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2011届高三数学下册综合验收试题3


2010—2011 学年度下学期高三二轮复习(理科)数学综合验收试题 (3) 【新人教】
第Ⅰ卷为选择题, 共 60 分; 第Ⅱ卷为非选择题共 90 分。 满分 100 分, 考试时间为 120 分钟。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符 合题目要

求的. 1 .定义集合运算: A ⊙ B= { z | z ? xy , x ∈ A , y∈ B } ,设集合 A= { ? 1 , 0 , 1 } , B={sin α,cos α} ,则集合 A⊙B 的所有元素之和为 ( )

A.1 2.如果复数
等于

B.0

C.—1

D. sin ? ? cos ?

2 ? bi (其中 i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部都互为相反数,那么 b 1 ? 2i
( )

A. 2

2 B. 3

2 C.— 3

D.2


3.若数列{an}满足 a1=5,an+1=

a 2 n ?1 a n + (n∈N+) ,则其{an}的前 10 项和为( 2 2an
C.150 D.200 ( B.周期函数,最小正周期为

A.50 B.100 4.设 f(x)=tan3x+|tan3x|,则 f(x)为 A.周期函数,最小正周期为



π 3
π 6

2π 3

C.周期函数,最小正周期为
2

D.非周期函数

5.命题 p : ?x ? R, x ? 5x ? 6 ? 0 ,则 A. ?p : ?x ? R, x ? 5x ? 6 ? 0
2

( B. ?p : ?x ? R, x ? 5x ? 6 ? 0
2



C. ?p : ?x ? R, x ? 5x ? 6 ? 0
2

D. ?p : ?x ? R, x ? 5x ? 6 ? 0
2

6.在样本的频率分布直方图中,一共有 m(m≥3)个小矩形,第 3 个小矩形的面积等于其 1 余 m-1 个小矩形面积和的 ,且样本容量为 100,则第 3 组的频数是 4 ( )

A.10 B.25 C.20 D.40 7.四面体的一个顶点为 A,从其它顶点与棱的中点中任取 3 个点,使它们和点 A 在同一平 面上,不同的取法有 ( )

A.30 种 B.33 种 C.36 种 8. 如图, 直三棱柱 ABB1 ? DCC1 中, ∠ABB1=90°, AB=4, BC=2, CC1=1,DC 上有一动点 P,则Δ APC1 周长的最小值为( ) A.5+ 21 C.4+ 21 B.5 ? D.4 ?

D.39 种

21 21


9.已知函数 f(x)= ,设 = ,若 ≤x1<0<x2<x3,则( A.a2<a3<a4 B.a1<a2<a3 C.a1<a3<a2 D.a3<a2<a1 10.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为( A.-1 B.0 C.1 D.3
11.已知函数 f(x)= ?

)

?2 ? x ? 1 ? f ( x ? 1)

( x ? 0) ( x ? 0)

,若方程 f(x)=x+a 有且 ( )

只有两个不相等的实数根,则实数 a 的取值范围是

0] A.(??, 1) C.(??,

B.[0,1]

??) D.[0,

12.过双曲线

x2 y2 ? ? 1 的右顶点 A 作斜率为 ? 1 的直线,该直线与双曲线的两条渐近 a2 b2
1 BC ,则双曲线的离心率是 2
( )

线的交点分别为 B.C.若 AB ?

A.

B.

C.

D.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分,把答案填在题中横线上。 13.已知(x x ?

1 n ) 的展开式中第二项与第 x3

三项的系数之和等于 27,则二项式展开式中 系数最大的项是第 项。 14.若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示, 则此几何体的体积是___________ cm
3

15.若点 p(m,3)到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离为 4, 且点 p 在不等式 2 x ? y <3 表示的平面区域内, 则 m= 。 16.若 RtΔ ABC 中两直角边为 a.b,斜边 c 上的高为 h,则

1 1 1 ? 2 ? 2 ,如图,在正方体的一角上截取三棱锥 2 h a b 1 1 1 1 ,N ? ? ? P 一 ABC,PO 为棱锥的高,记 M ? , 2 2 2 PO PA PB PC 2
那么 M.N 的大小关系是 。 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 12 分) 在 ?ABC ,角 A,B,C 的对边分别为 a, b, c, 若AB ? AC ? CA ? CB ? k (k ? R) 。 (1)判断 ?ABC 的形状; (2)若 k ? 1, 求b 的值。

??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

18. (本题满分 12 分) 四个纪念币 A.B.C.D,投掷时正面向上的概率如下表所示(0<a<1) 纪念币 概率 A 1/2 B 1/2 C a D a

这四个纪念币同时投掷一次,设ξ 表示出正面向上的个数。 (1)求概率 p(ξ ) (2)求在概率 p(ξ ),p(ξ =2)为最大时,a 的取值范围。 (3)求ξ 的数学期望。

19. (本题满分 12 分) D 平 面 在 如 图 所 示 的 空 间 几 何 体 中 , 平 面 A C ?

ABC ,

AB=BC=CA=DA=DC=BE=2,BE 和平面 ABC 所成的角为 60°,且点 E 在平面 ABC 上 的射影落在 ?ABC 的平分线上。 (1)求证:DE//平面 ABC; (2)求二面角 E—BC—A 的余弦值;

20. (本小题满分 12 分) 在数列 {an }中, a1 ? 1, an ?1 ? 1 ?

1 2 , bn ? , 其中n ? N * 。 4an 2an ? 1

(1)求证:数列 {bn } 是等差数列,并求数列 {an } 的通项公式 an ; (2)设 cn ? n ? 2n?1 ? an ,求数列 {cn } 的前 n 项和。

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率为

1 ,且椭圆 E 上一点到 2

两个焦点距离之和为 4; l1 , l2 是过点 P(0,2)且互相垂直的两条直线, l1 交 E 于 A, B 两点, l2 交 E 交 C,D 两点,AB,CD 的中点分别为 M,N。

(1)求椭圆 E 的方程; (2)求 l1的斜率 k 的取值范围; (3)求 OM ? ON 的取值范围。

???? ? ????

22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

x2 , g ( x) ? 2a ln x(e 为自然对数的底数) ; e

(1)求 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调区间,若 F ( x) 有最值,请求出最值; (2)是否存在正常数 a ,使 f ( x)与g ( x) 的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处 有共同的切线?若存在,求出 a 的值,以及公共点坐标和公切线方程;若不存在, 请说明理由。

参考答案
一、选择题 1.B;2.C;3.A;4.A;5.D;6.C;7.B;8.A;9.A;10.B;11.C;12.C; 二、填空题 13.5。14.144;15. ? 3 ;16.M=N。 三、解答题 17.解析: (1)? AB ? AC ? CA, AB ? AC ? cb cos A, CA ? CB ? ba cos C,

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ?

? bc cos A ? ab cos C ;…………4 分 根据正弦正理,得 sin C cos A ? sin A cos C 。
即 sin A cos C ? cos A sin C ? 0,? sin( A ? C ) ? 0 。…………6 分 (2)由(1)知 a ? c ,…………8 分

??? ? ???? b2 ? c 2 ? a 2 b2 ? ,…………10 分 ? 由余弦定理,得 AB ? AC ? bc cos A ? bc ? 2bc 2

??? ? ??? ? b2 ? AB ? AC ? k ? 1 ,? ? 1, 得b ? 2. …………12 分 2
18.解析: (1)p(ξ 个正面向上,4 一ξ 个背面向上的概率,其中ξ 可能取值为 0,1,2,3,4。
0 ∴p(ξ =0)= C 2 (1 一

1 2 0 1 ) C 2 (1 一 a)2= (1 一 a)2 2 4

1 p(ξ =1)= C 2

1 1 0 1 1 0 1 (1 一 ) C 2 (1 一 a)2+ C 2 (1 一 )2· a(1 一 a)= (1 一 a) C2 2 2 2 2 1 2 0 1 1 1 1 1 1 0 2 ) C 2 (1 一 a)2+ C 2 (1 一 ) C 2 a(1 一 a)+ C 2 (1 一 )2· a2= C2 2 2 2 2 4

2 p(ξ =2)= C 2 (

(1+2a 一 2 a2)

2 1 2 p(ξ =3)= C 2 )2 1 a(1 一 a)+ C 2 (1 一 ) C 2 a2= ( 2 C2 2 2 2

1

1

1

a

2 p(ξ =4)= C 2 (

1 2 2 2 1 2 ) C 2 a = a ……………………………………5 分 2 4

(2) ∵0<a<1,∴p(ξ =1) <p(ξ =1),p(ξ =4) <p(ξ =3) 则 p(ξ =2)一 p(ξ =1)=

1 1?a 2a 2 ? 4 a ? 1 (1+2a 一 2 a2)一 =- ≥0 4 2 4

?2 ? 2 2? 2 ?a? 2 ? ? 2 a ? 4 a ? 1 ? 0 ? ? 2 ?? 2 ? 2 ? ?? 2 ? a ? 2 ?2a ? 1 ? 0 ? 2 ? 2 由
2? 2 2 2? 2 2 ?a? , 2 2 ,即 a∈[ 2 2 ]
(3)由(1)知ξ 的数学期望为:

……………………9 分

1 1 1 a a2 2 2 Eξ =0× (1 一 a) +1× (1 一 a)+2× (1+2a 一 2a )+3× +4× =2a+1 2 4 4 2 4
………12 分 19.解析:方法一: (1)由题意知, ?ABC , ?ACD 都是边长为 2 的等边三角形, 取 AC 中点 O,连接 BO,DO, 则 BO ? AC , DO ? AC

? 平面 ACD ? 平面 ABC
? DO ? 平面 ABC,作 EF ? 平面 ABC,
那么 EF//DO,根据题意,点 F 落在 BO 上,

??EBF ? 60? ,易求得 EF ? DO ? 3
所以四边形 DEFO 是平行四边形,DE//OF; ? DE ? 平面 ABC, OF ? 平面 ABC, ? DE / / 平面 ABC…………6 分 (2)作 FG ? BC,垂足为 G,连接 FG; ? EF ? 平面 ABC,根据三垂线定理可知,EG ? BC ??EGF 就是二面角 E—BC—A 的平面角

? FG ? BF ? sin ?FBG ?

1 2

EF ? 3,? EG ? EF 2 ? FG 2 ?

13 2

? cos ?EGF ?

FG 13 ? EG 13 13 . …………12 分 13

即二面角 E—BC—A 的余弦值为

方法二: (1)同方法一 (2)建立如图所示的空间直角坐标系

O ? xyz ,
可求得平面 ABC 的一个法向量为 n1 (0,0,1) , 平面 BCE 的一个法向量为 n2 (?3, 3,1)

?? ?

?? ?

?? ? ?? ? ?? ? ?? ? n1 ? n2 13 ? ?? ? ? 所以 cos ? n1 , n2 ? ?? 13 | n1 | ? | n2 |
又由图知,所求二面角的平面角是锐角, 所以二面角 E—BC—A 的余弦值为 20.解析: (1) 证明:

13 ;…12 分 13

? bn?1 ? bn ?

2 2an?1 ? 1

?

2 2an ? 1

?

4an 2 2 2 ? ? ? ? 2(n ? N * ) 1 2an ? 1 2an ? 1 2an ? 1 2(1 ? ) ?1 4an

? 数列 {bn } 是等差数列…………3 分
? a1 ? 1,? b1 ? 2 2an ? 1 2 ? 2 ,?bn ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n 2a1 ? 1
n ?1 2 1 ? (n ? N * ) ,? an ? …………6 分 2n bn n

由 bn ?

得, 2an ? 1 ?

(2)由(1)的结论得 an ?

n ?1 ,? cn ? n ? 2n ?1 ? an ? (n ? 1) ? 2 n …………7 分 2n

? Sn ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? 4 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n ①…………8 分 2Sn ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? 4 ? 24 ? ? ? n ? 2n ? (n ? 1) ? 2n?1 ,②…………9 分

①一②,得 ?Sn ? 2 ? 21 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ? (n ? 1) ? 2n?1

? 2 ? 2n?1 ? 2 ? (n ? 1) ? 2n?1 ? ?n ? 2n?1, …………11 分

? Sn ? n ? 2n?1 …………12 分
21.解析: (1)设椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

?c 1 ?a ? 2 ?a ? 2 ? x2 y 2 ? ? ? 1 …………4 分 得? 由 ? 2a ? 4 ,? 椭圆方程为 4 3 ?b ? 3 ?a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? ?
(2)由题意知,直线 l1 的斜率存在且不为零。

? l1 : y ? kx ? 2,? l2 : y ? ?

1 x ? 2. k

? x2 y 2 ?1 ? ? 2 2 由? 4 消去 y 并化简整理,得 (3 ? 4k ) x ? 16kx ? 4 ? 0 3 ? y ? kx ? 2 ?
2 2 根据题意, ? ? (16k ) ? 16(3 ? 4k ) ? 0 ,解得 k ?
2

1 . 4

同理得 (? ) ?
2

1 k

1 2 1 1 1 , k ? 4,? ? k 2 ? 4, k ? (?2, ? ) ? ( , 2) …………9 分 4 4 2 2

(3)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) 那么 x1 ? x2 ? ?

x ? x2 16k 8k ,? x0 ? 1 ?? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 2

6 8k 6 ,? M (? , ) 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 3 ? 4k 2 1 8 8(? ) 6 6 k 同理得 N (? , ) ,即 N ( k , ) 1 2 1 2 4 4 3 ? 4(? ) 3 ? 4(? ) 3? 2 3? 2 k k k k 8 ???? ? ???? 8k 6 6 28 ……10 分 ? OM ? ON ? ? ? k ? ? ?? 2 2 4 3 ? 4k 4 1 3 ? 4k 2 3? 2 3 2 25 ? 12(k ? 2 ) k k k 1 1 17 ? ? k 2 ? 4,? 2 ? k 2 ? 2 ? 4 4 k y0 ? kx0 ? 2 ?

??

4 ?? 7

28 25 ? 12( k 2 ? 1 ) k2

??

7 19

即 OM ? ON 的取值范围是 [ ?

???? ? ????

4 7 , ? ] …………12 分 7 19

22.解析: (1) F ?( x) ? f ?( x) ? g ?( x) ? ①当 a ? 0时, F ?( x) ? 0 恒成立

2 x 2a 2( x3 ? ea) ? ? ( x ? 0) ……1 分 e x ex

, 没有最值…… F ( x)在(0, ??) 上是增函数,F ( x) F 只有一个单调递增区间(0,一∞) 3分 ②当 a ? 0 时, F ( x) ? 若0 ? x ? 若x?

2( x ? ea ( x ? ea ) ( x ? 0) , ex

ea ,则 F ?( x) ? 0, F ( x)在(0, ea ) 上单调递减;

ea ,则 F ?( x) ? 0, F ( x)在( ea , ??) 上单调递增,

?当x ? ea 时, F ( x) 有极小值,也是最小值,
即 F ( x)min ? F ( ea ) ? a ? 2a ln ea ? ?a ln a …………6 分 所以当 a ? 0 时, F ( x) 的单调递减区间为 (0, ea ) 单调递增区间为 ( ea , ??) ,最小值为 ? a ln a ,无最大值…………7 分 (2)方法一,若 f ( x ) 与 g ( x) 的图象有且只有一个公共点, 则方程 f ( x) ? g ( x) ? 0 有且只有一解, 所以函数 F ( x) 有且只有一个零点…………8 分 由(1)的结论可知 F ( x)min ? ?a ln a ? 0得a ? 1 …………10 分 此时, F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ?

x2 ? 2ln x ? 0 e

F ( x)min ? F ( e ) ? 0
? f ( e ) ? g ( e ) ? 1,? f ( x)与g ( x) 的图象的唯一公共点坐标为 ( e ,1)
又? f ?( e ) ? g ?( e ) ?

2 e

? f ( x)与g ( x) 的图象在点 ( e ,1) 处有共同的切线,
其方程为 y ? 1 ?

2 e

( x ? e ) ,即 y ?

2 e

x ? 1…………14 分

综上所述,存在 a ? 1 ,使 f ( x)与g ( x) 的图象有且只有一个公共点 ( e ,1) ,且在该点 处的公切线方程为 y ?

2 e

x ? 1. …………14 分

方法二:设 f ( x)与g(x)图象的公共点坐标为 ( x0 , y0 ) , 根据题意得 ?

? f ( x0 ) g ( x0 ) ? f ?( x0 ) g ?( x0 )
① ②

2 ? x0 ? ? 2a ln x0 ?e 即? ? 2 x0 ? 2a ? x0 ? e

由②得 a ?

2 x0 1 ,代入①得 ln x0 ? ,? x2 ? e 2 e

从而 a ? 1 …………10 分 此时由(1)可知 F ( x)min ? F ( e ) ? 0

?当x ? 0且x ? e 时, F ( x) ? 0,即f ( x) ? g ( x)
因此除 x0 ?

e 外,再没有其它 x0 ,使 f ( x0 ) ? g ( x0 ) …………13 分

故存在 a ? 1 ,使 f ( x)与g ( x) 的图象有且只有一个公共点,且在该公共点处有共同的 切线,易求得公共点坐标为 ( e ,1) ,公切线方程为 y ?

2 e

x ? 1…………14 分


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