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第八讲 导数及其应用


第八讲
【基础知识】

导数的应用(一)

一、函数的单调性:设函数 y ? f ( x) 在某个区间内可导: (1) f '( x) ? 0 ? f ( x ) 该区间内为增函数; (2) f '( x) ? 0 ? f ( x ) 该区间内为减函数; 注意:当 f '( x) 在某个区间内个别点处为零,在其余点处为正(或负)时, f ( x ) 在这个区间上仍是递增 (或递减)的。 (3) f ( x ) 在该区间内单调递增 ? f '( x) ? 0 在该区间内恒成立; (4) f ( x ) 在该区间内单调递减 ? f '( x) ? 0 在该区间内恒成立; 二、函数的极值与其导数的关系: ①极值的定义:设函数 f ( x ) 在点 x0 附近有定义,且若对 x0 附近的所有的点都有 f ( x) ? f ( x0 ) (或 f ( x) ? f ( x0 ),则称 f ( x0 ) 为函数的一个极大(或小)值, x0 为极大(或极小)值点。 ②可导数 f ( x ) 在极值点 ,但函数 f ( x ) 在某点 x0 处的导数为 0,并不一 ...x0 处的导数为 0(即 f '( x0 ) ? 0 ) 3 定函数 f ( x ) 在该处取得极值(如 f ( x) ? x 在 x0 ? 0 处的导数为 0,但 f ( x ) 没有极值) 。 三、函数的最值: ①最值的定义: 若函数在定义域 D 内存 x0 , 使得对任意的 x ? D , 都有 f ( x) ? f ( x0 ) , (或 f ( x) ? f ( x0 ) ) 则称 f ( x0 ) 为函数的最大(小)值,记作 ymax ? f ( x0 ) (或 ymin ? f ( x0 ) ) ②如果函数 y ? f ( x) 在闭区间 [ a, b] 上的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数在闭区间 [ a, b] 上必有 最大值和最小值。

【基础回顾】
(1) f ?( x ) 是 f ( x ) ? (2)函数 y ?

1 3 x ? 2 x ? 1 的导函数,则 f ?(?1) 的值是 3



ln x 的导数是__________ x (3). 设函数 f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? ,且 f ? x ? ? x2 ? 2 x ? f ? ?1? ,则 f ? ? 0 ? 等于 _______
2 (4)设曲线 y ? ax 在点(1, a )处的切线与直线 2 x ? y ? 6 ? 0 平行,则 a ?



(5)已知曲线 y ?

1 3 8 x 在点 P ( 2, ) ,则过 P 点的切线方程为 ( 3 3 A、 3x ? 12y ? 16 ? 0 B、 12x ? 3 y ? 16 ? 0 C、 3x ? 12y ? 16 ? 0 D、 12x ? 3 y ? 16 ? 0



例题讲解
一、图像问题 (1). 【2013 年.浙江卷.文 8】已知函数 y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数 y=f′(x) 的图象如右图所示,则该函数的图象是( ).

(2) 已知函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如图,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能是 (

)

二、导数的应用
(1) .设 y=x-lnx,则此函数在区间(0,1)内为(

) D、不确定

A.单调递增,

B、有增有减

C、单调递减,

(2) 【2012 高考陕西版文第 9 题】设函数 f ? x ? ? A. x ?

1 为 f ? x ? 的极大值点 2

2 ? ln x ,则( ) x 1 B. x ? 为 f ? x ? 的极小值点 2
D. x ? 2 为 f ? x ? 的极小值点 )

C. x ? 2 为 f ? x ? 的极大值点

(3).【2014 全国 2,文 11】若函数 f ? x ? ? kx ? Inx 在区间 ?1, ?? ? 单调递增,则 k 的取值范围是( (A) ? ??, ?2? (B) ? ??, ?1? (C) ? 2, ?? ? (D) ?1, ?? ?

(4)若 a>0, b>0, 且函数 f(x)=4x3-ax2-2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等于 A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

(5) 【2014 高考重庆文第 19 题】已知函数 f ( x) ?

x a 3 ? ? ln x ? ,其中 a ? R ,且曲线 y ? f ( x) 在点 4 x 2

(1, f (1)) 处的切线垂直于 y ?

1 x. 2

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间与极值.

(4) 知函数 f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求 f (x)的单调区间; (2)若 f (x)在 x=-1 处取得极值,直线 y=m 与 y=f (x)的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围.

练习

1、函数 f(x)的定义域为开区间(a,b),导函数 f′(x)在 函数 f(x)在开区间(a,b)内有极小值点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4

(a,b)内的图象如图所示,则

1 1 2、若函数 f (x)= x3- ax2+(a-1)x+1 在区间(1,4)上为减函数,在区间(6, 3 2 +∞)上为增函数,试求实数 a 的取值范围____________ 3、 【2015 高考重庆,文 19】已知函数 f ( x) ? ax3 ? x2 ( a ? R )在 x= ? (Ⅰ)确定 a 的值, (Ⅱ)若 g ( x) ? f ( x)e x ,讨论的单调性.

4 处取得极值. 3

【家庭作业】
1、设曲线 y ? x2 ? x ? 2 在点 M 处切线斜率为 3,则点 M 的坐标为 ( A、 (0,-2) B、 (1,0) C、 (0,0) D、 (1,1) 2、函数 y ? x ln x 的单调递减区间是
?1 ?1 ?1

) ( )

A、 ( e ,+∞) B、 (-∞, e ) C、 (0, e ) D、 (e,+∞) 3 3、函数 y=x -3x 在[-1,2]上的最小值为 ( ) A、2 B、-2 C、0 D、-4 3 2 4、已知 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为( ) A、-1<a<2 B、-3<a<6 C、a<-1 或 a>2 D、a<-3 或 a>6 5、设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如下图所示,则导函数 y=f ?(x)可能为 y x y x y x y x O y x

( )

O A

O B

O C

O D

6、(2013 年高考新课标 I 文科 20)(本小题满分共 12 分)已知函数 f ( x) ? e x (ax ? b) ? x2 ? 4 x ,曲 线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处切线方程为 y ? 4 x ? 4 . (Ⅰ)求 a , b 的值;(Ⅱ)讨论 f ( x) 的单调性,并求 f ( x) 的极大值.

7、已知函数 f(x)=x3+(1-a)x2-a(a+2)x+b(a,b∈R). (1)若函数 f(x)的图象过原点,且在原点处的切线斜率是-3,求 a,b 的值; (2)若函数 f(x)在区间(-1,1)上只有 一个极值点,求 a 的取值范围. ..


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