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河北省定兴第三中学2015-2016学年高一数学下学期期中试题


高一期中考试数学试题
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分. 共 120 分. 考试时间 120 分 钟. 第I卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分
王新敞
奎屯 新疆

1.已知等差数列 ?an ? 中, a7 ? a9 ? 4 ,则 a8 的值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4

2.等比数列 ?an ? 的公比为 2,且 a3a11 ? 16 ,则 a5 =( A.1 B.-1 C. ?1 D. ?2



3.在各项为正数的等比数列 ?a n ? 中,a1 ? 3 ,前三项的 和 S3 ? 21 ,则 a3 ? a4 ? a5 的值为 A.33 B.72 C.84 D.189

4.在空间,已知 a,b 是直线,α ,β 是平面,且 a? α ,b? β ,α ∥β ,则直线 a,b 的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 5.在△ABC 中,sin Asin C>cos Acos C,则△ABC 一定是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 6.已知数列 ?a n ?是等 差数列, ?bn ? 是正项等比数列,且 a5 ? b6 ,则一定有( A. a3 ? a7 ? b4 ? b8 C. a3 ? a7 ? b4 ? b8 B. a3 ? a7 ? b4 ? b8 D. a3 ? a7 ? b4 ? b8 )

7.在 ?ABC 中,若 b ? 2, A ? 120? ,三角形的面积 S ? 3 ,则三角形外接圆的半径为 A. 3 B.2 C. 2 3 D.4
2 2

8.在 ?ABC 中,三内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,面积为 S,若 S ? a ? (b ? c) , 则 cos A ? ( A. ) B. ?

4 5

4 5

C.

15 17

D. ?

15 17
1

9.某几何体的主 视图与俯视图如图所示,左视图与主视图相同,且图中的四边形都是边 长为 2 的正方形,两条虚线互相垂直,则该几何体的体积是( )

A.

20 3

B.

C.6

D.4

10.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体 的体积为( )

A.18

B.9

C.36

D.24

11. 已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 ,且 a1 , a3 , a13 成等比数列,若 a1 ? 1 , Sn 为数列

?an ? 的前 n 项和,则
A. 4 B. 3

2 S n ? 16 的最小值为( an ? 3
C. 2 3 ? 2



D.

9 2

12. 如果棱台的两底面积分别是 S,S′,中截面的面积是 S0,那么 A. 2 S0 ?

S ? S?

B.S0= S ?S

C.2 S0=S+S′

D. S 0 ? 2S ?S
2

2

第 II 卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上 13.若 x>1,则 x ? 14.不等式

1 的最小值是 x ?1




2x ? 1 的解集为 x ?1
? ?

15 .如图所示,为测一建筑物的高度,在地面上选取 ? , ? 两点,从 ? , ? 两点分别测 得建筑物顶端的仰角为 30 , 45 ,且 ? , ? 两点间的距离为 60 m ,则该建筑物的高度 为__________

16. 已 知 数 列 {an } 前 n 项 和 满 足 S n ? S n?1 ?

Sn ? Sn?1 (n ? 2) , a1 ? 1 , 则

an ?

______

三、解答题:本大题共 5 小题,共 52 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(10 分)已知 a , b, c 分别为 ?ABC 内角 A、B、C 的对边, sin B ? 2sin A sinC.
2

(1)若 a ? b ,求 cos B ; (2)设 B ? 90 ,且 ?ABC 的面积为 1,求 a .
?

18.(10 分).数列 ?an ? 是等差数列, a1 ? f ? x ?1? , a2 ? 0, a3 ? f ? x ?1? , 其中

f ? x ? ? x2 ? 4x ? 2 ,求通项公式 an .
19.(10)如图,多面体 AEDBFC 的直观图及三视图如图所示, M , N 分别为 AF, BC 的 中点. (1)求证: MN // 平面 CDEF ; (2)求多面体 A ? CDEF 的体积.

3

D

C

2

2

2

E M A
直观图

N

F
正视图 2 侧视图

B

2

2 俯视图

20.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? (1)设 bn ?

1 , 4an ?1 ?1 ? an ? ? 1. 4

1 2an ? 1

,求证数 列 ?bn ? 为等差数列;

(2)求证:

a a2 a3 a4 ? ? ? ? ? n?1 ? n ? 1 . a1 a2 a3 an

21.(12 分)如图,矩形 ABCD 的内接 Rt△FHE, (H 是直角顶点) ,H 是 AB 的中点,E,F 分别落在线段 BC,AD 上.已知 AB=2, AD ? 3 ,记∠BHE=θ . (1)试将 Rt△FHE 的周长 L 表示为 θ 的函数, 并写出定义域 ; (2)当 θ 取何值时,Rt△FHE 的周长 L 取最大值,并求出此时周长 L.

4

参考答案 一.选择题 BCCDD 二填空题 1 ABDAC AA

3.3; 14. ? ?1,1? ;15. 30

?

3 ? 1 ;16. 2n ? 1

?

三解答题

17解:在?ABC中由正弦定理得 b2 ? 2ac; ?a ? b ? a : b : c ? 2 : 2 :1 cos B ? a 2 ? c2 ? b2 1 ? ; 2ac 4

? 2 ? ? B ? 90?
? b 2 ? a 2 ? c 2 ; 又 b 2 ? 2ac ? 2ac ? a 2 ? c 2 1 ? a ? c; 又 ac ? 1 2 ? a ? 2.
2 ? ?a1 ? ? x ? 1? ? 4 ? x ? 1? ? 2 18.解: ? 2 ? ?a 3 ? ? x ? 1? ? 4 ? x ? 1? ? 2 ??an ? 为等差数列

? 2a2 ? a1 ? a3 ? ? x ? 1? ? 4 ? x ? 1? ? 2 ? ? x ? 1? ? 4 ? x ? 1? ? 2 ? 0
2 2

? x2 ? 4x ? 3 ? 0 ? x1 ? 1; x2 ? 3. ?a ? 2 ?a ? 2 当? 1 时an ? ?2n ? 4; ? 3 时an ? 2n ? 4. ?a2 ? 0 ?a2 ? 0 19.(1)证明:由多面体 AEDBFC 的三视图知,三棱柱 AED ? BFC 中,底面 DAE 是等
腰 直角三 角形, DA ? AE ? 2 , DA ? 平面 ABEF,侧面 ABFE, ABCD 都是边长为 2 的
5

正方形.连结 EB ,则 M 是 EB 的中点, 在△ EBC 中, MN // EC , 且 EC ? 平面 CDEF , MN ? 平面 CDEF , ∴ MN ∥平面 CDEF . 6分
D C

H N E M A B F

(2)

1 1 8 多面体 A ? CDEF 的体积 V ? S ABEF ? DE ? DE ? EF ? AB ? . 3 3 3

20.解:当n ? N ? b n ?1 ? bn ? 1 2an +1 ? 1 2an ? 1 ? 1 ? 2an ? 2an +1 4an ?1an ? 2an ? 2an?1 ? 1

? 4an ?1 ?1 ? an ? ? 1 ? b n ?1 ? bn ?

2an ? 2an +1 ? ?1. 4an ?1an ? 2an ? 2an ?1 ? 4an ?1 ?1 ? an ?

??bn ? 为等差数列,公差为-1,首项为 ? 2.
(2) ? 1 2an ? 1 ? ?1 ? n

? an ? ?

n ? n ? 1?

an ?1 n ? 1 n ? 1 1 1?1 1 ? ? ? ? 1? ? 1? ? ? ? an n?2 n 2?n n?2? ? n ? 2? n

a a2 a3 a4 ? ? ? ? ? n ?1 a1 a2 a3 an 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? ?1 ? n ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? 2 ?? 1 3 ? ? 2 4 ? ? 3 5 ? ? n n ? 2 ?? 1? 1 1 1 ? ? n ? ?1 ? ? ? ? ? n ?1 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ?
6

1 1 1 , FH ? , EF ? EH 2 ? FH 2 ? . cos ? sin ? sin ? cos ? 1 ? 3, 由于 BE ? tan ? ? 3, AF ? tan ?
21.解: (1) EH ? 所以 所以

3 ? tan ? ? 3 , 3


所以 L ?

1 1 1 ?? ? ? ? ? ,? ? ? , ? . cos ? sin ? sin ? cos ? ?6 3?
sin ? ? cos ? ? 1 , sin ? cos ?

(2) L ?

设 sin ? ? cos ? ? t ,则 sin ? cos ? ? 所以 L ? 所以 所以当 即 或

t 2 ?1 , 2
, .

2 .由于 t ?1

时,

L 取得最大值 2 3 ? 2 .

7


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