ? 2 z ? 0 CS ?|? 故 sin ? ?| cos ? AM , 14 , cos ? ? 7

9分

故可取 v ? ( 2, 2,1) ,由(1)知, CB ? (0, 2 ,0) 是平面 SAC 的一个法向量

数学(理工类)

试卷 A 型

第 2 页 (共 5 页)

故 cos ? ?| cos ? v, CB ?|?

10 15 6 ,sin ? ? , tan ? ? 5 5 2

12 分

20.(Ⅰ)解:设所取三个球恰有两个是红球为事件 A,则事件 A 包含两类基本事件:父亲取出 1 C 2 C2 1 两个红球,儿子取出一个不是红球,其概率为 2 ? 1 ? ; 2 C4 C3 9 父亲取出两球为一红一白,儿子取出一球为红色其概率为 故 P( A) ?
1 1 1 C2 C2 C1 2 ? ? 2 1 C4 C3 9

1 2 1 ? ? 9 9 3

4分

(Ⅱ )解:X 可以取 180,90,60,0,取各个值得概率分别为: 1 1 C2 1 C2 C2 1 1 2 P( X ? 180) ? 2 ? ? , P ( X ? 90) ? ? 1 ? 2 1 2 C4 C3 18 C4 C3 9

1 1 2 1 7 , P( X ? 0) ? 1 ? ? ? ? 3 18 9 3 18 所求分布列为 X 180 90 60 P( X ? 60) ?
P

8分 0

1 18

2 9

1 3

7 18
9分

E( X ) ? 180 ?

1 2 1 7 ? 90 ? ? 60 ? ? 0 ? ? 50 18 9 3 18

1 (Ⅲ)解:由二项分布的定义知,三次摸奖中恰好获得 60 个积分的次数 Y ~ B(3, ) , 3 7 1 2 7 3 1 3 ,故所求概率为 P(Y ≥ 2) ? P(Y ? 2) ? P(Y ? 3) ? C32 ( )2 ? ? C3 ( ) ? 3 3 3 27 27

12 分

x2 y 2 y y ? ? ?? ,化简得 ? ? 1( x ? ?2) x?2 x?2 4 4? 0) 、(2,0)也符合上式 又 A、B 的坐标 (?2,
21.(Ⅰ)解:设 T(x,y),则

x2 y 2 ? ? 1(? ? 0, ? ? 1) 4 4? 当 0 ? ? ? 1 时,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,焦点为 (?2 1 ? ? , 0), (2 1 ? ? , 0)
故曲线 C : 当 ? ? 1 时,曲线 C 是焦点在 y 纵轴上的椭圆,焦点为 (0, ? 2 ? ? 1), (0, 2 ? ? 1)

3分 4分 5分

(Ⅱ)解:由于 0 ? ? ? 1 ,曲线 C 是焦点在 x 轴上的椭圆,其焦点为 (?2 1 ? ? , 0), (2 1 ? ? , 0) , 椭圆的长轴端点到同侧焦点的距离,是椭圆上的点到焦点的最小距离 x2 y 2 3 故 2 ? 2 1 ? ? ? 1 ,?? ? ,曲线 C 的方程为 6分 ? ?1 4 4 3 ?x ? 1 3 3 3 3 ? (ⅰ)由联立 ? x 2 y 2 解得 M (1, ), N (1, ? ) 或 N (1, ), M (1, ? ) ? ?1 2 2 2 2 ? 3 ?4

3 3 1 3 当 M (1, ), N (1, ? ) 时, AM : y ? ( x ? 2), BN : y ? ( x ? 2) ,解得 P(4,3) 2 2 2 2
数学(理工类) 试卷 A 型 第 3 页 (共 5 页)

3 3 当 N (1, ), M (1, ? ) 时,由对称性知,P(4,-3) 2 2 所以点 P 坐标为(4,3)或(4,-3) (ⅱ)由(ⅰ)知,若存在,直线 l1 只能是 x ? 4 以下证明当 m 变化时,点 P 总在直线 x ? 4 上. x2 y 2 设 M(x1,y1),N(x2,y2),联立 ? ? 1 及 x ? my ? 1 ,消去 x 得: 4 3 6m 9 (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 , y1 ? y2 ? ? 2 , y1 y2 ? ? 2 3m ? 4 3m ? 4 y1 y2 ( x ? 2), BN : y ? ( x ? 2) 直线 AM : y ? x1 ? 2 x2 ? 2 2 y ( x ? 2) ? 2 y2 ( x1 ? 2) 4my1 y2 ? 2 y1 ? 6 y2 ? 消去 y 得 x ? 1 2 y2 ( x1 ? 2) ? y1 ( x2 ? 2) y1 ? 3 y2 4my1 y2 ? 2 y1 ? 6 y2 ? 4 ? 4my1 y2 ? 6( y1 ? y2 ) ? 0 ※对于 m∈R 恒成立 以下只需证明 y1 ? 3 y2

8分 9分

10 分

6m ?36m2 ? 36m2 ) ? ?0 3m2 ? 4 3m2 ? 4 3m2 ? 4 所以※式恒成立,即点 P 横坐标总是 4 ,点 P 总在直线 x ? 4 上 故存在直线 l1: x ? 4 ,使 P 总在直线 l1 上.
而 4my1 y2 ? 6( y1 ? y2 ) ? 4m ? (?

9

) ? 6 ? (?

13 分

22.(Ⅰ)解:当 x≥0 时, a ? 0 , f ?( x) ? 当 x ? 0 时, f ?( x) ? x 2 ? a ,

a ? ?) 递增 ? 0 , f ( x) 在 [0, x ?1

x ? (? a , 0),f ?( x) ? 0 ,f (x)递减, x ? (??, ? a ),f ?( x) ? 0 ,f (x)递增;
? ?) 递增, (? a , 故 f ( x) 在 (??, (不必说明连续性) ? a ) , [0, 0) 递减, 2 故 [ f ( x)]极小值 ? f (0) ? 0, [ f ( x)]极大值 ? f (? a ) ? a a . 3

4分

(Ⅱ)解:即讨论 h( x) ? g ( x) ? f ( x) 的零点的个数, h(0) ? 0 ,故必有一个零点为 x ? 0 . a ①当 x ? 0 时, h( x) ? g ( x) ? f ( x) ? e x ? 1 ? a ln( x ? 1) , h?( x) ? e x ? x ?1 a (ⅰ)若 a≤1,则 ? 1 ? e x , h?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, ??) 递增, h( x) ? h(0) ? 0 ,故此时 h( x) 在 x ?1 ( 0 ?? , 无零点; ) 5分 a (ⅱ)若 a > 1, h?( x) ? e x ? 在 (0, ??) 递增, h?( x) ? h?(0) ? 1 ? a , 1 ? a ? 0 x ?1 ? ?) 使 h?( x0 ) ? 0 且 x ??? 时, h?( x) ? ?? ,则 ?x0 ? (0,
? ?) 递增, 进而 h( x) 在 (0,x0 ) 递减,在 ( x0 ,
? ?) 有一个零点 h ? x ? 在 ( x0 , ??) 上有一个零点,在 (0,x0 ] 无零点,故 h( x) 在 (0,

h( x0 ) ? h(0) ? 0 ,由指数、对数函数的增长率知, x ??? 时 h( x) ? ?? ,

7分

1 3 x ? ax h?( x) ? e x ? x2 ? a , 3 设 ? ( x) ? h?( x) , ? ?( x) ? ex ? 2x ? 0 对 x ? 0 恒成立,
②当 x ? 0 时, h( x) ? g ( x) ? f ( x) ? e x ? 1 ?
数学(理工类) 试卷 A 型 第 4 页 (共 5 页)

0) 递增, h?( x) ? h?(0) ? 1 ? a ,且 x ??? 时, h?( x) ? ?? ; 故 h?( x) ? e x ? x2 ? a 在 (??, ? ( 0? ) ?1 a ≤ , 0 故 h( x) 在 (??, 0) 递 减 , 所 以 (ⅰ) 若 1 ? a ≤ 0 , 即 a ≤ ?1 , 则 h?( x)? h h( x)? h( 0? ) , 0 h( x) 在 (??, 0) 无零点; 8分 (ⅱ)若 1 ? a ? 0 ,即 a ? ?1 ,则 ?x0 ? (??, 0) 使 h?( x0 ) ? 0 ,

0) 递增, h( x0 ) ? h(0) ? 0 进而 h( x) 在 (??,x0 ) 递减,在 ( x0 , 1 且 x ??? 时, h( x) ? (e x ? 1) ? x( x2 ? 3a) ? ?? , h( x) 在 (??,x0 ) 上有一个零点,在 [ x0 , 0) 无 3 零点,故 h( x) 在 (??,0) 有一个零点 10 分 综合①②,当 a ≤ ?1 时有一个公共点;当 ?1 ? a ≤ 1 时有两个公共点;当 a ? 1 时有三个公共点 11 分

(Ⅲ)由(Ⅱ)知, a ? 1 时, g ( x) ? f ( x) 对 x ? 0 恒成立,即 e x ? 1 ? ln( x ? 1) 令x?
1 1095 1 ,则 e 10 ? 1 ? ln1.1 ? 1.0953 ? 1000 10

12 分

由(Ⅱ)知,当 a ? ?1 时, g ( x) ? f ( x) 对 x ? 0 恒成立,即 e x ? 令x??
? 1 ,则 e 10 10 1

1 3 x ? x ?1 3 1 1 1 2699 1095 10 3000 ? ( ? )3 ? ?1 ? ,故有 ? e? 3 10 10 3000 1000 2699

14 分

数学(理工类)

试卷 A 型

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