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【创新方案】2015届高考数学(新课标版,理)二轮复习专题讲解 第一讲几何证明选讲(选修4-1)卷 Word版含解析]


专题七第一讲几何证明选讲(选修 4-1)卷
1.(2014· 江苏高考)

如图,AB 是圆 O 的直径,C,D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点. 证明:∠OCB=∠D.

2.(2014· 洛阳模拟)在圆内接四边形 ABCD 中,AC 与 BD

交于点 E,过点 A 作圆的切线交 CB 的延长线于点 F,若 AB=AD,AD∥FC,AF=18, BC=15,求 AE 的长.

3.(2014· 唐山模拟)

如图,△ABC 内接于⊙O,AB=AC,点 D 在⊙O 上,AD⊥AB,AD 交 BC 于点 E,点 F 在 DA 的延长线上,AF=AE,求证: (1)BF 是⊙O 的切线; (2)BE2=AE· DF.

4.(2014· 东北三校联考)

已知 PQ 与⊙O 相切于点 A,直线 PBC 交圆于 B,C 两点,D 是圆上一点,且 AB∥CD, DC 的延长线交 PQ 于点 Q. (1)求证:AC2=CQ· AB; (2)若 AQ=2AP,AB= 3,BP=2,求 QD.

5.(2014· 沈阳模拟)

如图,已知圆 O1 与圆 O2 外切于点 P,直线 AB 是两圆的外公切线,分别与两圆相切于 A、 B 两点,AC 是圆 O1 的直径,过 C 作圆 O2 的切线,切点为 D. (1)求证:C、P、B 三点共线; (2)求证:CD=CA.

6.(2014· 忻州模拟)

如图,直线 AB 经过⊙O 上的点 C,并且 OA=OB,CA=CB,⊙O 交直线 OB 于 E、D, 连接 EC、CD. (1)求证:直线 AB 是⊙O 的切线; 1 (2)若 tan∠CED= ,⊙O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

答案:
1.证明:因为 B,C 是圆 O 上的两点, 所以 OB=OC.

故∠OCB=∠B. 又因为 C,D 是圆 O 上位于 AB 异侧的两点, 故∠B,∠D 为同弧所对的两个圆周角, 所以∠B=∠D.因此∠OCB=∠D. 2. 解:∵AF 是圆的切线,且 AF=18,BC=15, ∴由切割线定理知 AF2=FB· FC,即 182=FB· (FB+15),解得 FB=12. ∵AB=AD, ∴∠ABD=∠ADB. 又∵AF 是圆的切线, ∴∠FAB=∠ADB. 则∠FAB=∠ABD, ∴AF∥BD, 又∵AD∥FC, ∴四边形 ADBF 为平行四边形, ∴AD=FB=12. 又∠ACF=∠ADB=∠F, ∴AC=AF=18. ∵AD∥FC, AE AD ∴ = ,解得 AE=8. 18-AE BC 3.解:(1)连接 BD.因为 AD⊥AB,所以 BD 是⊙O 的直径.

因为 AE=AF,所以∠FBA=∠EBA. 又因为 AB=AC,所以∠FBA=∠C. 又因为∠C=∠D,∠D+∠ABD=90° , 所以∠FBA+∠ABD=90° ,即∠FBD=90° , 所以 BF 是⊙O 的切线. (2)由切割线定理,得 BF2=AF· DF. 因为 AF=AE,BE=BF, 所以 BE2=AE· DF. 4.解:(1)
? ? ??∠AQC=∠ACB ? PA为⊙O切线?∠PAB=∠ACB?

AB∥CD?∠PAB=∠AQC

AQ为⊙O切线?∠QAC=∠CBA

? ? ?

AC AB ?△ACB∽△CQA? = ?AC2=CQ· AB. CQ AC ?2?AB∥CD? ? BP AP AB 1 AP 1 ??PC=PQ=QC=3 = ? ?QC=3 3, AQ 2 ? BP=2,AB= 3 PC=6, AP 为⊙O 切线?AP2=PB· PC=12?AP=2 3?QA=4 3. 16 3 又 AQ 为⊙O 切线?AQ2=QC· QD?QD= . 3 5.证明:(1)连接 PC,PA,PB,BO2,∵AC 是圆 O1 的直径, ∴∠APC=90° .

? ? ? ? ?

连接 O1O2 必过点 P, ∵AB 是两圆的外公切线,A,B 为切点, ∴∠BAP=∠ACP=α, ∴∠AO1P=2α. 由于 O1A⊥AB,O2B⊥AB, ∴∠BO2P=π-2α, ∴∠O2BP=α. 又∠ABP+∠O2BP=90° , ∴∠ABP+∠BAP=90° , ∴C、P、B 三点共线. (2)∵CD 切圆 O2 于点 D, ∴CD2=CP· CB. 在△ABC 中,∠CAB=90° , 又∵AP⊥BC, ∴CA2=CP· CB,故 CD=CA. 6.

解:(1)如图,连接 OC,∵OA=OB,CA=CB, ∴OC⊥AB. ∵OC 是⊙O 的半径, ∴AB 是⊙O 的切线. (2)∵ED 是直径, ∴∠ECD=90° , ∴∠E+∠EDC=90° , 又∠BCD+∠OCD=90° ,∠OCD=∠EDC, ∴∠BCD=∠E,又∠CBD=∠EBC, ∴△BCD∽△BEC,



BC BD = ,BC2=BD· BE. BE BC


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