导数的应用1

§2.8 导数在研究函数性态上的应用

2.8.1 函数的单调区间
y y

y? f ( x) y? f ( x)

o a
f ?( x )? 0.

b

x

o a
f ?( x )? 0.

b

x

曲线 y ? f ( x ) 上升时

曲线 y ? f ( x ) 下降时

(a,b) 内可导。 设函数 y ? f ( x ) 在

若函数 y ? f ( x ) 在(a,b) 内单调增加(减少)，则其图形 是一条沿 x 轴 正向上升(下降)的曲线。这时曲线上各点 处的切线斜率是非负（非正）的，即 f ?( x )? 0 (f ?( x )? 0 )。 由此可见，函数的单调性与导数的符号有着密切的关系。

1．定理 1

设函数 f ( x ) 在区间I 可 导 ，则

f ( x )在区间 I 单调增加(或减少)的充分必要条件是

1． 2．

?x ? I ，有 f ?( x ) ? 0(或 f ?( x ) ? 0)；
f ?( x) 在 I 的任意一个部分区间里都不恒等于零.

1．定理 1

设函数 f ( x ) 在区间I 可 导 ，则

（1 ） f ( x ) 在区间 I 单调不减( 不增)
? ? x ? I ，有 f ?( x ) ? 0 ( f ?( x ) ? 0 ) ；
f ( x) （ 2 ）若在 区 间 I f ?( x )? 0 ( f ?( x )? 0 ) ，则

在 区 间 I 单调增加 ( 单调减少 ) 。

2.确定函数的单调性的一般步骤
（1 ）确定函数 f ( x ) 的定义域( a , b ) ； （2 ）求 f ?( x ) ? 0 和 f ?( x ) 不存在的点，把这些点按 从小到大的顺序排列为
C1 , C 2 , ? , C n ，确定在

(a , C1 ) ，(C1 , C 2 ) ，…，(C n , b ) 内 f ?( x ) 的符号；

（3 ）在某区间上， 若 f ?( x ) ? 0 ，则 f ( x ) 在这区间内单调增加； 若 f ?( x ) ? 0 ，则 f ( x ) 在这区间内单调减少。

例 1．求函数 f

2 ( x ) ? ( x ?1)? x 3

的单调区间。

解：函数 f ( x ) 的定义域为(??,??) ，
2 5 x?2 2 ?1 f ?( x )? x 3 ( x ?1)? x 3 ? , 1 3 3x 3 2 令 f ?( x )? 0 ，得x ? ， x ? 0 为 f ( x ) 的不可导的点。 5
x

( ? ?, 0)

0 不存在

( 0,

2 ) 5

2 5

f ?( x ) f ( x)

＋ ↗

－ ↘

0

2 ( , ? ?) 5 ∞ ) ＋

↗

2 2 即f ( x )在( ? ?, 0)和( , ? ? )内 单 调 增 加 , 在(0, )内 单 调 减 少 . 5 5

3、利用函数的单调性证明不等式

(a,b) 内可导， 设 f ( x ) 在[a,b] 上连续，在 (a,b) 内 f ?( x )? 0 ， 要证 f ( x )? 0 。若能证得在

且 f (a )? 0 ，则有 f ( x )? f (a )? 0 ，即证得结论。

例 2．设 b? a ? e ，证明：a b ? ba 。
b a a ? b 证明：要证 ，只须证 blna ? alnb 。

设 f ( x ) ? x lna ? a ln x ，

则 f ( x )?C[a ,? ?) ， f ( x )?D(a ,? ?) ，且 f (a )? 0 。
由b?a?e ，得lnb?lna ?1 。
a a ∵ f ?( x )? lna ? ?1? ? 0 ( x ? a ) ， x x ∴ f ( x ) 在[a , ? ? ) 上单调增加，

∴当 b? a 时，有 f ( b )? f ( a ) ? 0 ，
b a a ? b 即 blna ? alnb ，从而 。

1? x 例 3．证明：当 x?(0, 1) 时，e ? 。 1? x 2 x 1? x 证：要证 x?(0, 1) 时，e ? ， 1? x
2x
2x ( 1 ? x ) e ? 1? x 。 x ? ( 0 , 1 ) 即要证 时，

设 f ( x )?(1? x )e 2 x ?1? x ，
则 f ( x )?C[0, 1) ， f ( x )?D[0, 1) ，且 f (0)? 0 。
2x ? ∵ f ( x )? e (1? 2 x )?1 ，

∴ f ?( x )?C[0, 1) ， f ?( x )?D(0, 1) ，且f ?(0)? 0 。

∵ f ??( x )? ?4 xe 2 x ? 0 ， x?(0, 1) 。
∴在[0, 1) 内 f ?( x ) 单调减少， 从而 f ?( x )? f ?(0)? 0 ，

∵ f ?( x )? 0 ，
∴在[0, 1) 内 f ( x ) 单调减少，从而 f ( x )? f (0)? 0 ，

故 (1? x )e 2 x ?1? x ，
即 x?(0, 1) 时，e
2x

1? x ? 。 1? x

例 4．证明方程 x ? asin x ?1 (0? a ?1) 在( ? ?, ? ? ) 内有且仅有一个实根。

证明：设 f ( x )? x ? asi nx ?1 ，则 f ( x )?C ( ? ?,? ?) ，
∵ f ( x )?C [0,? ] ，且 f ( 0) ? ?1? 0 ， f ( ? ) ? ? ?1? 0,

∴至少存在一点??(0, ?) ，使得 f (? )? 0 ，
即在 ( 0, ? ) 内方程 f ( x )? 0 至少有一个实根。

又∵ f ?( x ) ?1? acos x ? 0 ，
∴ f ( x ) 在( ??, ? ? ) 内单调增加。
0? a ?1 ） 故方程 f ( x )? 0 ，即方程x ? asin x ?1 （

在 ( ?? , ? ? ) 内有且仅有一个实根。

例 5．已知 f ( 0) ? 0 ， f ?( x ) 严格单增， f ( x) 证明：当 x ? 0 时， g( x )? 严格单增。 x

证明： g?( x )?

xf ?( x )? f ( x )

x2 分母 x 2 ? 0 ，故考察分子 xf ?( x )? f ( x ) 的符号。

,

∵ xf ?( x ) ? f ( x ) ? xf ?( x ) ?[ f ( x ) ? f ( 0 )]

? xf ?( x )? f ?(?)( x ? 0)? x[ f ?( x )? f ?(?)] (0??? x)
而 f ?( x ) 单增，故 f ?( x ) ? f ?( ? )? 0 ( 0? ? ? x ) 。 ∴当 x ? 0 时， x[ f ?( x ) ? f ?( ? )]? 0 ， 从而 g ?( x )? 0 ，

f ( x) 故当 x ? 0 时， g( x )? 严格单增。 x

2.8.2函数的极值与最值
一、极值
1．定义 1 设 f ( x ) 在N( x? ) 内有定义，若?x ?N( x? ) ， 都有 f ( x )? f ( x? ) ( f ( x )? f ( x? ) )，则称x? 是f ( x ) 的
?

极大(小)点，称 f ( x? ) 是 f ( x ) 的极大(小)值。
极大点和极小点，统称为极值点。
极大值和极小值，统称为极值。

y

y? f ( x)
M4
M3 M5 x5

M1

o a

x1

x2 M2

x 3 x4

b

x

f ( x1 ) 和 f ( x4 ) 是 f ( x ) 的极大值， x1 和 x4 是 f ( x ) 的极大点；
f ( x2 ) 和 f ( x5 ) 是 f ( x ) 的极小值， x2 和 x5 是 f ( x ) 的极小点。

几点说明：
（1）极值是指函数的值，而极值点是指自变量的值，
两者不要混淆。
（2）函数极值的概念是局部性的，它不一定是函数在 整个定义域上的最大值或最小值。
（3）函数的极大值不一定比极小值大。

（4）函数的极值只能在区间的内部取得，不能在区间 端点处取得；而函数的最大值、最小值可能在区间

的内部取得，也可能在区间的端点处取得。

2．定理2（极值存在的必要条件）
若点 x? 是函数 f ( x ) 的极值点，则 f ?( x? )? 0
或 f ( x ) 在点 x? 不可导，两者必居其一。

注： （1）方程 f ?( x )? 0 的实根叫做函数 f ( x ) 的 驻点。

（2）函数的极值点一定是驻点或者是导数不存在的点， 但这两种点不一定是函数的极值点。
3 x ? 0 f ( x ) ? x 例如： 是 的驻点，但 x ? 0 不是极值点。

? （3） ?称为可能极值点 。 导数不存在的点? 驻点

3．定理 3（极值存在的充分条件一）
设函数 f ( x ) 在 N ( x? ,? ) 内连续，在N ( x? ,?) 内可导，
?

（1）若当 x?( x? ? ?, x? ) 时， f ?( x )? 0 ，

当 x?( x? , x? ? ? ) 时， f ?( x )? 0 ，
则 f ( x ) 在点 x? 取得极大值；

（2）若当 x?( x? ? ?, x? ) 时， f ?( x )? 0 ，

当 x?( x? , x? ? ? ) 时， f ?( x )? 0 ，
则 f ( x ) 在点 x? 取得极小值； （3）若 f ?( x ) 在点 x? 的左、右邻域内保持同号，

则 f ( x ) 在点 x? 处无极值。

y

y

? ? o
x0

?
x

?
x0

o

x
(是极值点情形)

y

? ?

y

? ?

o

x0

x

o

x0

x
(不是极值点情形)

求极值的步骤:
(1) 求导数 f ?( x );
(2) 求驻点: 方程 f ?( x ) ? 0 的根 和使f ?( x )不存在的点 ;

(3) 检查 f ?( x ) 在驻点左右的正负号 , 判断极值点 ;

(4) 求极值.

例 1．求函数 f

2 ( x ) ? ( x ?1)? x 3

的极值点和极值。

解：函数 f ( x ) 的定义域为( ? ?, ? ? ) ，
2 5 x?2 2 ?1 f ?( x )? x 3 ( x ?1)? x 3 ? , 1 3 3x 3

2 令 f ?( x )? 0 ，得驻点x ? ；当 x ? 0 时， f ?( x ) 不存在。 5

列表讨论如下：

x
f ?( x )

( ? ?, 0)

0

?
↗

2 ( 0, ) 5

不存在
极大值

?

2 5
0
极小值 2 f( ) 5

2 ( , ? ?) 5

?
↗

f ( x)

↘

f ( 0)

2 ∴ x ? 0 为极大点，x ? 为极小点； 5

2 33 极大值为 f (0)? 0 ，极小值为 f ( )? ? 20 。 5 25

4．定理 4（极值存在的充分条件二）
设 f ( x ) 在点 x? 二阶可导，且 f ?( x? )? 0 ，f ??( x? )? 0 ，则

（1）当 f ??( x? )? 0 时， x? 是 极小点；
（2）当 f ??( x? )? 0 时， x? 是 极大点。

证明：设 f ??( x? )? 0 ，又 f ?( x? )? 0 ，

f ?( x )? f ?( x? ) f ?( x ) f ??( x? )? lim ? lim ? 0, x ? x? x? x? x? x? x ? x?

f ?( x ) ?0 ， 由极限的保号性知，在 N ( x? ,? ) 内有 x ? x?
?

故当 x?( x? ? ?, x? ) 时， f ?( x )? 0 ，
当 x?( x? , x? ? ? ) 时， f ?( x )? 0 ，

从而 x? 是 函数 f ( x ) 的极小点；
类似可证 f ??( x? )? 0 时，x? 是 极大点。

例 2．求函数 y ? sinx ? cosx 在[0，2?]上的极值。
解： 函数的定义域为[0，2?]，

f ?( x )? cosx ? si nx ， f ??( x )? ?sinx ? cosx ，
令 f ?( x )? 0 ， cos x ? sin x ? 0 ， tan x ? 1.
? 5? 得驻点为 x1 ? ， x2 ? 。 4 4 ? ∵ f ??( )? ? 2 ? 0 ， 4 ? ? ∴ x ? 是极大点， f ( )? 2 是极大值。 4 4
5? )? 2 ? 0 ， 4 5? 5? ∴ x? 是极小点， f ( )? ? 2 是极小值。 4 4 ∵ f ??(