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uyuyuutyu高一数学(人教A版)必修4能力提升:2-3-1 平面向量基本定理


能 力 提 升 一、选择题 → → → 1.在四边形 ABCD 中,AB=a+2b,BC=-4a-b,CD=-5a -3b,其中 a、b 不共线,则四边形 ABCD 为( A.平行四边形 C.梯形 [答案] C [解析] → → → → ∵ AD =AB +BC+CD = a+2b-4a- b-5a-3b=-8a B.矩形 D.菱形 )

→ → → -2b=

2(-4a-b)=2BC,即AD=2BC, ∴AD∥BC 且 AD≠BC,故选 C. → → 2.已知OA=a,OB=b,C 为线段 AB 上距 A 较近的一个三等分 → 点,D 为线段 CB 上距 C 较近的一个三等分点,则用 a、b 表示OD为 ( )

1 A.9(4a+5b) 1 B.16(9a+7b) 1 C.3(2a+b)

1 D.4(3a+b) [答案] A [ 解析 ] 求解. → → → → → → ∵OD=OA+AD,AD=AC+CD 1→ 1→ 1→ 2→ 5→ =3AB+3CB=3AB+9AB=9AB. → → 5 5 而AB=b-a,∴AD=9b-9a, → → → 5 5 4 5 ∴OD=OA+AD=a+(9b-9a)=9a+9b. 3.如图所示,在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E → → 是线段 OD 的中点,AE 的延长线与 CD 交于点 F.若AC=a,BD=b, → 则AF=( ) 利用向量加法和减法的几何意义和平面向量基本定理

1 1 A.4a+2b 1 1 C.2a+4b [答案] D

1 2 B.3a+3b 2 1 D.3a+3b

→ → → 2→ 1 2 1 [解析] ∵AF=AC+CF=a+3CD=a+3(b-a)=3a+3b. → → → → 4.已知△ABC 中,点 D 在 BC 边上,且CD=2DB,CD=rAB+ → sAC,则 r+s 的值是( 2 A.3 C.-3 [答案] D ) 4 B.3 D.0

→ 2→ [解析] ∵CD=3CB 2 → → =3(AB-AC) 2 2 ∴r=3 s=-3 ∴r+s=0. 5.(09· 全国Ⅰ文)设非零向量 a、b、c 满足|a|=|b|=|c|,a+b=c, 则 a 与 b 的夹角为( A.150° C.60° [答案] B ) B.120° D.30°

[解析] ∵|a|=|b|=|c|≠0,且 a+b=c ∴如图所示就是符合题设条件的向量,易知 OACB 是菱形,△ OBC 和△OAC 都是等边三角形. ∴a 与 b 的夹角为 120° .

6.(2011~2012· 合肥市)如图,△ABC 中,AD=DB,AE=EC, → → → CD 与 BE 交于 F,设AB=a,AC=b,AF=xa+yb,则(x,y)为( )

?1 1? A.?2,2? ? ? ?1 1? C.?3,3? ? ?

?2 2? B.?3,3? ? ? ?2 1? D.?3,2? ? ?

[答案] C → → → → [解析] 设CF=λCD, ∵E、 D 分别为 AC、 AB 的中点, ∴BE=BA → 1 +AE=-a+2b,

→ → → 1 BF=BC+CF=(b-a)+λ(2a-b)
?1 ? =?2λ-1?a+(1-λ)b, ? ?

1 → → 2λ-1 1-λ 2 ∵BE与BF共线,∴ = 1 ,∴λ=3, -1 2 → → → ? 2→ 2?1 ∴AF=AC+CF=b+3CD=b+3?2a-b?
? ?

1 1 1 1 =3a+3b,故 x=3,y=3. 二、填空题 3 7.向量 a 与 b 的夹角为 25° ,则 2a 与-2b 的夹角 θ=________. [答案] 155° → → [解析] 作OA=a,OB=b,则∠AOB=25° ,如图所示.

→ 延长 OA 到 C,使 OA=AC,则OC=2a. → 3 3 延长 BO 到 D,使 OD=2BO,则OD=-2b. 则 θ=∠DOA,又∠DOA+∠AOB=180° ,则∠DOA=180° -25° =155° ,则 θ=155° . 5 8.已知 e1、e2 是两个不共线的向量,而 a=k2e1+(1-2k)e2 与 b =2e1+3e2 是两个共线向量,则实数 k=________.

1 [答案] -2 或3 5 1-2k k [解析] 由题设知 2 = 3 ,∴3k2+5k-2=0.
2

1 解得 k=-2 或3. 9.已知向量 a 和向量 b 不共线,且 m+n=a,m-n=b,则 m =________,n=________.(用 a、b 表示) [答案] a+b a-b 2 2

? ?m+n=a, [解析] 解方程组? ?m-n=b, ?

a+b a-b 得 m= 2 ,n= 2 三、解答题

10.如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,且 AB=2CD,M、N 分别 → → → → → 是 DC 和 AB 的中点, 若AB=a, AD=b, 试用 a、 b 表示DC、 BC, MN. [解析] 如图所示,连接 CN,则四边形 ANCD 是平行四边形.


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