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上海市黄浦区2013年高考一模数学(文科)试题


黄浦区 2012 学年度第一学期高三年级期终考试 数学试卷(文科) (一模) 2013
年 1 月 17 日

考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷 上的解答一律无效; 2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚; 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大 题满分 56 分) 本大题共有 14 题,考生应在答题卷的相应编号的空格内直 接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为 . . .
[来源:Z&xx&k.Com] [来源:学|科|网]

2.已知集合 A ? {x | 0 ? x ? 3} , B ? {x | x2 ? 4} ,则 A ? B ? 3.若 z ? (1 ? 2i)(a ? i) ( i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a 的值为 4.若数列 {an } 的通项公式为 an ? n ? 3 (n ? N*) ,则 lim 5.若双曲线

an?1 ? an?2 ? n→? 4n



x2 y 2 ? ? 1(b ? 0) 的一条渐近线过点 P(1, 2),则 b 的值为_________. 4 b2
1 1 , tan(? ? ? ) ? ? ,则 tan( ? ? 2? ) 的值为 2 3

开始 输入 p n←1,S←0

6.已知 tan ? =

7.已知直线 l1 : x ? ay ? 2 ? 0 和 l2 : (a ? 2) x ? 3 y ? 6a ? 0 , 则 l1 ∥ l2 的充要条件是 a = .

1 8. ( x ? )9 的展开式中 x5 的系数是 x

S←S + 2n-1

(用数字作答) .
n←n+1

9.执行右边的程序框图,若 p ? 10 ,则输出的 S = 10.盒中装有形状、大小完全相同的 7 个球,其中红色球 4 个,黄色球 3 个.若从中随机取出 2 个球,则所取出的 2 个球颜色不同的概率等于 .





n<p
否 输出 S 结束

?log2 x ( x ? 0) 11.已知 f ( x) ? ? x ,且函数 F ( x) ? f ( x) ? x ? a 有且仅有 ( x ? 0) ?3

(第 9 题图)

两个零点,则实数 a 的取

值范围是



12.已知函数 f ( x) ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )满足 f (2) ? f (3) ,若 f ?1 ( x) 是 f ( x) 的反函数,则关 于 x 的不等式 f ?1 (1 ? x) ? 1的解集是 .

13. 已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 上一点 M (1, m) (m>0)到其焦点 F 的距离为 5, 该抛物线的顶 点在直线 MF 上的射影为点 P,则点 P 的坐标为 .

14.已知命题“若 f ( x) ? m2 x2 , g ( x) ? mx2 ? 2m ,则集合 {x | f ( x) ? g ( x),
[来源:学科网]

1 ? x ?1 } ? ? ” 2

是假命题,则实数 m 的取值范围是



二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分.
??? ???? ? ???? ???? BD 15.在四边形 ABCD 中, AB ? DC ,且 AC · =0,则四边形 ABCD 是

( D.等腰梯形 ( D. 2 2 ? 1



A.菱形

B.矩形

C.直角梯形

16.已知 z ? 1 且 z ? C,则 | z ? 2 ? 2i | (i 为虚数单位)的最小值是 A. 2 2 B. 2 C. 2 2 ? 1



? a1 17. 若矩阵 ? ? b1

a2 b2

a3 b3

a4 ? ① ? 满足下列条件: 每行中的四个数所构成的集合均为 {1, 2,3, 4} ; b4 ?
( )

② 四列中有且只有两列的上下两数是相同的.则这样的不同矩阵的个数为 A.24 B.48 C.144 D.288

18.若 f ( x) 是 R 上的奇函数,且 f ( x) 在 [0, ??) 上单调递增,则下列结论:①y ?| f ( x) | 是 偶函数;② 对任意的 x ? R 都有 f (? x)? | f ( x) |? 0 ;③ y ? f (? x) 在 (??,0] 上单 调递增; ④ y ? f ( x) f (? x) 在 (??,0] 上单调递增.其中正确结论的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 ( )

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必 须在答题卷相应的编号 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图所示,在棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, E , F 分别为线段 DD1 , BD 的
D1 A1 E B1 C1

D

C

中点. (1)求三棱锥 E ? ADF 的体积; (2)求异面直线 EF 与 BC 所成的角.

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 在△ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 A, B, C 成等差数列. (1)若 AB ? BC ? ?3 ,且 b ? 3 2 ,求 a ? c 的值; (2)若 M ?

??? ??? ? ?

3 sin A ,求 M 的取值范围. 1 cos A

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分.
K]

[来源:学。科。网 Z。X。X。

如图所示, ABCD 是一个矩形花坛,其中 AB= 6 米,AD = 4 米.现将矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN ,要求:B 在 AM 上,D 在 AN 上,对角线 MN 过 C 点, 且矩形 AMPN 的面积小于 150 平方米. (1) AN 长为 x 米, 设 矩形 AMPN 的面积为 S 平方米, 试用解析式将 S 表示成 x 的函数, 并写出该函数的定义域; (2)当 AN 的长度是多少时,矩形 AMPN 的面积最小?并求最小面积.
N P

D

C

A

B

M

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 给定椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,称圆心在原点 O、半径是 a2 ? b2 的圆为椭圆 C a 2 b2

的 “准圆” .已知椭圆 C 的一个焦点 为 F ( 2,0) ,其短轴的一个端点到点 F 的距离为 3 . (1)求椭圆 C 和其“准圆”的方程; (2)过椭圆 C 的“准圆”与 y 轴正半轴的交点 P 作直线 l1 , l2 ,使得 l1 , l2 与椭圆 C 都只有 一个交点,求 l1 , l2 的方程; (3)若点 A 是椭圆 C 的“准圆”与 x 轴正半轴的交点, B, D 是椭圆 C 上的两相异点, ??? ???? ? 且 BD ? x 轴,求 AB ? AD 的取值范围.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分. 对于函数 y ? f ( x) 与常数 a , b ,若 f (2 x) ? af (x) ?b 恒成立,则称 ( a, b) 为函数 f (x) 的 一个“P 数对” .设函数 f (x) 的定义域为 R ? ,且 f (1) ? 3 . (1)若 (1,1) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,求 f (210 ) ; (2)若 (?2,0) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,且当 x ?[1,2) 时 f ( x) ? k (2 ? x) ,求 f ( x) 在区 间 [1,22n ) (n ? N*) 上的最大值与最小值; (3)若 f ( x) 是增函数,且 (2, ?2) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,试比较下列各组中两个式 子的大小,并说明理由. ① f (2? n ) 与 2 ? n ? 2 (n ? N*) ;② f ( x) 与 2 x ? 2 ( x ? (2? n ,21?n ], n ? N*) .

黄浦区 2012 学年度第一学期高三年级期终考试

数学试卷(文科)参考答案
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题卷相应编号的空格内 直 接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1. ? ; 2. (2,3) ; 9.81; 10. 3.2; 11. (??,1] 4.

1 ; 5.4 2

6. ?1;

7.3;

8.36; 14. (?7,0) .

4 ; 7

12. (1 ? a,1) ; 13. (

64 48 , ); 25 25

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在 答题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.A 16.D 17.C 18.B

三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号 规定区域内 写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, ∵ F 是 AC 的中点, ∴ S?CDF ?
D1 A1 E B1 C1

1 1 S?ADC ? ? 2 ? 1 , 2 2 1 3 1 3

??????3 分

又 CE ? 平面 ABCD ,即 CE ? 平面 CDF , 故 VE ?CDF ? S?CDF ? CE ? ?1?1 ?

1 , 3
A

D F B

C

1 所以三棱锥 E ? ADF 的体积为 .??????6 分 3
(2)连 BD1 ,由 E 、 F 分别为线段 DD1 、 BD 的中点,

可得 EF ∥ BD1 ,故 ?D1 BC 即为异面直线 EF 与 BC 所成的角. ∵ BC ? 平面 CDD1C1 , CD1 ? 平面 CDD1C1 ,∴ BC ? CD1 , ? 在 Rt △ BCD1 中, BC ? 2 , D1C ? 2 2 , ∴ tan ?D1BC ?

??????? 8 分

D1C ? 2 ,∴ ?D1BC ? arctan 2 . BC
?????????? 12 分

所以异面直线 EF 与 BC 所成的角为 arctan 2 .

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)? A、B、C 成等差数列,∴ 2 B ? A ? C , 又 A ? B ? C ? ? ,∴ B ?

?

??? ??? ? ? 2? 由 AB ? BC ? ?3 得, c ? a cos ? ?3 ,∴ ac ? 6

3

, ①

??????????2 分 ?????????4 分

3

又由余弦定理得 b2 ? a2 ? c2 ? 2ac cos

?
3

,

∴ 18 ? a 2 ? c 2 ? ac ,∴ a 2 ? c 2 ? 24 由①、②得, a ? c ? 6 (2) M ?



?????????6 分

??????????????8 分

3 sin A ? 3 cos A ? sin A 1 cos A

? 2sin( ? A) 3
由(1)得 B ?

?

??????????????11 分

?

3 2? 2? ? ? ? 由C ? ? A ? 0 且 A ? 0 ,可得 0 ? A ? , 故? ? ? A? , 3 3 3 3 3
所以 2sin(

,∴ A ? C ?

2? , 3

?

3

? A) ? (? 3, 3) ,
??????????14 分

即 M 的取值范围为 (? 3, 3) .

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 6 分. 解: (1)由△NDC∽△NAM,可得 ∴

DN DC , ? NA AM

N

P

x?4 6 6x C ,即 AM ? ,????????3 分 D ? x AM x?4 6x2 故 S ? AN ? AM ? , ?????????5 分 A M B x?4 6x2 ? 150 且 x ? 4 ,可得 x 2 ? 25 x ? 100 ? 0 ,解得 5 ? x ? 20 , 由S ? x?4 6x2 故所求函数的解析式为 S ? ,定义域为 (5,20) . ?????????????8 分 x?4
(2)令 x ? 4 ? t ,则由 x ? (5,20) ,可得 t ? (1,16) ,

6 x2 6(t ? 4) 2 16 ? ? 6(t ? ? 8) ??????????10 分 x?4 t t 16 ? 6(2 t ? ? 8) ? 96 , ??????????12 分 t 16 当且仅当 t ? ,即 t ? 4 时 S ? 96 .又 4 ? (1,16) ,故当 t ? 4 时, S 取最小值 96. t
故S ? 故当 AN 的长为 8 时,矩形 AMPN 的面积最小,最小面积为 96 (平方米)????14 分 22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 解: (1)由题意知 c ? 2 ,且 a ? b2 ? c2 ? 3 ,可得 b ? 1 , x2 ? y 2 ? 1 , 其“准圆”方程为 x2 ? y 2 ? 4 . 故椭圆 C 的方程为 3

??????4 分

(2)由题意可得 P 点坐标为 (0, 2) ,设直线 l 过 P 且与椭圆 C 只有一个交点, 则直线 l 的方程可设为 y ? kx ? 2 ,将其代入椭圆方程可得 ??????6 分

x2 ? 3(kx ? 2)2 ? 3 ,即 (3k 2 ? 1) x2 ? 12kx ? 9 ? 0 ,
由 ? ? (12k )2 ? 36(3k 2 ? 1) ? 0 ,解得 k ? ?1 , ??????8 分

所以直线 l1 的方程为 y ? x ? 2 , l2 的方程为 y ? ? x ? 2 , 或直线 l1 的方程为 y ? ? x ? 2 , l2 的方程为 y ? x ? 2 .
xx§k.Com]

??????10 分

[来源:Z§

(3)由题意,可设 B(m, n), D(m, ?n) (? 3 ? m ? 3) ,则有 又 A 点坐标为 (2,0) ,故 AB ? (m ? 2, n), AD ? (m ? 2, ?n) , ??? ???? ? m2 ) 故 AB ? AD ? (m ? 2) 2 ? n 2 ? m 2 ? 4m ? 4 ? (1 ? 3

??? ?

????

m2 ? n2 ? 1, 3
??????12 分

4 4 3 ? m2 ? 4m ? 3 ? (m ? )2 , 3 3 2 4 3 2 又 ? 3 ? m ? 3 ,故 (m ? ) ?[0,7 ? 4 3) , 3 2 ??? ???? ? 所以 AB ? AD 的取值范围是 [0,7 ? 4 3) .

??????????14 分

??????????16 分

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 7 分,第 3 小题满分 8 分. 解: (1)由题意知 f (2 x) ? f ( x) ? 1 恒成立,令 x ? 2k (k ? N*) , 可得 f (2k ?1 ) ? f (2k ) ? 1 ,∴数列 { f (2k )} 是公差为 1 的等差数列, 故 f (210 ) ? f (20 ) ? 10 ,又 f (20 ) ? 3 ,故 f (210 ) ? 13 . ????????????3 分 (2)当 x ?[1,2) 时, f ( x) ? k (2 ? x) ,令 x ? 1 ,可得 f (1) ? k ,由 f (1) ? 3 可得 k ? 3 ,即 x ?[1,2) 时, f ( x) ? 3(2 ? x) , 可知 f ( x) 在 [1, 2) 上的取值范围是 (0,3] . 又 (?2,0) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,故 f (2 x) ? ?2 f ( x) 恒成立, 当 x ?[2k ?1 ,2k ) (k ? N*) 时, ?????????????4 分

x 2
k ?1

?[1,2) ,
?????????????6 分

x x x f ( x) ? ?2 f ( ) ? 4 f ( ) ? ? ? (?2)k ?1 f ( k ?1 ) , 2 4 2
故当 k 为奇数时, f ( x) 的取值范围是 (0,3 ? 2k ?1 ] ; 当 k 为偶数时, f ( x) 的取值范围是 [?3 ? 2k ?1 ,0) . 由此可得 f ( x) 在 [1,2 ) 上的最大值为 3 ? 2
2n
2 n? 2

???????????8 分

,最小值为 ?3 ? 22 n?1 .??????10 分

(3)由 (2, ?2) 是 f ( x) 的一个“P 数对” ,可知 f (2 x) ? 2 f ( x) ? 2 恒成立,

1 f (2 x) ? 1 恒成立, 2 1 1 1 1 令 x ? k (k ? N*) ,可得 f ( k ) ? f ( k ?1 ) ? 1, ???????12 分 2 2 2 2 1 1 1 1 即 f ( k ) ? 2 ? [ f ( k ?1 ) ? 2] (k ? N*) ,又 f ( 0 ) ? 2 ? f (1) ? 2 ? 1, 2 2 2 2 1 1 1 ∴ { f ( k ?1 ) ? 2} 是一个等比数列,∴ f ( n ) ? 2 ? 1? ( )n , 2 2 2
即 f ( x) ? 所以 f (2? n ) ? 2? n ? 2 . 当 x ? (2 ,2
?n 1? n

???? ?????????15 分

](n ? N*) 时,由 f ( x) 是增函数,故 f ( x) ? f (21?n ) ? 21?n ? 2 ,

又 2 x ? 2 ? 2 ? 2? n ? 2 ? 21? n ? 2 ,故有 f ( x) ? 2 x ? 2 . ?????????????18 分


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