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对数函数图象与性质


复习旧知:

对数函数的定义:
函数

y ? loga x (a ? 0且a ? 1) ,

叫做对数函数;其中X是自变量,函 数的定义域是(0,+ ∞ )

判断是不是对数函数

x (×) (1) y ? log 5 5 (2) y ? log2 ( x ? 2)(×) (×) (3) y ? 2 log5 x (4) y ? log2 x x(×)

哈哈 ,我们都不是对数函数

你答对了吗???

(5) y ? log?5 x 1 (6) y ? log5 x (7) y ? logx 5

(×) (×) (×)

例1.求下列函数的定义域:


y=logax2
2

② y=loga(4-x)
② ?4 ? x ? 0

解: ①? x

?x ? 0

?0

?x ? 4
∴定义域是{x |x<4 }

∴定义域是{x|x≠0}

新课讲解:
对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 的图 象与性质 (1)画出函数 y ? log 2 x 的图象

①列表
方法一:描点法 ②描点 ③连线

对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 的图 象与性质

列 表 描 点
连 线

X y=log2x
y 2 1 0 -1 -2
11 42

1/4 1/2 -2 -1

1 0

2 1

4 2

… …

y=log2x
1 2 3 4 x

方法二:画出函数 y ? 2 的图象,再转换成 的图象 2
x

y ? log x
x …

-2

-1

0

1

2

4



y=2x



1/4
1/4

1/2 1
1/2 1

2
2

4
4

16
16



x y=log2x

… …

… …

-2

-1

0

11

2

4

关系:二者的变量x,y的值互换。

探究:函数 y ? 2 与
x

y ? log2 x的图像关系
y=x
(2)底数相同, 指数函数与 对数函数互 为反函数

y?2
y 2

x

A●
● ●

B1
0 -1 -2

A*
3 4

y ? log2 x
x

11 42



1

2

B*

结论(1):图象关于直线y=x对称。

探究:函数

1 x y y ?( ) 与 2

? log 1 x 的图像关系
2

1 x y ? ( ) 2

y=x

y 2

结论:图象关于直线y=x对称。
B1
0 -1 -2


11 42

● 1

2

3

4

x

B*

y ? log 1 x
2

(2):函数 y ? (

1 x ) 与 y ? log 1 x 2 2

互为反函数。

数底数相同时指与对数图象
①底数相同时,指数函数 y ? a 与对 数函数 y ? log a x (a>0,a≠1)互为反函数,且 图象关于直线y=x对称
x

②对数函数 y ? log a x 的图象可以由指数 函数 y ? a x 经过变换得到

猜猜 对数函数 y :
2 1 0 -1 -2

y ? log3 x和y ? log1 x的图象。
3 y ? log2 x

y ? log3 x
11 42

1

2

3

4

x

y ? log1 x
y ? l og1 x
2

3

y ? log2 x
y ? log1 x

y ? log a x与y ? log 1 x关于x轴对称
-2 -1
a

x

1/4 1/2

1

2

4

0

1

2

2 (a2? 0且a ? 1)

1

0

-1

-2

做做:由下面对数函数的图像判断底数a,b,c,d的大小
y

logc x log x d
1

loga x logb x

o

C d 1

a

b

x

0< c< d < 1< a < b

比比 函数值相同时,底数不同,真数大小的比较 :
y

y ? log2 x

2 1 0 -1 -2
2

y ? log3 x
11 42

1

2

3

4

x

y ? log 1 x
3

y ? l og1 x

对数函数在第一象限越靠近y轴底数越小
1 3

?

1 2

?1 ? 2

?3

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质 y y
2
2 1 0 -1 -2 1

1

2

3

4

x

0 -1

1

2

3

4

x

-2

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 : R

定义域 : ( 0,+∞)
值 域 : R

定点(1,0)
在(0,+∞)上是: 减函数

定点(1,0)
增函数 在(0,+∞)上是:

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质 y y
2
2 1 0 -1 -2 1

1

2

3

4

x

0 -1

1

2

3

4

x

-2

底数:0<a<1

底数:a>1 真 数 负 ,0<x<1

正 ,0<x<1
y= 负 ,x>1

y=

正 ,x>1

真 数

底真同为正,底真异为负。

2.对数函数的图象和性质
a>1
图 象
y
x =1
y ? loga x (a ? 1)

我很重要

0<a<1
y
X
x =1

(1,0)
O

O
定义域 值域

(1,0)

y ? loga x (0 ? a ? 1)

X

(0,+?) R 过点(1,0) 在(0,+?)上是增函数

(0,+?) R 过点(1,0) 在(0,+?)上是减函数



特殊点

单调性
质 奇偶性

非奇非偶函数 无最值

非奇非偶函数 无最值
当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0.

最值

当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0.

例2 比较下列各组数中两个值的大小:

⑴ log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 )

两个同底对数比 较大小,构造一 个对数函数,然 后用单调性比较 解:⑴∵对数函数y = log 2x 在(0,+∞)上是增函数 且 3.4<8.5 ∴ log 23.4<log 28.5 ⑵∵对数函数 y = log 0.3 在(0,+∞)上是减函数, x, 且1.8<2.7

∴log 0.31.8>log 0.32.7 (3)当a>1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,于是 log a5.1<log a5.9

当0<a<1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,于是 log a5.1>log a5.9

你能口答吗?

变一变还能口答吗?
3、 若 log3 ? log3
m n

< 1 、 log0.56 ______log0.54
2、 log
1.6 1.5

,则m___n;

<

> ______log

1.4 、 1.5 4

若 log0.7 m ? log0.7 n , 则m___n. >

练习1:比较大小

①log76

< 1 ? log7 7 > 1 ? log >
0.2

②log0.53

<1

? log0.5 0.5

③log67

1 ④log0.60.1 >1 ? log0.6 0.6

⑤log35.1 0? ⑦log20.8

log 3 1 ⑥log0.12 < 0? log0.1 1
⑧log0.20.6 0

< 0? log2 1

>

? log0.2 1

例.比较大小
(1) log35

10

> log 3
5

(2) log32 log20.8
② 因为log 32 > log 20.8 < 得:log 32 > 0 0 log 20.8

>

解:
① 因为log35 > log33 =1

log53 < log55 =1
得:log 35 > log 53

方 法

当底数不相同,真数也不相同时,
常需引入中间值 或 (各种变形式).

0 1

作业:P97 3、5


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