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高中数学人教版必修一《2.1.2指数函数及其性质(第一课时)》课件


2.1.2

指数函数及其性质

情景引入
引题1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2 个分裂成4个…… 1个这样的细胞分裂x次后, 得到的细胞个数与x的关系式是什么?

情景引入
分裂 次数 1次 2次 3次 4次 x次
学科网

……

y ? 2x

细胞 总数

2个 21

4个 22

8个 23

16个 24

2

x

想一 想

一尺之锤,日取其半,万世不竭! -------庄子

情景引入
引题2:一把长为1的尺子第一次截去它的一半, 第二次截去剩余部分的一半,第三次截去第 二次剩余部分的一半,依次截下去,问截的 次数与剩下的尺子长度之间的关系.
学科网

情景引入
截取 次数 1次 2次 3次 4次 x次

1 x y?( ) 2

木棰 剩余

1 尺 2

1 尺 4

1 尺 8

1 尺 16

1 x ( ) 尺 2

情景引入

y?2

x

1 x y?( ) 2

思考: 以上两个函数有何共同特征?

(1)均为幂的形式;
(2)底数是一个正的常数; (3) 自变量x在指数位置.

y?a

x

指数函数的概念 函数y = ax(a?0,且a ?1)叫做指数 函数,其中x是自变量 .组卷网

思考:为何规定a>0且a≠1?
当a?0时,ax有些会没有意义; 如:(?2) ,0
? 1 2 ? 1 2

当a=1时,函数值y恒等于1,没有研究价值.

例题讲解 例1 下列函数是否是指数函数
(1) y ? 1.073 ;
x

(2) y ? 3 ;(3) y ? ? ? 1;
?x x

(4) y ? 4

? x ?3

;(5) y ? b ;
x x

(6) y ? (?4) ;(7) y ? ?4 ;
x

1 ? ? (9) y ? (2a ? 1) ? a ? 且a ? 1? 2 ? ?
x

课堂练习
函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.
a2-3a+3=1 a>0且a≠1 ∴a=2 a=1或a=2 a>0且a≠1

指数函数的图像

用描点法画出指数函数组卷网
1 x 1 x y=2 ,y=3 和 y ? ( ) , y ? ( ) 2 3
x x

的图象。

用描点法作函数 y ? 2 和y ? 3 的图象 .
x x

函 数 图 象 特 征

x
y=2x




-3
1/8

-2
1/4

-1
1/2

0
1

1
2

2
4

3
8




y=3x

… 1/27

1/9

1/3
x

1

3
x

9

27



yy ? 3

y?2

1
-3 -2 -1

o

1

2

3

x

1 x 1 x 用描点法作函数 y ? ( ) 和y ? ( ) 的图象 . 2 3

函 数 图 象 特 征

x

… -3

-2 4 9
1 x y?( ) 3

-1 2 3 y

0 1 1

1

2

3



y=2-x … 8 y=3-x … 27
1 x y?( ) 2

1/2 1/4 1/3 1/9

1/8 … 1/27 …

若不用描点法,这
两个函数的图象又该如

何作出呢?
1

y=1
X

O

y

?1? y?? ? ? 2?

x

?1? y?? ? ? 3?

x

y?3

x

y ? 2x
底数互为倒 数的两个指 数函数图象:

1

关于y轴对称
1

0

x

y

y

y

?1? y?? ? ? 2?

x

y ? ax
(a ? 1)

?1? y?? ? ? 3?

x

y ? 3x

y ? 2x

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1 1

1 1

0

x

0

0 x

x

● 图象共同特征: ◆图象可向左、右两方无限伸展
y

◆图象都在x 轴上方 ◆都经过坐标为(0,1)的点
y ? ax
(a ? 1)

y

y ? ax
(0 ? a ? 1)

1 ◆ 0

a>1时,图象 自左至右逐渐上升
x

◆ 0<a<1时,图象 自左至右逐渐下降

1 0
x

向上无限伸展,向下与x 轴无限接近

当 x > 0 时,y > 1. y

a> 1
y=1
x

0< a< 1
y

当 x < 0 时,. 0< y < 1

图象

(0,1)

y=1
O

(0,1)
x

O

定义域 值域 定点 奇偶性 单调性 函数值 分布

当 x < 0 时,y > 1; R 当+ x> (0, ∞0 ) 时, 0< y < 1。 (0,1) 非奇非偶函数

在R上是增函数
>1 (x>0)

在R上是减函数
<1 (x>0)

ax

=1 (x=0) <1 (x<0)

ax

=1 (x=0)
>1 (x<0)

普通高中课程标准实验教科书· 人教A版数学必修一(2.1.2)

左右无限上冲天, 永与横轴不沾边.

大 1 增,小 1 减, 图象恒过(0,1)点.

例题讲解
例2 已知指数函数f(x)的图象经过点(3,π),
求f(0)、f(1)、f(-3)的值. 分析:指数函数的图象经过点 有 f ?3? ? ? , 1 3 3 即 a ? ? ,解得 a ? ? x 于是有 f ? x ? ? ? 3
所以:
0 1 3 3

?3,? ?


想一 想

1 f ?0? ? π ? 1,f ?1? ? π ? π ,f ?? 3? ? π ? . π
?1

思考:确定一个指数函数 需要什么条件?

例题讲解 例3 比较下列各题中两个值的大小:
(1) 1.72.5, 1.73 ;

(2) 0.7-0.1, 0.6-0.1 ;
(3) 1.70.3, 0.93.1;

方法总结
比较指数大小的方法
①构造函数法:要点是利用函数的单调性,数 的特征是同底不同指(包括可以化为同底的), 若底数是参变量要注意分类讨论。 ②搭桥比较法:用别的数如0或1做桥。数的特 征是不同底不同指。

课堂练习
?3? ?4? ?3? 1.将a = ? ? , b = ? ? ,c = ? ? , ?4? ?3? ?2? 用“?”号连接起来。
1 3 1 4 3 4

课堂练习
2.如图所示,当0<a<1时,函数y=ax和y=(a-1)x2 的图象只可能是( )
y y y y

x

x

x

x

A

B

C

D


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